Gli integrali: guida completa con 15 esercizi svolti

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1) Non è un mondo nuovo: integrare è derivare letto al contrario
2) La tavola degli integrali immediati: dieci righe, non cento
3) I quasi immediati: la derivata è già lì (e cosa significa quel dx)
4) La sostituzione: cambia la variabile, e nel definito hai due strade
5) Per parti: chi derivo e chi integro non si decide a caso
6) Gli integrali fratti: prima il grado, poi il delta, poi si spezza
7) Quale metodo uso? L'albero decisionale che nessuno ti dà
8) Il definito e le aree: quando l'integrale fa zero e l'area no
9) La funzione integrale e la maturità: il quesito che torna ogni anno
10) Quindici esercizi svolti passo passo
11) Gli errori che fanno perdere punti in verifica
12) Domande frequenti

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Non è un mondo nuovo: integrare è derivare letto al contrario

«sono giorni che tento di capire come si calcolano (...) gli integrali ma non ancora capito come si fa». La frase è vera, presa alla lettera da un forum di aiuto di Skuola.net, refusi compresi, con fra parentesi l'omissione di un inciso. E accanto a richieste come questa ne torna sempre un'altra, in mille versioni: quante formule bisogna sapere? Dentro quella domanda c'è la convinzione che rovina il capitolo prima ancora di cominciarlo: l'idea che il calcolo integrale sia un mondo nuovo — simbolo mai visto, rito nuovo, e un elenco di formule potenzialmente infinito da mandare a memoria.

Quella convinzione va scalzata subito, perché è falsa in un modo preciso. Non stai imparando un'operazione nuova: stai imparando a leggere al contrario un'operazione che fai da mesi. Sai che la derivata di x³ è 3x². Integrare significa percorrere quella stessa uguaglianza da destra verso sinistra: quale funzione, derivata, dà 3x²? Risposta: x³. Si scrive

e moltissime righe che incontrerai in questa guida hanno la stessa struttura: una derivata che già conosci, letta all'indietro. Non tutte, e conviene dirlo subito invece di scoprirlo con la faccia contro il muro: da un certo punto in poi la derivata non si vede più a occhio, e servono i tre metodi delle sezioni 4, 5 e 6 per farla venire fuori; qualche integrale, poi, una primitiva scritta con le funzioni che conosci non ce l'ha proprio. Quello che vale sempre, senza eccezioni, è il controllo.

Da questo discende il gesto più importante del capitolo, da installare adesso e ripetere sempre:

Con le derivate un controllo così non esisteva: il risultato andava creduto. Qui no: l'integrale è l'unico argomento del programma che si autocorregge. Per questo ogni esercizio della sezione 10 chiude con la riga di verifica, e per questo tre dei sette errori della sezione 11 si sarebbero smascherati da soli con una derivata di controllo.

Primitiva, e perché spunta quel + c

Il nome tecnico dell'oggetto che stai cercando è primitiva, e la definizione del manuale più diffuso nei licei, il Bergamini-Barozzi-Trifone di Zanichelli, dice: «Una funzione F(x) è una primitiva della funzione f(x) definita nell'intervallo reale I ⊆ R se F(x) è derivabile in tutto I e la sua derivata è f(x): F′(x) = f(x)». Se in giro trovi antiderivata è lo stesso oggetto: è il calco dell'inglese antiderivative, che il Bergamini confina in un riquadro di traduzione — «An antiderivative or primitive function of a given function f is a differentiable function F whose derivative is f» — e che i testi scolastici italiani, di regola, non usano nel corpo del testo.

E il + c? Non è un timbro burocratico. Deriva x³: viene 3x². Adesso deriva x³ + 7: viene ancora 3x², perché la costante muore derivando. E x³ − 12: ancora 3x². Le funzioni che derivate danno 3x² sono infinite, tutte a distanza di una costante l'una dall'altra. Per questo l'integrale indefinito non è una funzione: è un insieme, l'insieme di tutte le primitive F(x) + c con c numero reale qualunque. Chi dimentica il + c non dimentica un simbolo: consegna una primitiva sola spacciandola per tutte.

La c non è una decorazione: il quesito d'esame che lo dimostra

Sembra pignoleria, finché non incontri un problema in cui la costante decide il risultato. Un quesito dell'esame di Stato del 2003, corso sperimentale PNI — è la tesi di Bologna citata più avanti a indicarne la provenienza — dava una funzione con f″(x) = sen x e f′(0) = 1, e chiedeva quanto vale f(π/2) − f(0). Il conto giusto usa le costanti due volte:

• integrando f″: f′(x) = −cos x + c₁, e la condizione f′(0) = 1 dà −1 + c₁ = 1, cioè c₁ = 2;
• integrando f′: f(x) = −sen x + 2x + c₂;
• quindi f(π/2) − f(0) = (−1 + π + c₂) − c₂ = π − 1 ≈ 2,14.

Chi tira dritto senza costanti trova f(x) = −sen x e risponde −1: sbagliato il valore e il segno. E nota il dettaglio fine: c₂ si semplifica nella differenza, c₁ no — perché nel frattempo è stata integrata a sua volta ed è diventata il pezzo 2x. Le costanti non sono tutte innocue allo stesso modo.

Quanto sia diffuso l'errore lo dice una misura, non un'impressione: una tesi di laurea dell'Università di Bologna ha sottoposto un questionario sugli integrali a 184 studenti di quinta liceo, e proprio su questo quesito, fra le risposte sbagliate, tre su quattro avevano lo stesso identico difetto: nessuna costante di integrazione nella prima integrazione.

In un altro quesito dello stesso questionario si chiedeva quali fra cinque funzioni fossero primitive del valore assoluto del seno sull'intervallo da 0 a 2π. La risposta giusta era una sola, e conteneva un + 2. 84 studenti su 184 — quasi metà del campione — hanno invece scelto la versione «pulita», quella senza costanti aggiunte: peccato che quella versione avesse un salto e quindi non fosse derivabile lì, cioè non fosse affatto una primitiva. Era proprio il + 2 a incollare i due pezzi e a renderla l'unica valida. Solo 3 studenti su 184 se ne sono accorti. Morale della tesi, e nostra: la derivata di una costante è zero, e una costante aggiunta non toglie niente a una primitiva — a volte è quello che la rende tale.

Dove sta nel programma, e come è fatta questa guida

Nei licei gli integrali sono materia del quinto anno: le Indicazioni Nazionali (decreto interministeriale 7 ottobre 2010 n. 211) li mettono lì, dentro la terna continuità-derivabilità-integrabilità, e ridimensionano esplicitamente la parte meccanica — «Non sarà richiesto un particolare addestramento alle tecniche del calcolo» — chiedendo la capacità di «integrare funzioni polinomiali intere e altre funzioni elementari» e di determinare aree e volumi in casi semplici. Negli istituti tecnici l'ordine è rovesciato: le Linee guida (Direttiva MIUR 16 gennaio 2012 n. 4) mettono la voce «Integrale indefinito e integrale definito» già fra le conoscenze del secondo biennio, cioè in terza e quarta, e rimandano al quinto anno le tecniche fini — «Calcolare l'integrale di funzioni elementari, per parti e per sostituzione» — e il calcolo di aree e volumi.

Una differenza rispetto alla guida gemella sui limiti: lì ogni blocco portava l'etichetta dell'anno, Quarta o Quinta, perché il programma si spezzava davvero in due. Qui non serve, perché per un liceale è quasi tutto quinta. Segnaliamo invece, sezione per sezione dove conta, il punto in cui i libri dei tecnici possono fermarsi: la prima di queste note la trovi in fondo alla sezione 3.

Il prerequisito vero, detto senza giri

Uno solo, ma non negoziabile: la derivata delle funzioni composte, cioè la regola della catena. Detta nella forma che ti servirà da qui alla fine:

Un esempio vero, non un caso facile travestito: la derivata di (x² + 3)⁵ è 5(x² + 3)⁴ · 2x, cioè 10x(x² + 3)⁴. Quel fattore 2x che spunta alla fine è il cuore di tutto il capitolo: letto al contrario, dice che se davanti a una potenza di x² + 3 vedi comparire una x, l'integrale è già fatto. Senza questo riflesso gli integrali quasi immediati — quelli della sezione 3, dove il termine viene definito per bene — sono illeggibili, ed è esattamente il buco che riempie di richieste i forum.

Il ripasso sta nella guida su le derivate, che è il gradino immediatamente sotto questo. E il gradino sotto ancora è la guida su i limiti di funzione: questa pagina chiude la trilogia che comincia lì, e non solo per cronologia di programma. La continuità, che è roba di limiti, è ciò che garantisce che il problema di questa guida abbia soluzione: come dice il testo Zanichelli, «Se una funzione è continua in un intervallo I, allora ammette primitive nello stesso intervallo». I limiti costruiscono le derivate, le derivate — lette al contrario — costruiscono gli integrali.

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La tavola degli integrali immediati: dieci righe, non cento

La domanda che torna sui forum — quante formule bisogna sapere? — ha una risposta esatta, ed è la notizia liberatoria del capitolo: dieci righe. Non cento, non un formulario da tre pagine: dieci derivate note, lette al contrario. Eccole, nella forma in cui le trovi sui libri Zanichelli:


Una nota di scrittura, prima di tutto: sul libro la primitiva di 1/x porta il valore assoluto stampato fra due barrette verticali; qui le barrette in mezzo alle formule si confondono troppo facilmente con altro, e lo scriviamo a parole. Le prime otto righe stanno su tutti i libri; le ultime due si aggiungono nelle tavole delle edizioni blu e rosso di Zanichelli, e ti servono comunque appena compaiono le funzioni inverse.

E la tavola è ancora più corta di quanto sembri, perché la prima riga ne ingoia parecchie che credevi separate. ∫ √x dx non è una formula nuova: √x è x^(1/2), quindi viene x^(3/2)/(3/2) = (2/3)·x√x + c. ∫ 1/x² dx nemmeno: 1/x² è x^(−2), quindi viene x^(−1)/(−1) = −1/x + c. Derivare −1/x per controllare dà proprio 1/x². L'unico esponente che la prima riga non copre è α = −1, perché produrrebbe una divisione per zero — e quel buco è esattamente la seconda riga: la primitiva di 1/x è il logaritmo.

Le uniche due regole di manovra, e l'avvertenza del libro

Sulle somme e sulle costanti puoi manovrare liberamente. Sono le due proprietà di linearità:

Quel «non nulla» non è pedanteria da manuale, ed è il primo posto in cui l'insieme della sezione 1 si fa sentire. Prova con k = 0: a sinistra resta ∫ 0 dx, cioè l'insieme di tutte le funzioni costanti; a destra 0 · ∫ f(x) dx è la sola funzione nulla. Due oggetti diversi, quindi l'uguaglianza salta — ed è lo stesso motivo per cui più avanti «A = 1 + A» non è un paradosso. Del resto con k = 0 non c'è niente da portare fuori: l'integranda è già sparita.

Tradotte in gesti: puoi spezzare una somma pezzo per pezzo, e puoi portare fuori i numeri (diversi da zero). E basta. Il testo Zanichelli lo dice con una frase che vale la pena riportare alla lettera: «Non esistono proprietà riguardanti l'integrale di un prodotto o di un quoziente di funzioni». Non è che la regola del prodotto sia difficile: non c'è.

Il controesempio sta in una riga. ∫ x · x dx è ∫ x² dx = x³/3 + c. Il "prodotto degli integrali" sarebbe (x²/2)·(x²/2) = x⁴/4. Derivando x⁴/4 esce x³, che non è x²: sbagliato, e te l'ha detto la verifica della sezione 1, non un principio astratto. Chi in verifica integra un prodotto fattore per fattore sta usando una proprietà che non esiste, ed è la stessa falsa distributività di chi spezza una radice sulla somma.

I tre agguati di segno e di modulo

Primo: il meno sta col coseno, in tutte e due le direzioni. Derivando, il meno spunta su cos x (la derivata di cos x è −sen x); integrando, spunta ancora su cos x, perché ∫ sen x dx = −cos x + c. Il seno non si porta mai dietro un meno: ∫ cos x dx = sen x + c, senza segni. Nel dubbio, il riflesso di sempre: derivare −cos x dà −(−sen x) = sen x, torna.

Secondo: il modulo su 1/x non è pedanteria. Per x negativo ln x non esiste nemmeno, eppure 1/x una primitiva ce l'ha: ln(−x), la cui derivata è (1/(−x))·(−1) = 1/x. Il valore assoluto tiene insieme i due casi in una scrittura sola. Quando l'argomento è sempre positivo, il modulo si può omettere: ln(x² + 4) va benissimo così, perché x² + 4 non scende mai sotto 4.

Terzo, la coppia gemella che decide più verifiche di tutte:

Stesso denominatore, risultati di famiglie completamente diverse: un logaritmo e un'arcotangente. La differenza la fa la x al numeratore: nel primo caso sopra c'è, a meno del fattore 2, la derivata del denominatore, e come vedrai nella sezione 3 questo apre la strada del logaritmo.

Il secondo, invece, non si legge di colpo sulla riga dell'arcotangente, che parla di 1 + x² e non di x² + 4. Serve un passaggio, e conviene vederlo adesso: si raccoglie il 4 al denominatore.

Adesso la riga della tavola si applica al pezzo di destra, con x/2 al posto di x — e siccome derivando arctg(x/2) esce (1/2) · 1/(1 + (x/2)²), il ½ finale è quello che rimette a posto i conti. Verifica sul risultato, come sempre: derivando ½ · arctg(x/2) esce ½ · (1/2)/(1 + (x/2)²) = ¼ · 4/(4 + x²) = 1/(x²+4). Torna. Il meccanismo per intero, quello che ti serve quando sotto non c'è un x² + 4 così gentile, è il completamento del quadrato della sezione 6, caso Δ < 0.

Le parole e i simboli che cambiano da libro a libro

Come nella guida gemella sui limiti, le differenze di notazione vanno dette prima che ti confondano. sen x e sin x sono la stessa funzione, così come tg e tan, cotg e cot, arctg e arctan, arcsen e arcsin: le edizioni recenti Zanichelli scrivono all'internazionale (sin, tan), la tradizione italiana e i formulari scrivono sen e tg, e qui usiamo la seconda. La costante è c minuscola nei materiali Zanichelli; moltissimi formulari e appunti usano C maiuscola: identica cosa. Due termini che il tuo libro può usare e che vale la pena riconoscere: la primitiva fondamentale è quella con c = 0, e le curve integrali sono i grafici delle infinite primitive — tutte la stessa curva, traslata in verticale.

Ultima cosa, pratica: se sei arrivato qui cercando la tabella degli integrali da stampare, è questa. Dieci righe qui sopra, più le otto della sezione 3 che sono le stesse in versione potenziata: insieme coprono tutto il formulario che serve fino alla maturità.

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I quasi immediati: la derivata è già lì (e cosa significa quel dx)

Qui i libri italiani fanno una scelta precisa, ed è un loro tratto caratteristico: prima della sostituzione formale servono un piano intermedio, gli integrali in cui la funzione è composta ma la derivata del "dentro" è già presente come fattore. Il Bergamini gli dedica un paragrafo dal titolo chilometrico, "Integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta"; il Sasso li presenta come generalizzazione degli immediati; in classe e nei formulari li senti chiamare quasi immediati. Tre nomi, un'idea sola. E il riflesso per riconoscerli sta in due domande, da farsi in quest'ordine davanti a ogni integrale:

Se la risposta alla seconda è sì, non c'è niente da inventare: vale la tavola qui sotto. Che non è una seconda tavola da imparare: è quella della sezione 2 con la x sostituita da u e la u′ di guardia davanti. Se sai la prima, questa la sai già.

Una sola avvertenza di lettere, perché è una fonte di pasticci: qui u non è l'integranda, è la funzione interna. L'integranda è tutto il blocco che sta sotto il segno di integrale.


Lo schema si estende a ogni riga della tavola base, comprese arcotangente e arcoseno. È la regola della catena della sezione 1 letta al contrario: derivando e^u esce e^u · u′, quindi integrando u′ · e^u si torna a e^u.

Tre esempi in salita

Primo — la derivata c'è, ma le manca un pezzo. ∫ x(x²+3)⁴ dx. Il "dentro" è u = x²+3, la sua derivata è 2x, e davanti c'è solo x: manca un 2. Si aggiusta con le costanti, scrivendo x = ½ · 2x e portando fuori il ½:

Verifica: derivando (x²+3)⁵/10 esce 5(x²+3)⁴ · 2x/10 = x(x²+3)⁴. Torna. Sviluppare la quarta potenza del binomio, in confronto, è un suicidio di dieci minuti.

Secondo — la derivata c'è già, intera. ∫ cos x · e^(sen x) dx. Il dentro è u = sen x, la sua derivata è cos x, ed eccola lì davanti senza nemmeno una costante da aggiustare: riga tre della tavola, risultato e^(sen x) + c. Fine.

Terzo — la derivata è nascosta, e serve un segno. ∫ tg x dx non sembra di questa famiglia, finché non riscrivi la tangente come rapporto:

Sopra c'è −sen x, che è esattamente la derivata di cos x: è un u′/u col trucco del segno, ed è l'esempio canonico che trovi anche sul Zanichelli. Se la riscrittura della tangente non ti è automatica, il ripasso è nella guida su seno, coseno e tangente.

Il muro della d, abbattuto una volta per tutte

C'è un passaggio di notazione che i libri usano e quasi nessuno spiega, e la domanda arriva identica sui forum. Da un thread di Skuola.net su ∫ x√(1+x²) dx, testuale: «perchè al posto di 2x ora cè d(1+x^2) e che significato ha la d?». E, dello stesso utente, il tentativo di risposta: «la d vuole forse dire che al posto di 2x ho scritto la funzione da cui derivava 2x?»

La risposta a quella seconda domanda è: sì, esattamente. Tutta la faccenda della d sta in una regola sola, operativa:

Quindi d(x²) = 2x dx. E anche d(1+x²) = 2x dx, perché la costante 1 muore derivando: ecco perché nel passaggio del forum al posto di 2x può comparire d(1+x²) — non è sparito niente, il fattore 2x è stato assorbito dentro la d. Il dx che scrivi dalla prima ora, allora, non è un timbro decorativo: dice rispetto a quale variabile stai integrando, e si comporta come il pezzo finale di questa scrittura. "Portare dentro il d" significa fare il gesto al contrario: riconoscere che il fattore che hai davanti è la derivata di qualcosa, e riscriverlo come d(quel qualcosa). Su un esempio vicino a quello del forum:

dove il modulo non serve perché 1+x² è sempre positivo, e la verifica — derivare ln(1+x²) — restituisce 2x/(1+x²). Scritto con la d, l'integrale mostra a occhio nudo la sua struttura u′/u. Non sei obbligato a usare questa stenografia: tutti i quasi immediati si fanno anche senza. Ma devi saperla leggere, perché libri, prof e soluzioni in rete la usano di continuo, e nella sostituzione della sezione 4 diventa il meccanismo con cui si trasforma dx.

La regola scolpita, che separa il lecito dal disastro

Si può moltiplicare e dividere solo per COSTANTI. Mai per funzioni. Il ½ del primo esempio è legittimo perché 2 è un numero, e i numeri escono dall'integrale per la linearità. Ma davanti a ∫ e^(sen x) dx — senza il cos x davanti — la tentazione di "aggiustare dividendo per cos x" è una mossa illegale: cos x è una funzione, e le funzioni dall'integrale non escono. Non è che quella strada sia rischiosa: non esiste proprio, e infatti quell'integrale non si calcola con nessuna delle tecniche di questa guida. Se la derivata del dentro non c'è e non è ricostruibile con una costante, il quasi immediato non si applica, punto: si cambia strada (sezione 7).

Nota per chi è al tecnico

È qui che una parte dei corsi per gli istituti tecnici si ferma: immediati e funzioni composte sì, poi niente sostituzione, niente per parti, niente funzioni razionali fratte. Il Lineamenti di matematica di Ghisetti e Corvi (Dodero-Baroncini-Manfredi, con il volume B dedicato ai tecnici) e il Matematica.rosso di Zanichelli sono i due corsi che incontri più spesso, e non trattano lo stesso identico perimetro di tecniche. Prima di studiare le sezioni 4, 5 e 6, controlla sul tuo libro e sul programma del tuo prof fin dove si arriva davvero: potresti aver già finito la parte di tecniche che ti riguarda. Lo stesso avviso lo ritrovi in fondo alla sezione 6, ripetuto apposta: è lì che serve di più, perché le fratte sono la prima cosa che salta dai programmi.

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La sostituzione: cambia la variabile, e nel definito hai due strade

La sostituzione si chiama quando le due domande della sezione 3 falliscono: il "dentro" ostico c'è, ma la sua derivata non è lì davanti e non si ricostruisce con una costante. I segnali tipici: una radice da far sparire, o un argomento composto che blocca ogni riga della tavola. L'idea è dichiarata nel nome: si smette di integrare in x e si integra in una variabile nuova, scelta apposta perché l'integrale diventi leggibile. I libri la formulano così: si pone x = g(t), con g invertibile e con derivata continua e non nulla — condizioni che negli esercizi delle superiori sono sempre soddisfatte dalle sostituzioni standard, quindi qui contano i gesti, non l'assiomatica.

E i gesti sono tre, non uno. È il punto che decide tutto:

I primi due gesti non sono negoziabili: chi fa solo il primo produce un ibrido metà x e metà t che sembra un integrale e non lo è. Il terzo, invece, è un bivio: due strade, tutte e due corrette. Lo sciogliamo subito e una volta sola, appena detto che cos'è un integrale definito.

Prima di partire: che cos'è un integrale definito, in tre righe

Da qui in avanti compaiono integrali con due numeri attaccati al simbolo, uno sotto e uno sopra. Si chiamano integrali definiti, e la spiegazione per intero — che cosa contano, che rapporto hanno con le aree, perché il + c lì non si scrive — è tutta nella sezione 8. Per seguire questa sezione ti basta il minimo indispensabile, ed è questo:

Un esempio a occhi chiusi, per fissarlo: una primitiva di x² è x³/3, quindi l'integrale di x² fra 0 e 3 vale 27/3 − 0 = 9. Nove, un numero, non «9 + c». Tutto il resto è nella sezione 8.

Il bivio del definito: due strade lecite, un miscuglio vietato

Adesso il terzo gesto. Dopo una sostituzione, in un integrale definito, le strade sono due, e portano allo stesso identico numero.

Sono due strade lecite, non una regola con la sua eccezione: scegli quella che ti viene meglio, e i punti sono gli stessi. La (a) è più corta e te la consigliamo, ma la (b) non è un ripiego: è il modo in cui parecchi libri svolgono l'esempio, ed è quello che ti resta in mano se la sostituzione all'indietro è più comoda del calcolo dei nuovi estremi.

L'errore vero, quello che fa perdere punti, è un terzo comportamento che non è né l'una né l'altra:

Detto in una riga sola, da ricordare così: o cambi la variabile e gli estremi, o non cambi né l'una né gli altri fino al momento di valutare. Mai metà e metà.

L'esempio guida, per intero

La radice è il bersaglio: pongo t = √x, cioè x = t². I tre gesti in fila, e sul terzo prendo la strada (a). Il dx: da x = t² segue dx = 2t dt. Gli estremi: quando x = 1, t = √1 = 1; quando x = 4, t = √4 = 2. L'integrale diventa

Niente più radici, ma serve un trucco algebrico da conoscere, perché 2t/(1+t) non è in tavola: si somma e si sottrae 2 al numeratore, 2t = 2(1+t) − 2, e la frazione si spezza in 2 − 2/(1+t). Adesso è tutta roba immediata (fra 1 e 2 la quantità 1+t è positiva, quindi niente modulo), e si applica la regola qui sopra: la primitiva è 2t − 2·ln(1+t), da valutare fra 1 e 2.

Chiusura con la stima di buon senso, che è un controllo vero: l'integranda parte da ½ (in x = 1) e scende a ⅓ (in x = 4), su un intervallo lungo 3. Il risultato deve quindi stare fra 3·⅓ = 1 e 3·½ = 1,5. Ci sta. Lo stesso integrale, coi passaggi ricommentati e con la strada (b) svolta per intero accanto alla (a), è l'esercizio 7 della sezione 10.

Il miscuglio misurato: primitiva in t, estremi in x

Fra le due strade lecite, quella che lo studente non prende quasi mai è la (a): gli estremi vengono percepiti come parte del simbolo di integrale, un'intestazione che si ricopia — anche perché il metodo si impara sugli indefiniti, dove gli estremi non ci sono e la domanda non si pone mai. Il guaio è che chi li ricopia poi non torna nemmeno alla x: si ferma sulla primitiva in t e la valuta lì. Non ha scelto la strada (b): ha fatto il miscuglio.

Quanto costa, coi numeri. ∫₀² 2x·e^(x²) dx con u = x² è un integrale perfetto per la sostituzione (anzi: la derivata 2x è già lì, quindi è perfino un quasi immediato). Per la strada (a) gli estremi diventano u = 0 e u = 4, e il risultato è

Per la strada (b) si trova la primitiva eᵘ, si torna alla x scrivendo e^(x²) e la si valuta fra 0 e 2: e⁴ − 1, lo stesso numero. Chi invece valuta eᵘ fra 0 e 2 — primitiva nuova, estremi vecchi — calcola e² − 1 ≈ 6,39: un risultato più di otto volte più piccolo di quello vero, prodotto da conti tutti formalmente puliti. È questo il tratto velenoso del miscuglio: non lascia tracce nel foglio, solo nel numero finale.

E non è un errore raro. Uno studio pubblicato sull'Asian Journal of University Education (2017) ha misurato, su 147 studenti universitari — corso di Calculus II, diploma in informatica di un ateneo pubblico del Sarawak, in Malesia — esaminati in sei sessioni d'esame consecutive fra il 2013 e il 2016, un indice di errore del 25,4% quando la sostituzione era suggerita dal testo, e del 36,5% quando andava scelta da soli. Attenzione a come si legge quel numero: non è la quota di esercizi sbagliati, è la percentuale di punteggio perduto sui compiti, calcolata dagli autori a partire dai voti. Dice che la difficoltà cresce di un buon terzo quando il suggerimento sparisce, non che sbaglia un tot di studenti. E nel questionario bolognese dei 184 maturandi l'errore compare fotografato alla lettera: commentando uno svolgimento, la tesi annota che l'esercizio è «svolto con il metodo di sostituzione, ma lo studente si è scordato di modificare gli estremi di integrazione».

Un corollario pratico, che riguarda chi prende la strada (a): gli estremi nuovi si calcolano uno per uno — quello in basso dal vecchio estremo in basso, quello in alto dal vecchio in alto — e se escono in un ordine che ti sembra strano, con il primo più grande del secondo, non li riordini: riordinarli senza compensare cambia il segno del risultato. L'esempio svolto di questo caso, con u = cos x, è dentro l'errore 5 della sezione 11.

Il secondo classico: la radice sparisce, il dx resta

L'altro modo di rovinare l'esempio guida è sostituire la radice e ricopiare il dx così com'è, come se fosse un timbro di chiusura. Non lo è: la sezione 3 ha stabilito che cosa significa la d, e da x = t² segue dx = d(t²) = 2t dt. Quel fattore 2t non è un optional — nell'esempio guida è proprio lui a costruire il 2t/(1+t) su cui gira tutto il conto. Chi lo dimentica sta integrando "rispetto a niente": scrive un integrale in t con dentro il righello di x, e da lì in poi ogni numero è casuale.

Perché fra le due consigliamo la (a)

Cambiare gli estremi non è una tassa: è uno sconto. Prendendo la strada (a), una volta passati a t della x non ti ricordi mai più: si integra in t, si valuta fra i nuovi estremi, e il numero che esce è la risposta. La strada (b) ti chiede in più il viaggio di ritorno, cioè il passaggio che nell'esempio guida porta da 2t − 2·ln(1+t) a 2√x − 2·ln(1+√x): un'occasione in più di sbagliare una sostituzione, e nel definito è lavoro che potevi risparmiarti.

Nell'indefinito il bivio non esiste proprio, e per un motivo semplice: lì gli estremi non ci sono, e il risultato deve essere una funzione di x, quindi il viaggio di ritorno è obbligatorio — nell'esempio guida 2√x − 2·ln(1+√x) + c, che derivata restituisce l'integranda. Riassunto onesto: nell'indefinito si torna sempre alla x; nel definito puoi scegliere, e la scelta più corta è cambiare gli estremi. Quando invece il dubbio è su quale metodo usare, e non su come chiuderlo, la mappa completa è l'albero della sezione 7.

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Per parti: chi derivo e chi integro non si decide a caso

Davanti a ∫ x·eˣ dx il riflesso di mezza classe è: integro x, integro eˣ, moltiplico. Esce (x²/2)·eˣ, che sembra ragionevole ed è sbagliato — derivandolo ottieni x·eˣ + (x²/2)·eˣ, non l'integranda. L'integrale del prodotto non è il prodotto degli integrali, e non perché la regola sia difficile: perché non esiste. Il Bergamini lo mette nero su bianco appena finite le proprietà di linearità: «Non esistono proprietà riguardanti l'integrale di un prodotto o di un quoziente di funzioni». L'errore nasce per falsa analogia dalla sezione 2: la linearità funziona con le somme e con le costanti, e tu la estendi al prodotto per simmetria. Sui numeri il crollo è immediato: ∫₀¹ x·x dx = 1/3, mentre il prodotto dei due integrali fa (1/2)·(1/2) = 1/4.

Quello che esiste, per i prodotti, è l'integrazione per parti. E va capita per quello che è: non una formula che risolve, una formula che baratta — ti toglie un integrale e te ne consegna un altro, sperabilmente più facile.

La formula, coi nomi dei libri

L'ipotesi non è un fregio: la formula nasce dalla derivata di un prodotto, (f·g)′ = f′·g + f·g′, che si integra da entrambe le parti e si riordina — e per integrare quei due pezzi servono derivate continue. Come le condizioni della sostituzione (sezione 4), negli esercizi delle superiori l'ipotesi è sempre soddisfatta: polinomi, esponenziali, logaritmi e goniometriche sono tutta roba liscia. Saperla nominare, però, è esattamente ciò che l'esame chiede quando dice «spiegare perché».

f(x) è il fattore finito, quello che verrà derivato; g′(x) è il fattore differenziale, quello che verrà integrato: sono i nomi che trovi sul Bergamini e su quasi tutti i testi scolastici. Nei formulari e all'università la stessa identica formula si scrive con altre lettere, ∫ u dv = u·v − ∫ v du: u è il fattore finito, dv il differenziale. Cambia il vestito, non il teorema, e saperlo ti risparmia il panico da formula mai vista.

Guarda cosa succede a destra: il fattore finito è stato derivato, quello differenziale integrato. Il baratto conviene solo se il nuovo integrale ∫ f′·g è più facile del vecchio. Da qui la decisione, che non è a caso:

Chi migliora derivando: il logaritmo, che diventa 1/x e da lì in poi è algebra, e le potenze, il cui grado cala di uno a ogni giro. Chi non peggiora integrando: eˣ, che resta se stesso, e seno e coseno, che ruotano l'uno nell'altro senza crescere. Sui siti di esercizi gira la sigla LIATE — Logaritmi, Inverse, Algebriche, Trigonometriche, Esponenziali: si deriva ciò che nella lista viene prima. Usala pure come promemoria, ma è una mnemotecnica, non una legge: funziona perché codifica il principio qui sopra. E c'è un caso in cui non decide niente, ed è quello in cui le due scelte funzionano tutte e due, purché tu non le mescoli: allora la sigla ti dà una strada valida, ma la cosa che salva il conto non è la sigla, è la coerenza. Ne vedi un esempio più avanti in questa sezione, nel terzo gradino: il ciclico ∫ eˣ·sen x dx.

Primo gradino: ∫ x·ln x dx

Derivo il logaritmo, integro la x, la cui primitiva è x²/2:

Controllo per derivazione: x·ln x + (x²/2)·(1/x) − x/2 = x·ln x. Torna.

Chi fa la scelta opposta — derivare x e «integrare» ln x — si blocca alla prima riga, perché la primitiva di ln x a questo punto non la conosce. E qui abita la confusione più frequente in assoluto del capitolo: la primitiva di ln x non è 1/x. 1/x è la derivata. Sono due operazioni che vanno in versi opposti, e se il logaritmo ti traballa il ripasso sta nella guida su logaritmi ed esponenziali.

E allora la primitiva di ln x qual è? Si trova proprio per parti, col trucco del fattore 1: ∫ ln x dx = ∫ 1·ln x dx, dove derivo ln x e integro 1. Viene x·ln x − ∫ x·(1/x) dx = x·ln x − x + c. Controllo: derivando, ln x + 1 − 1 = ln x. Una delle ricerche più battute dagli studenti — «integrale di ln x» — si chiude in due righe.

Secondo gradino: ∫ x²·eˣ dx, due giri

Derivo la potenza (x² → 2x → 2, sparisce in due giri), integro eˣ (che non cambia mai).

Primo giro: ∫ x²·eˣ dx = x²·eˣ − ∫ 2x·eˣ dx = x²·eˣ − 2·∫ x·eˣ dx.

Secondo giro, sull'integrale rimasto: ∫ x·eˣ dx = x·eˣ − ∫ eˣ dx = x·eˣ − eˣ.

Rimonto:

L'errore coi numeri: il pezzo da distribuire è −2·(x·eˣ − eˣ), e distribuire vuol dire moltiplicare per −2 tutti e due i termini, segni compresi: viene −2x·eˣ + 2eˣ, perché −2 per −eˣ dà +2eˣ. Chi sbaglia il 2 lo moltiplica su entrambi i pezzi, ma del secondo ricopia il segno com'era dentro la parentesi, e scrive x²·eˣ − 2x·eˣ − 2eˣ: l'ultimo termine dovrebbe essere + 2eˣ. E qui la verifica per derivazione fa il suo mestiere, perché la si può fare su tutte e due le versioni. La versione giusta: derivando eˣ·(x² − 2x + 2) esce eˣ·(x² − 2x + 2) + eˣ·(2x − 2) = x²·eˣ. Torna. La versione sbagliata: derivando x²·eˣ − 2x·eˣ − 2eˣ esce (2x·eˣ + x²·eˣ) − 2(eˣ + x·eˣ) − 2eˣ = x²·eˣ − 4eˣ. Non torna, e lo vedi in una riga: avanza un −4eˣ che nell'integranda non c'era.

Terzo gradino: il ciclico ∫ eˣ·sen x dx

Qui nessuno dei due fattori si semplifica mai: eˣ resta eˣ, il seno ruota in coseno e ritorno. Sembra un difetto ed è il metodo. Chiamo I l'integrale e tengo fissa la scelta: integro sempre eˣ, derivo sempre il fattore trigonometrico.

Primo giro: I = eˣ·sen x − ∫ eˣ·cos x dx.

Secondo giro, stessa scelta: ∫ eˣ·cos x dx = eˣ·cos x − ∫ eˣ·(−sen x) dx = eˣ·cos x + I.

Sostituisco: I = eˣ·sen x − eˣ·cos x − I. L'integrale di partenza è ricomparso, e non è un fallimento: è diventato un'equazione in I.

Controllo: derivando esce (1/2)·eˣ·(sen x − cos x + cos x + sen x) = eˣ·sen x. E la c va aggiunta a mano alla fine: risolvendo l'equazione si dimentica quasi sempre.

Questo è il caso annunciato prima: LIATE mette la T prima della E, e infatti derivare il fattore trigonometrico e integrare eˣ funziona. Ma funzionerebbe anche la scelta opposta, purché la si tenga per tutti e due i giri. L'errore che azzera tutto non è scegliere male: è cambiare idea a metà, invertendo i ruoli al secondo giro e derivando eˣ dopo averlo integrato al primo. Il conto allora restituisce I = I, cioè 0 = 0: verissima e inutile, hai solo disfatto il primo giro. Qui la mnemotecnica non ti salva; ti salva la coerenza.

Il paradosso che chiude il cerchio con la sezione 1

Applica le parti a ∫ (1/x) dx, con fattore finito 1/x e fattore differenziale 1: viene (1/x)·x − ∫ (−1/x²)·x dx = 1 + ∫ (1/x) dx. Sottraendo l'integrale dai due lati: 0 = 1. Dov'è il trucco? Non c'è: c'è la sezione 1. Il simbolo ∫ (1/x) dx non indica una funzione ma l'insieme di tutte le primitive, definite a meno di costante — e quell'insieme, spostato di 1, è ancora lo stesso insieme. Da «A = 1 + A» non puoi semplificare A, perché A non è un numero. Chi si spaventa davanti a questo paradosso sta ancora trattando l'integrale indefinito come un risultato secco invece che come una famiglia.

La stima che smaschera il segno

Sul definito, i pasticci di segno delle parti si scoprono con un confronto grossolano. ∫ da 0 a π/2 di x·cos x dx vale π/2 − 1 ≈ 0,57 (primitiva x·sen x + cos x: controlla derivando). Chi perde un meno trova x·sen x − cos x e consegna π/2 + 1 ≈ 2,57. Impossibile, e non serve rifare il conto per accorgersene: su quell'intervallo x·cos x non supera mai 1 — vale 0 agli estremi e circa 0,56 nel punto più alto, vicino a x = 0,86 — quindi tutta la regione sta in un rettangolo di base π/2 e altezza 1, area circa 1,57. Un risultato più grande del rettangolo che contiene la figura è la spia di un segno saltato. I tre integrali di questa sezione li ritrovi svolti per intero negli esercizi 8, 9 e 10 della sezione 10.

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Gli integrali fratti: prima il grado, poi il delta, poi si spezza

Se hai cercato «integrali fratti come si risolvono», sei in buona compagnia: è la parola degli studenti. Sul Bergamini il paragrafo si chiama «integrazione di funzioni razionali fratte», sul Sasso «funzioni razionali frazionarie», e all'università sentirai parlare di «fratti semplici», nome che nei titoli scolastici non compare. Quattro etichette per la stessa cosa: un polinomio diviso un polinomio. Qui usiamo la tua parola, fratti, e adesso sai come tradurla su qualunque libro.

La buona notizia è che questi integrali non chiedono fantasia: chiedono disciplina. Tre domande, sempre nello stesso ordine — il grado, il delta, la scomposizione — e ogni risposta ti dice esattamente cosa fare.

E una nota di scrittura che vale per tutta la sezione: dentro ogni logaritmo che scriveremo va, a rigore, il valore assoluto dell'argomento — sul libro lo vedi stampato fra due barrette verticali. Non è pignoleria: 1/(x + 1), per dire, esiste anche per x < −1, dove x + 1 è negativo, e una primitiva deve esistere anche lì. Qui le barrette non le usiamo e i moduli restano sottintesi; tu, in verifica, scrivili. E la regola per sapere quando servono davvero è una sola, la stessa della sezione 2: il modulo si può omettere solo quando l'argomento del logaritmo è positivo per costruzione, come l'argomento x² + 4 dell'esercizio 3, che sotto 4 non scende mai. Qui quella condizione non si verifica: i denominatori delle fratte si annullano e cambiano segno proprio nei punti che stiamo studiando — x − 2, x − 3, x + 1 diventano negativi da una parte della retta — quindi in questa sezione il valore assoluto ci vuole sempre. Non due istruzioni diverse: una sola, con la sua condizione.

Passo zero, sempre: confronta i gradi

Se il grado del numeratore è maggiore o uguale a quello del denominatore, prima si divide. Sempre, senza eccezioni: i fratti semplici funzionano solo col grado sopra minore, e chi salta la divisione parte con l'attrezzo sbagliato.

Esempio: ∫ (x² + 3x + 5)/(x + 1) dx. Sopra grado 2, sotto grado 1: si divide. La divisione dà x² + 3x + 5 = (x + 1)·(x + 2) + 3, e il controllo costa dieci secondi: (x + 1)·(x + 2) = x² + 3x + 2, più il resto 3 fa x² + 3x + 5. Quoziente per divisore più resto uguale numeratore: fallo ogni volta, salva l'esercizio. Se la divisione fra polinomi ti è arrugginita, il ripasso sta nella guida sul teorema di Ruffini.

Quindi la frazione è x + 2 + 3/(x + 1), e ogni pezzo è in tavola:

Controllo per derivazione: x + 2 + 3/(x + 1), che ricomposto è proprio l'integranda.

Δ > 0: due fattori, due fratti

Col grado sopra minore, si guarda il discriminante del denominatore — il Δ delle equazioni di secondo grado.

Esempio: ∫ (x − 1)/(x² − 5x + 6) dx. Qui Δ = 25 − 24 = 1 > 0, radici 2 e 3. Attenzione alla scomposizione, che è il primo agguato: le radici sono 2 e 3, quindi i fattori sono (x − 2) e (x − 3), col meno. Chi scrive (x + 2)·(x + 3) ha già perso l'esercizio alla prima riga: quel prodotto fa x² + 5x + 6, non x² − 5x + 6.

Si spezza in due fratti con numeratori incogniti:

Il metodo più rapido è quello dei valori comodi: sostituisci le radici, così un termine si azzera. Per x = 2: a sinistra 1, a destra A·(2 − 3) = −A, quindi A = −1. Per x = 3: a sinistra 2, a destra B·(3 − 2) = B, quindi B = 2. Secondo agguato, il segno nei valori comodi: in x = 2 il fattore (x − 3) vale −1, non 1. È un conto da un secondo, ed è lì che si perde il segno di A.

Controllo: derivando, −1/(x − 2) + 2/(x − 3); a denominatore comune il numeratore è −(x − 3) + 2·(x − 2) = x − 1. Torna.

Δ = 0: il quadrato perfetto, e il pezzo che non è un logaritmo

Esempio: ∫ (x + 1)/(x² − 4x + 4) dx. Qui Δ = 16 − 16 = 0: il denominatore è un quadrato perfetto, (x − 2)², dei prodotti notevoli.

La scomposizione ufficiale, quella che il prof può chiederti per nome, ha due pezzi — col numeratore di primo grado il solo pezzo col quadrato non basta — e si svolge esattamente come nel caso Δ > 0:

Valore comodo x = 2: a sinistra 3, a destra B, quindi B = 3. Poi si confrontano i coefficienti della x: a sinistra 1, a destra A, quindi A = 1. Scomposizione finita: 1/(x − 2) + 3/(x − 2)².

C'è anche una scorciatoia elegante, che porta allo stesso posto senza incognite: riscrivi il numeratore usando il denominatore, x + 1 = (x − 2) + 3, e la frazione si spezza da sola:

Il primo pezzo dà un logaritmo. Il secondo no, ed è l'errore doppio di questo caso: il logaritmo esce solo dall'esponente −1. Qui l'esponente è −2, quindi comanda la regola delle potenze della sezione 2: ∫ 3·(x − 2)⁻² dx = 3·(x − 2)⁻¹/(−1) = −3/(x − 2).

Controllo: derivando, 1/(x − 2) + 3/(x − 2)², che a denominatore comune è ((x − 2) + 3)/(x − 2)² = (x + 1)/(x − 2)².

Δ < 0, in breve: si arriva all'arcotangente

Se il Δ è negativo il denominatore non si scompone, e la strada è il completamento del quadrato, che porta a un'arcotangente (arctg sul tuo formulario, arctan sulle edizioni recenti: stessa funzione). È lo stesso meccanismo accennato nella sezione 2 per la coppia gemella. Un assaggio: x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4, e da lì

Controllo: derivando, (1/2)·(1/2)/(1 + ((x + 1)/2)²) = 1/(4 + (x + 1)²) = 1/(x² + 2x + 5).

Nota per chi è al tecnico

Detto con onestà: parecchi programmi si fermano prima delle fratte, e non è un buco tuo. Negli istituti tecnici il capitolo sugli integrali spesso si chiude prima: immediati e funzioni composte sì, poi niente sostituzione, niente per parti, niente funzioni razionali fratte. Il Lineamenti di matematica di Ghisetti e Corvi (Dodero-Baroncini-Manfredi, con il volume B dedicato ai tecnici) e il Matematica.rosso di Zanichelli sono i due corsi che incontri più spesso, e non trattano lo stesso identico perimetro di tecniche. Controlla sul tuo libro e sul programma del tuo prof fin dove si arriva davvero: se sei in un tecnico e questa sezione non ti somiglia, il tuo riferimento è il programma del tuo corso, non questa pagina.

Il riassunto in quattro righe

I tre casi centrali li ritrovi svolti per intero negli esercizi 11, 12 e 13 della sezione 10.

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Quale metodo uso? L'albero decisionale che nessuno ti dà

«Come faccio a capire quale metodo devo usare guardando l'integrale?» Sui forum di matematica, nei gruppi di discussione, sotto i video di YouTube: la domanda torna identica da anni, ed è la domanda — non un dettaglio da sistemare alla fine, il cuore del capitolo. La risposta che ricevi di solito è «impara le regole e poi fai mille esercizi», che è vera e non serve a niente: mille esercizi allenano solo se sai che cosa stai allenando. Le guide di prima pagina non affrontano il problema di petto; per i limiti questo buco l'abbiamo già chiuso nella guida sui limiti di funzione, sezione 7 anche lì. Qui lo chiudiamo per gli integrali.

L'iter esiste, ed è in ordine fisso: cinque domande, e alla prima che risponde «sì» ti fermi e usi quel metodo.

Le cinque domande

1) È in tavola, o ci arriva spezzando? La linearità autorizza a spezzare le somme e a portare fuori le costanti (sezione 2): (x − 1)²/x non è in tavola, ma sviluppato il quadrato e diviso termine a termine diventa x − 2 + 1/x, che lo è. E qui va detta con precisione la cosa che quasi tutti sbagliano: una somma divisa per un monomio si spezza — è ancora linearità, stai solo distribuendo una divisione su una somma. Quello che non esiste è spezzare l'integrale di una frazione in due integrali separati: ∫ f/g dx non è ∫f dx diviso ∫g dx, mai.
2) C'è la derivata di qualcosa, a fattore? Se dentro c'è una funzione composta e fuori, a fattore, compare la derivata dell'argomento — anche a meno di una costante — è un quasi immediato della sezione 3: sistemi la costante e chiudi.
3) È un polinomio diviso un polinomio? Fratta: prima i gradi, poi il Δ (sezione 6).
4) È un prodotto di famiglie diverse? Polinomio per logaritmo, polinomio per esponenziale, esponenziale per seno: per parti (sezione 5).
5) C'è una radice, o un argomento ostico da far sparire? Sostituzione (sezione 4) — e nel definito, ricordalo, o cambi gli estremi o torni alla x: mai metà e metà.

L'ordine non è decorativo, e la coppia che lo dimostra è questa: ∫ x·eˣ dx e ∫ x·e^(x²) dx si somigliano come due gocce d'acqua — polinomio per esponenziale, verrebbe da dire «per parti» per entrambi. Ma nel secondo l'esponente è x², la sua derivata è 2x, e a fattore c'è proprio una x: la domanda 2 risponde «sì» e l'integrale è quasi immediato, ∫ x·e^(x²) dx = e^(x²)/2 + c, dieci secondi (controlla derivando: e^(x²)·2x/2 = x·e^(x²)). Chi ci parte per parti si infila in un vicolo cieco, perché ∫ e^(x²) dx non si scrive con le funzioni che conosci. Stessa faccia, due strade: la differenza la vede solo chi fa le domande in quest'ordine.

La tabella: se lo vedi così, fai questo

Il caso che insegna il riflesso

∫ 1/(x·ln x) dx sembra fuori da ogni casella: non è in tavola, non è una fratta (ln x non è un polinomio), le parti non promettono niente. Il panico però dura finché non riscrivi la frazione mettendo in mostra la struttura:

Controlla derivando: (1/ln x)·(1/x) = 1/(x·ln x). E adesso il riflesso, che è il vero motivo di questo esempio: prima di usare la formula del logaritmo, verifica sempre che sopra ci sia davvero la derivata di sotto. Se prendi come u tutto il denominatore x·ln x, la sua derivata è ln x + 1 — che al numeratore non c'è. Il falso risultato ln(x·ln x) muore in quella riga di controllo, prima ancora di essere scritto. È lo stesso identico riflesso che smaschera i travestimenti in seconda prova, a partire dal più classico: tg x = sen x/cos x, dove sopra c'è, a meno del segno, la derivata di sotto, e infatti ∫ tg x dx = −ln(valore assoluto di cos x) + c.

Il giudice, e i tre casi che non giudica

Chiusura, ed è la risposta operativa all'«e ora?» che riempie i forum: qualunque strada tu abbia preso, derivare il risultato ti dice in una riga se la primitiva è giusta. Non a metà, non forse: se derivando la tua primitiva ritrovi l'integranda, quella parte del conto è corretta; se non la ritrovi, è sbagliata. Nessun altro capitolo di matematica ti regala un collaudo così netto, e costa dieci secondi.

Ma va detto anche cosa non collauda, altrimenti ti fidi troppo. La derivata di controllo giudica la primitiva e basta: non vede se hai valutato una primitiva in t fra gli estremi della x, non vede se hai messo un + c dentro un definito, non vede se ti hanno chiesto un'area e tu hai consegnato un integrale col segno. Quei tre si controllano altrimenti — col segno dell'integranda e con una stima grossolana del numero, come nella sezione 8. Il collaudo per derivazione resta il tuo correttore personale, ed è anche il motivo per cui gli integrali entrano solo con le derivate fresche: funziona solo se derivare ti è automatico. Il travestimento di questa sezione lo ritrovi svolto nell'esercizio 15 della sezione 10.

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Il definito e le aree: quando l'integrale fa zero e l'area no

Su questa sezione pesano due convinzioni sbagliate, e sono le più documentate di tutto il capitolo. Vanno scalzate una alla volta.

Prima convinzione: «il definito è un indefinito con le decorazioni»

Il sintomo si vede in ogni pacco di verifiche corrette: qualcuno scrive ∫₀³ x² dx = x³/3 + c. La regola di calcolo è quella anticipata nella sezione 4, e adesso con la sua ipotesi al posto giusto:

L'ipotesi non è un ornamento: è quella che rende vera la formula, e i libri la stampano nell'enunciato — il testo Zanichelli parla della formula per calcolare l'integrale definito di una funzione f(x) continua in [a; b]. La scrittura a parentesi quadre con gli estremi è la notazione standard, e la formula porta sui libri il nome di formula di Leibniz-Newton.

Applicala al sintomo: ∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = 9 − 0 = 9. Nove. Un numero, non una famiglia di funzioni: scrivere «9 + c» è come rispondere «quanto fa 3 per 3?» con «una retta». E la c nel definito non va dimenticata: non va proprio messa, perché si elide da sola nella differenza — con la primitiva x³/3 + c avresti (9 + c) − (0 + c) = 9, qualunque sia c. Anche la x sparisce, ma per una ragione diversa — vale la pena tenerle separate: la c se ne va perché si semplifica nella sottrazione, la x perché viene sostituita dagli estremi. È solo la variabile di integrazione, una variabile muta: il risultato non dipenderebbe da lei nemmeno se la costante non ci fosse. Niente costante e niente lettera: l'integrale definito è un numero.

Seconda convinzione: «l'integrale è l'area»

Questa te l'ha costruita la scuola senza volerlo: l'integrale definito viene introdotto come area del trapezoide — così i libri chiamano la regione fra grafico e asse x — e i primi esempi sono tutti con funzioni positive. L'immagine si fossilizza prima che arrivi una funzione negativa. Poi arriva.

∫ da 0 a 2π di sen x dx = 0. Zero. Ma il grafico del seno su quel giro — se non lo vedi a occhi chiusi, ripassa seno, coseno e tangente — fa due gobbe uguali, una sopra e una sotto l'asse, e l'area geometrica totale è 4.

I conti, con la primitiva −cos x: da 0 a π viene −cos π + cos 0 = 1 + 1 = 2; da π a 2π viene −cos 2π + cos π = −1 − 1 = −2. Somma: zero. Stessa storia per ∫₋₂² x³ dx = 0, dove l'area vale 8, cioè due volte ∫₀² x³ dx = [x⁴/4]₀² = 4.

L'area vera, in procedura

1) Studia il segno dell'integranda sull'intervallo, e trova dove si annulla.
2) Spezza negli intervalli a segno costante — e ogni pezzo si prende i suoi estremi.
3) Integra pezzo per pezzo e cambia segno ai pezzi sotto l'asse.

Il passo 2 sembra il più innocuo dei tre ed è quello che miete di più, misurato in Italia. In un questionario preparato per una tesi di laurea dell'Università di Bologna e somministrato a 184 studenti di quinta liceo, il primo quesito chiedeva la media integrale del valore assoluto di x diviso (x + 2) sull'intervallo da −1 a 2: il 68% lo ha svolto in modo inesatto — circa 125 prove su 184 — e solo 38 in modo corretto. Le due quote non arrivano a 184, e vale la pena dirlo invece di lasciartelo contare: fuori da entrambe le caselle restano una ventina di prove, verosimilmente perché quel quesito non è stato svolto affatto. L'errore più capiente ha un nome che la tesi assegna esplicitamente, impostazione iniziale errata, e ci sono finiti dentro 67 studenti: la maggior parte di loro aveva spezzato correttamente il valore assoluto nei due casi, ma aveva lasciato −1 e 2 come estremi su tutti e due i pezzi. La lezione è secca, e non c'entra niente coi segni: quando spezzi l'intervallo, spezzi anche gli estremi. Il pezzo con x negativa va da −1 a 0, quello con x positiva da 0 a 2.

Esempio con i segni, invece: l'area fra y = x² − 1 e l'asse x sull'intervallo da 0 a 2. L'integrale secco ∫₀² (x² − 1) dx = 8/3 − 2 = 2/3 non è l'area di niente: la funzione si annulla in x = 1, è negativa prima e positiva dopo. Allora ∫₀¹ (x² − 1) dx = 1/3 − 1 = −2/3, che sotto l'asse vale un'area di 2/3; e ∫₁² (x² − 1) dx = 4/3. Area totale: 2/3 + 4/3 = 2, tre volte il 2/3 dell'integrale secco, che era solo la somma algebrica +4/3 − 2/3.

Per l'area fra due curve i passi obbligati sono tre: le intersezioni, che danno gli estremi; chi sta sopra, deciso col test in un punto interno; l'integrale di sopra meno sotto. Fra y = x² e y = 2x − x²: le intersezioni escono da x² = 2x − x², cioè 2x·(x − 1) = 0, quindi x = 0 e x = 1; in x = 1/2 la prima vale 1/4 e la seconda 3/4, sta sopra la seconda; area = ∫₀¹ (2x − 2x²) dx = 1 − 2/3 = 1/3. Chi salta il test e integra sotto meno sopra trova −1/3 e, se non ha il riflesso di insospettirsi, lo consegna: un'area negativa deve far scattare l'allarme, sempre.

Il teorema della media, con la lettura da esame

Il numero f(z), cioè l'integrale diviso la lunghezza (b − a), è il valor medio di f: l'altezza del rettangolo di base (b − a) che ha la stessa area con segno della regione. E attenzione a come il teorema arriva in seconda prova: alla maturità 2026, nel problema sul lago di Bracciano, la richiesta testuale era

e solo dopo calcolare la variazione media del livello delle acque. Spiegare perché, non solo usare: il punto se lo prende chi sa nominare l'ipotesi — la continuità sull'intervallo chiuso, che è il concetto costruito nella guida sui limiti di funzione — e verificarla sulla funzione del problema.

Una nota onesta sulle somme di Riemann

Il tuo libro probabilmente costruisce il definito come limite di somme — somme superiori e inferiori, o somme alla Cauchy-Riemann, secondo l'edizione. Sappi però come stanno le cose sul piano ufficiale: nessun documento ministeriale prescrive quella costruzione, e nelle Indicazioni Nazionali per i licei la parola «Riemann» non compare nemmeno; sul calcolo, anzi, le Indicazioni frenano testualmente: «Non sarà richiesto un particolare addestramento alle tecniche del calcolo». E nelle tracce di maturità dal 2023 al 2026 la costruzione per somme non viene mai chiesta: il rigore che l'esame pretende è un altro, ed è esattamente quello del lago di Bracciano — conoscere le ipotesi dei teoremi e saperle giustificare. Il definito calcolato e l'area fra due curve li ritrovi svolti negli esercizi 6 e 14 della sezione 10; il quesito d'esame che su questi concetti torna ogni anno, la funzione integrale, ha una sezione tutta sua, la sezione 9.

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La funzione integrale e la maturità: il quesito che torna ogni anno

C'è un equivoco che si costruisce d'inverno e si paga a giugno. In verifica gli integrali arrivano nudi — «calcola ∫ x ln x dx» — e vince chi riconosce la forma e applica la tecnica giusta. È naturale concludere che prepararsi significhi questo. Poi apri una seconda prova e l'integrale nudo non c'è: c'è un problema che parte da un parametro, passa per uno studio di funzione e tiene l'integrale come ultimo punto. E c'è un oggetto che in molte verifiche non compare mai e all'esame torna con una regolarità che pochi argomenti hanno: la funzione integrale.

Non è un'impressione: sono le tracce delle sessioni ordinarie del liceo scientifico, e le righe qui sotto sono state ricontrollate sui testi ministeriali.


Quattro anni su quattro, e in tutti e due i problemi. Le richieste vere sono due: aree, ogni singolo anno, e funzione integrale — nel 2023 e 2025 dentro un problema, nel 2024 e 2026 come quesito autonomo.

Il quesito del 2026 merita due righe in più, perché è il modello del genere. La funzione è F(x) = ∫₀ˣ 1/(1+t²) dt + ∫₀^(1/x) 1/(1+t²) dt, con x > 0. La strada è dimostrare che F′ è identicamente nulla — il primo pezzo dà 1/(1+x²), il secondo dà 1/(1+1/x²) moltiplicato per la derivata di 1/x, cioè −1/x², e i due si cancellano — e poi calcolare la costante in un punto comodo. In x = 1 i due integrali sono identici, quindi F(1) = 2·arctg 1 = 2·(π/4) = π/2. Attenzione proprio qui: π/4 è il valore di arctg 1, cioè metà strada; la costante è π/2. Detto in un modo che si ricorda: F(x) = arctg x + arctg(1/x), e quella somma vale π/2 per ogni x > 0.

E il problema 1 del 2024 salda in una domanda sola l'intera trilogia: studi la curva con le derivate, calcoli l'area S(k), e la risposta finale è il limite di S(k) per k → +∞, cioè i limiti. Tre capitoli, un punto d.

La t è muta: la variabile è l'estremo

La scrittura F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt spaventa per le due lettere, ma il meccanismo è corto. Fissi l'estremo a. Per ogni valore di x, l'integrale definito da a a x è un numero (sezione 8). Al variare di x, numeri diversi: ecco una funzione di x. La t si chiama variabile muta: serve solo a scorrere fra a e x, e i libri la scrivono apposta diversa dalla x per impedirti di confondere chi scorre (la variabile di integrazione) con chi varia davvero (l'estremo superiore).

Il teorema che rende tutto usabile:

Nota sui nomi, perché confondono: lo stesso teorema si trova chiamato teorema di Torricelli-Barrow. Non è il marchio di un corso o di un editore: è un nome alternativo diffuso, che puoi incontrare sul tuo libro, sulle dispense del prof o in rete. Stesso teorema.

Quanto questo teorema resti sulla carta lo dice un dato italiano: nel questionario dei 184 maturandi, la domanda sulla derivata di g(x) = ∫ₓ^(x+2) ln²t dt ha avuto il 25% di risposte corrette e il 32% di fogli in bianco. Gli errori sono due, sempre gli stessi: calcolare l'integrale per esteso e poi derivare il risultato — segno che il legame F′ = f in testa non esiste — e dimenticare che qui anche l'estremo inferiore è variabile. La regola completa: si valuta l'integranda nell'estremo superiore per la sua derivata, meno l'integranda nell'estremo inferiore per la sua derivata. Risposta giusta: ln²(x+2) − ln²x. Chi scrive solo ln²(x+2) ha derivato metà funzione.

Cosa compra il teorema, sulla traccia vera

La traccia 2025 chiede, testualmente: «Determinare F(2) e tracciare un grafico di F, dopo averne studiato monotonia e concavità», con F(x) = ∫₋₂ˣ √(4−t²) dt. Sembra servire una primitiva di √(4−t²), che non sai fare. Non serve. L'integranda è la semicirconferenza superiore di raggio 2, quindi F(2) è l'area del semicerchio: 2π. La monotonia: F′(x) = √(4−x²) ≥ 0, quindi F cresce. La concavità: F″(x) = −x/√(4−x²), positiva prima di 0 e negativa dopo, quindi flesso in x = 0, dove F vale l'area del quarto di cerchio, π. La tangente nel flesso passa per il punto (0; π) con coefficiente angolare F′(0) = 2: è la retta y = 2x + π. Un punto intero del problema, e non hai calcolato una sola primitiva.

Anche il 2026 dice qualcosa sul rigore che l'esame chiede: «Spiegare perché il teorema della Media Integrale è applicabile alla funzione f in [0; 10]». Non ti si chiede di costruire l'integrale con le somme: ti si chiede di sapere le ipotesi — qui la continuità — e di giustificarle. Il valor medio, già che c'è: (1/(b−a)) · ∫ₐᵇ f(x) dx.

I volumi: il quadrato sta dentro

L'errore da non fare: il quadrato si fa sulla funzione, dentro l'integrale, non sull'integrale già calcolato. Non a caso «volume solido di rotazione esercizi svolti» è una delle ricerche più legate alla maturità.

Le due preparazioni, dette in chiaro

Per la verifica si studia per tecnica: sezioni da 2 a 7, una alla volta, con gli esercizi della sezione 10. Per la maturità si allena la catena parametri → studio di funzione → area o volume, e la funzione integrale come tema a sé, sulle tracce vere degli anni passati. Non è una distinzione nostra: il Quadro di riferimento della seconda prova (D.M. 769/2018) chiede testualmente di «analizzare le caratteristiche della funzione integrale di una funzione continua e applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale» e di «interpretare geometricamente l'integrale definito e applicarlo al calcolo di aree». Le tecniche sono il mezzo; queste due frasi sono la domanda.

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Quindici esercizi svolti passo passo

Quindici esercizi, in ordine di difficoltà dichiarato — che è esattamente quello che manca negli elenchi piatti che trovi in giro. La scala: l'esercizio 1 usa solo la tavola della sezione 2; i 2-4 sono i quasi immediati della sezione 3; il 5 è la scomposizione; il 6 il definito della sezione 8; il 7 la sostituzione della sezione 4; gli 8-10 il per parti della sezione 5; gli 11-13 le fratte della sezione 6; il 14 le aree; il 15 è un travestimento, di quelli che l'albero della sezione 7 insegna a smascherare.

Ogni esercizio ha lo stesso schema delle guide gemelle: testo, la mossa che sblocca, i passaggi, il Risultato, la Verifica — che qui è sempre la stessa: derivare il risultato e ritrovare l'integranda, una riga con la tabella delle derivate — e l'errore tipico in coda.

Due note di scrittura. Il valore assoluto, che sul libro sta fra due barrette verticali, qui è scritto a parole: «ln(valore assoluto di x)» è il logaritmo con le barrette del tuo testo. E la costante di integrazione è la c minuscola dei corsi Zanichelli: se il tuo libro scrive C maiuscola, è la stessa identica costante.

Esercizio 1 — Gli immediati in blocco

Calcola ∫ (4x³ + 3√x − 2 sen x + eˣ + 5/x) dx.

La mossa. Linearità: si spezza termine a termine, e la radice si riscrive come potenza, √x = x^(1/2).

Termine per termine: 4x³ dà x⁴; 3x^(1/2) dà 3 · x^(3/2)/(3/2) = 2x√x; −2 sen x dà −2·(−cos x) = 2 cos x; eˣ resta eˣ; 5/x dà 5 ln(valore assoluto di x).

Risultato: x⁴ + 2x√x + 2 cos x + eˣ + 5 ln(valore assoluto di x) + c.

Verifica. Derivando: 4x³ + 3x^(1/2) − 2 sen x + eˣ + 5/x. Torna.

Errore tipico. Il segno di seno e coseno — ∫ sen x dx = −cos x, non +cos x — e il logaritmo senza valore assoluto. Se le derivate delle goniometriche non ti sono automatiche, dieci minuti su seno, coseno e tangente prima di proseguire.

Esercizio 2 — Quasi immediato: u′ per una potenza di u

Calcola ∫ x(x² + 3)⁴ dx.

La mossa. Fuori dalla parentesi c'è quasi la derivata della base: se u = x² + 3, u′ = 2x. Manca un 2, e le costanti si aggiustano: x = ½ · 2x.

∫ x(x²+3)⁴ dx = ½ ∫ 2x·(x²+3)⁴ dx = ½ · (x²+3)⁵/5

Risultato: (x² + 3)⁵/10 + c.

Verifica. Derivando: 5(x²+3)⁴ · 2x/10 = x(x²+3)⁴. Torna.

Errore tipico. Sviluppare la quarta potenza (fattibile, suicida in verifica) o perdere il ½. E ricorda: si moltiplica e divide solo per costanti, mai per funzioni.

Esercizio 3 — u′ su u: esce un logaritmo

Calcola ∫ x/(x² + 4) dx.

La mossa. Il numeratore è, a meno di una costante, la derivata del denominatore: la derivata di x² + 4 è 2x. Aggiusto: x = ½ · 2x, e uso la formula ∫ u′/u dx = ln(valore assoluto di u) + c.

∫ x/(x²+4) dx = ½ ∫ 2x/(x²+4) dx = ½ ln(x²+4)

Il valore assoluto qui si può omettere: x² + 4 è sempre positivo.

Risultato: ½ ln(x² + 4) + c.

Verifica. Derivando: ½ · 2x/(x²+4) = x/(x²+4). Torna.

Errore tipico. Confonderlo con ∫ 1/(x²+4) dx, che dà un'arcotangente: la differenza la fa la x al numeratore. E attenzione, quell'altro integrale non si legge di colpo sulla tavola: prima si raccoglie il 4 al denominatore, e il conto per intero è nella sezione 2, col metodo generale nel caso Δ < 0 della sezione 6.

Esercizio 4 — u′ per e^u

Calcola ∫ cos x · e^(sen x) dx.

La mossa. Esponenziale composto: davanti c'è la derivata dell'esponente? La derivata di sen x è cos x: c'è già, senza aggiustare niente. Formula: ∫ u′·e^u dx = e^u + c.

Risultato: e^(sen x) + c.

Verifica. Derivando: e^(sen x) · cos x. Torna.

Errore tipico. Quando la derivata dell'esponente non c'è — per esempio ∫ e^(sen x) dx da solo — «dividerla» a mano scrivendo e^(sen x)/cos x. Mossa illegale: si divide solo per costanti. Se la derivata non c'è, questa strada non esiste.

Esercizio 5 — La scomposizione: la somma sopra si divide termine a termine

Calcola ∫ (x − 1)²/x dx.

La mossa. Per l'integrale di un quoziente non esiste una formula: quello che esiste è l'algebra prima dell'integrale. Si sviluppa il quadrato (prodotti notevoli) e si divide termine a termine, perché sotto c'è un monomio solo.

(x−1)²/x = (x² − 2x + 1)/x = x − 2 + 1/x

Risultato: x²/2 − 2x + ln(valore assoluto di x) + c.

Verifica. Derivando: x − 2 + 1/x, che ricomposto è (x−1)²/x. Torna.

Errore tipico. Confondere due cose diverse. Dividere una somma per un monomio è lecito, ed è quello che abbiamo appena fatto: è ancora linearità. Quello che non esiste è spezzare l'integrale della frazione, cioè scrivere ∫ f/g dx come ∫f dx diviso ∫g dx — è l'errore 3 della sezione 11.

Esercizio 6 — Il definito e l'area col segno

Calcola ∫₀² (x² − 4) dx, poi l'area della regione fra il grafico e l'asse x su quell'intervallo.

La mossa. Primitiva ed estremi: F(x) = x³/3 − 4x, e il risultato è F(2) − F(0). Poi si guarda il segno dell'integranda: su tutto l'intervallo x² ≤ 4, il grafico sta sotto l'asse.

∫₀² (x²−4) dx = [x³/3 − 4x]₀² = (8/3 − 8) − 0 = −16/3

L'integrale è negativo perché conta col meno le regioni sotto l'asse. L'area è il valore assoluto: 16/3.

Risultato: integrale −16/3, area 16/3.

Verifica. Derivando x³/3 − 4x: x² − 4. Torna, e il segno negativo è coerente col grafico sotto l'asse.

Errore tipico. Consegnare un'«area negativa» — l'area è sempre ≥ 0 — e scrivere +c in un definito: nella differenza F(2) − F(0) qualunque costante si semplifica.

Esercizio 7 — Sostituzione: le due strade del definito

Calcola ∫₁⁴ 1/(1 + √x) dx.

La mossa. Pongo t = √x per far sparire la radice: x = t², dx = 2t dt. Poi il bivio della sezione 4, e qui prendo la strada (a), cambiare gli estremi: x = 1 dà t = 1, x = 4 dà t = 2. Così alla x non si torna mai più.

∫₁² 2t/(1+t) dt, e con il trucco 2t/(1+t) = 2(t+1−1)/(1+t) = 2 − 2/(1+t):

[2t − 2 ln(1+t)]₁² = (4 − 2 ln 3) − (2 − 2 ln 2) = 2 − 2 ln(3/2)

Risultato: 2 − 2 ln(3/2) ≈ 1,19.

La strada (b), altrettanto corretta e un po' più lunga. Invece di cambiare gli estremi puoi tornare alla x prima di valutare. La primitiva in t è 2t − 2 ln(1+t); sostituendo t = √x diventa 2√x − 2 ln(1+√x), e adesso gli estremi di partenza sono di nuovo quelli buoni, perché la variabile è di nuovo x:

[2√x − 2 ln(1+√x)]₁⁴ = (4 − 2 ln 3) − (2 − 2 ln 2) = 2 − 2 ln(3/2)

Stesso numero, come dev'essere: le due strade sono lecite allo stesso modo, e in verifica valgono gli stessi punti. Quello che non è lecito è mescolarle, cioè valutare la primitiva in t fra gli estremi della x.

Verifica. Derivando 2t − 2 ln(1+t): 2 − 2/(1+t) = 2t/(1+t). Torna. E il valore è plausibile: l'integranda scende da ½ a ⅓ su un intervallo lungo 3, quindi il risultato deve stare fra 1 e 1,5.

Errore tipico. Valutare la primitiva in t, 2t − 2 ln(1+t), fra gli estremi vecchi 1 e 4: è il miscuglio, e qui darebbe 6 − 2 ln 5 + 2 ln 2 ≈ 4,17, più del triplo del vero, senza che una riga sembri sbagliata (errore 5 della sezione 11). E dimenticare che dx = 2t dt, sostituendo solo la radice.

Esercizio 8 — Per parti, un giro

Calcola ∫ x ln x dx.

La mossa. Nella formula ∫ f·g′ = f·g − ∫ f′·g conviene derivare il logaritmo, che derivando si semplifica (la derivata di ln x è 1/x), e integrare x. Mai il contrario: ln x non lo sai ancora integrare.

∫ x ln x dx = (x²/2)·ln x − ∫ (x²/2)·(1/x) dx = (x²/2) ln x − ∫ x/2 dx

Risultato: (x²/2) ln x − x²/4 + c.

Verifica. Derivando: x ln x + x/2 − x/2 = x ln x. Torna.

Errore tipico. «Integrare» ln x scrivendo 1/x: quella è la derivata. È l'errore più frequente in assoluto su questo capitolo; se ti succede, ripassa la coppia su logaritmi ed esponenziali.

Esercizio 9 — Per parti, due giri

Calcola ∫ x² eˣ dx.

La mossa. Derivo la potenza, che a ogni giro scende di grado (x² → 2x → 2), e integro eˣ, che non cambia mai. Due giri, finché la potenza sparisce.

Primo giro: ∫ x² eˣ dx = x² eˣ − 2 ∫ x eˣ dx Secondo giro: ∫ x eˣ dx = x eˣ − eˣ Rimonto: x² eˣ − 2(x eˣ − eˣ) = eˣ(x² − 2x + 2)

Risultato: eˣ(x² − 2x + 2) + c.

Verifica. Derivando: eˣ(x² − 2x + 2) + eˣ(2x − 2) = eˣ · x². Torna.

Errore tipico. Il «−2» davanti al secondo integrale va distribuito su tutto il risultato del secondo giro, parentesi comprese: chi scrive x² eˣ − 2x eˣ − 2eˣ, invece di + 2eˣ, ha perso il meno nella distribuzione. E si smaschera derivando anche la versione sbagliata: da x² eˣ − 2x eˣ − 2eˣ esce x² eˣ − 4eˣ, che non è l'integranda.

Esercizio 10 — Per parti ciclico: l'equazione in I

Calcola I = ∫ eˣ sen x dx.

La mossa. Dopo due per parti ricompare l'integrale di partenza: non è un fallimento, è un'equazione in I. Fondamentale: nei due giri la scelta resta la stessa — integro sempre eˣ, derivo sempre la goniometrica.

Primo giro: I = eˣ sen x − ∫ eˣ cos x dx Secondo giro: ∫ eˣ cos x dx = eˣ cos x + I Sostituendo: I = eˣ sen x − eˣ cos x − I, cioè 2I = eˣ(sen x − cos x)

Risultato: eˣ(sen x − cos x)/2 + c.

Verifica. Derivando: ½ di eˣ(sen x − cos x) + eˣ(cos x + sen x), cioè ½ · eˣ · 2 sen x = eˣ sen x. Torna.

Errore tipico. Invertire i ruoli al secondo giro: esce l'identità 0 = 0, verissima e inutile. La scelta di partenza poteva anche essere l'altra, purché tenuta ferma per tutti e due i giri. E la c finale, che risolvendo l'equazione si dimentica quasi sempre.

Esercizio 11 — Fratta, grado sopra maggiore: prima si divide

Calcola ∫ (x² + 3x + 5)/(x + 1) dx.

La mossa. Grado 2 sopra, grado 1 sotto: prima la divisione, sempre. La divisione fra polinomi è quella della guida sul teorema di Ruffini.

x² + 3x + 5 = (x + 1)(x + 2) + 3 — controllo: (x+1)(x+2) = x² + 3x + 2, più 3 torna il numeratore.

Quindi l'integranda è x + 2 + 3/(x + 1).

Risultato: x²/2 + 2x + 3 ln(valore assoluto di (x + 1)) + c.

Verifica. Derivando: x + 2 + 3/(x+1). Torna.

Errore tipico. Saltare la divisione e buttarsi sui fratti semplici, che valgono solo con il grado sopra minore. Il controllo quoziente per divisore più resto costa dieci secondi e salva l'esercizio.

Esercizio 12 — Fratta con Δ > 0: si spezza in due

Calcola ∫ (x − 1)/(x² − 5x + 6) dx.

La mossa. Δ = 25 − 24 = 1 > 0: due radici distinte, 2 e 3, quindi x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) — la scomposizione del trinomio è quella delle equazioni di secondo grado. Si spezza in A/(x−2) + B/(x−3), cioè x − 1 = A(x − 3) + B(x − 2), e si usano i valori comodi: con x = 2 viene 1 = −A, cioè A = −1; con x = 3 viene 2 = B.

Risultato: −ln(valore assoluto di (x − 2)) + 2 ln(valore assoluto di (x − 3)) + c.

Verifica. Derivando: −1/(x−2) + 2/(x−3), che a denominatore comune dà (x−1)/(x²−5x+6). Torna.

Errore tipico. I segni nei valori comodi: in x = 2 il fattore x − 3 vale −1, non 1. Nota di lessico: all'università questo si chiama «metodo dei fratti semplici»; sul Bergamini il paragrafo si intitola «integrazione di funzioni razionali fratte». Stessa cosa.

Esercizio 13 — Fratta con Δ = 0: il quadrato perfetto

Calcola ∫ (x + 1)/(x² − 4x + 4) dx.

La mossa. Δ = 16 − 16 = 0: il denominatore è (x − 2)². Col metodo ufficiale si scompone in due pezzi, A/(x − 2) + B/(x − 2)², cioè x + 1 = A(x − 2) + B: il valore comodo x = 2 dà B = 3, e il confronto dei coefficienti della x dà A = 1.

(x+1)/(x−2)² = 1/(x−2) + 3/(x−2)²

Scorciatoia equivalente, se il prof la accetta: riscrivere il numeratore col denominatore dentro, x + 1 = (x − 2) + 3, e la frazione si spezza da sola nelle stesse due parti.

Il primo pezzo dà un logaritmo; il secondo è una potenza, 3(x−2)⁻², che dà 3·(x−2)⁻¹/(−1).

Risultato: ln(valore assoluto di (x − 2)) − 3/(x − 2) + c.

Verifica. Derivando: 1/(x−2) + 3/(x−2)², che ricomposto è (x+1)/(x−2)². Torna.

Errore tipico. Integrare 1/(x−2)² come se fosse un logaritmo: il logaritmo esce solo dall'esponente −1. Qui l'esponente è −2, e comanda la regola delle potenze.

Esercizio 14 — L'area fra due parabole

Calcola l'area della regione finita delimitata da y = x² e y = 2x − x².

La mossa. Tre passi obbligati: intersezioni (che danno gli estremi), chi sta sopra, integrale di (sopra − sotto).

Intersezioni: x² = 2x − x² dà 2x(x − 1) = 0, cioè x = 0 e x = 1. Chi sta sopra in mezzo? In x = ½ la prima vale ¼, la seconda ¾: sopra sta y = 2x − x².

Area = ∫₀¹ (2x − 2x²) dx = [x² − (2/3)x³]₀¹ = 1 − 2/3 = 1/3

Risultato: 1/3.

Verifica. Derivando x² − (2/3)x³: 2x − 2x². Torna; e il risultato è positivo e minore di 1, com'è giusto per una regione dentro un quadrato unitario.

Errore tipico. Non controllare chi sta sopra: integrando (sotto − sopra) esce −1/3, e chi non si insospettisce per un'area negativa consegna così. Il test in un punto interno costa una riga.

Esercizio 15 — Il travestito finale

Calcola ∫ 1/(x ln x) dx.

La mossa. Niente panico e niente per parti: si riscrive mettendo in evidenza la struttura, 1/(x ln x) = (1/x)/(ln x). Al numeratore c'è 1/x, che è esattamente la derivata del denominatore ln x: un u′/u in maschera (sezione 3).

Risultato: ln(valore assoluto di ln x) + c.

Verifica. Derivando: (1/ln x)·(1/x) = 1/(x ln x). Torna.

Errore tipico. Rispondere col logaritmo di tutto il denominatore, senza controllare che sopra ci sia la sua derivata: la derivata di x ln x è ln x + 1, che qui non c'è. Prima di usare la formula del logaritmo si verifica sempre che sopra ci sia proprio u′ — lo stesso riflesso che in seconda prova smaschera tg x = sen x/cos x, il cui integrale è −ln(valore assoluto di cos x) + c.

Riepilogo per la correzione rapida

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Gli errori che fanno perdere punti in verifica

Gli errori di questo capitolo non sono distrazioni: sono misurati. Una tesi dell'Università di Bologna ha fatto passare un questionario sugli integrali a 184 maturandi di liceo, e uno studio pubblicato nel 2017 sull'Asian Journal of University Education ha misurato, su 147 studenti universitari di un corso di Calculus II in Malesia, quanto punteggio si perde tecnica per tecnica: la sostituzione senza suggerimenti fa perdere il 36,5% del punteggio; per parti, sostituzioni trigonometriche e fratte insieme, il 42,8%. Sono percentuali di punti persi, non di studenti bocciati: dicono dove il terreno cede, non quante persone cadono. Se cadi su questi punti, sei nella maggioranza statistica, non nel gruppo di quelli «negati».

Ogni errore è smontato in quattro mosse, come nelle guide gemelle: come lo pensano quasi tutti → perché sembra giusto → cosa succede davvero → come te ne accorgi.

Errore 1 — «L'integrale è l'area», sempre

Come lo pensano quasi tutti: integrale definito uguale area sotto la curva. Perché sembra giusto: è così che viene introdotto, e i primi esempi sono tutti su funzioni positive. Cosa succede davvero: l'integrale è una somma algebrica, e le regioni sotto l'asse x contano col meno. ∫ di sen x da 0 a 2π vale 0, ma l'area fra la curva e l'asse è 4: +2 sopra, −2 sotto, e la somma si annulla. Rovescio dello stesso errore: chiesta l'area fra y = x² − 1 e l'asse x sull'intervallo da 0 a 2, chi integra e basta trova 2/3; l'area vera è 2, perché il grafico sta sotto l'asse fra 0 e 1 e sopra fra 1 e 2, e i due pezzi (2/3 e 4/3) vanno separati e presi entrambi positivi. Come te ne accorgi: se la parola del testo è «area» e non hai disegnato né studiato il segno dell'integranda, fermati; e un'area negativa o nulla per una regione che sul disegno esiste è già la prova dell'errore.

Errore 2 — La c che «tanto non serve»

Come lo pensano quasi tutti: la c è un ornamento — derivando sparisce, nei definiti si semplifica. Perché sembra giusto: nei definiti si semplifica davvero. Cosa succede davvero: appena il problema dà una condizione, la c è la risposta. Quesito d'esame PNI 2003, riusato nel questionario di Bologna: f″(x) = sen x con f′(0) = 1; allora f′(x) = −cos x + c₁, la condizione dà c₁ = 2, e f(π/2) − f(0) = π − 1 ≈ 2,14. Chi butta le costanti trova −1: sbagliato il valore e pure il segno. Nel campione, tre quarti delle risposte errate erano esattamente quelle senza costanti. E c'è un secondo modo di maltrattare la costante, che nello stesso questionario ha colpito 84 studenti su 184: davanti a un elenco di candidate primitive del valore assoluto del seno, hanno scartato quella col + 2 e hanno scelto la versione senza costanti — che però aveva un salto, quindi non era derivabile e non era una primitiva. Era proprio quel + 2 a saldare i due rami e a renderla l'unica corretta. Come te ne accorgi: se il testo assegna un valore in un punto — f(0), F(1) — e nella tua soluzione non è mai comparsa una c da determinare, manca un pezzo.

Errore 3 — L'integrale del prodotto fatto a pezzi

Come lo pensano quasi tutti: ∫ f·g = (∫f)·(∫g). Perché sembra giusto: con la somma funziona, e la mente estende per analogia — è la stessa matrice di √(a+b) = √a + √b. Cosa succede davvero: ∫ di x·x fra 0 e 1 vale 1/3, mentre il prodotto dei due integrali vale ½ · ½ = 1/4. In forma indefinita: ∫x² dx = x³/3, ma (x²/2)·(x²/2) = x⁴/4, e derivando x⁴/4 esce x³, non x². Stessa cosa col quoziente: ∫ f/g dx non è ∫f dx diviso ∫g dx. Attenzione a non confonderlo con una mossa che invece è lecitissima, dividere una somma per un monomio, come nell'esercizio 5: lì stai distribuendo dentro l'integranda, non spezzando l'integrale. Per prodotto e quoziente non esistono proprietà: esistono invece il per parti e le fratte, che sono nate apposta (sezione 5 e sezione 6). Come te ne accorgi: derivi il risultato — una riga — e l'integranda non torna.

Errore 4 — Il definito trattato come una famiglia di funzioni

Come lo pensano quasi tutti: ∫₀³ x² dx = x³/3 + c. Perché sembra giusto: stesso simbolo dell'indefinito, stesso gesto iniziale — trovare la primitiva. Cosa succede davvero: il definito è un numero. La scrittura corretta è quella a parentesi quadre con gli estremi, [x³/3]₀³ = 9 − 0 = 9 — la formula F(b) − F(a), la stessa F primitiva della sezione 1, che i libri chiamano formula di Leibniz-Newton e che vale quando l'integranda è continua fra i due estremi — e nella differenza qualunque costante si semplifica: per questo nel definito la c non si scrive. Un «integrale definito» con dentro ancora una x o una c non è un numero, quindi non è la risposta. Come te ne accorgi: guarda il risultato: se ci sono estremi sull'integrale e lettere nella risposta, riparti.

Errore 5 — Il miscuglio nella sostituzione: primitiva nuova, estremi vecchi

Come lo pensano quasi tutti: gli estremi appartengono al simbolo ∫ e non si toccano. Perché sembra giusto: la sostituzione la impari sugli indefiniti, dove alla fine torni sempre alla x e la domanda non si pone mai. Cosa succede davvero: gli estremi sono valori della variabile, quindi una primitiva scritta in u non si valuta con i numeri che erano della x. Le strade lecite sono due, come nella sezione 4, e nell'esercizio 7 le trovi svolte tutte e due: (a) cambi gli estremi insieme alla variabile e non torni più alla x; (b) tieni la variabile nuova senza estremi, torni alla x e valuti fra gli estremi originali. Stesso risultato. L'errore è il miscuglio, che non è nessuna delle due: ∫₀² 2x·e^(x²) dx con u = x² fa, per la strada (a), ∫₀⁴ eᵘ du = e⁴ − 1 ≈ 53,6, e per la (b) e^(x²) valutata fra 0 e 2, cioè lo stesso e⁴ − 1; chi invece valuta eᵘ fra 0 e 2 consegna e² − 1 ≈ 6,39, un ordine di grandezza sotto, e nessun passaggio «sembra» sbagliato.

C'è poi il caso che sorprende, ed è quello annunciato nella sezione 4: gli estremi nuovi possono uscire in ordine invertito, e non si riordinano gratis. Prendi ∫ da 0 a π di sen x dx, che vale 2, e poni u = cos x. Allora du = −sen x dx, cioè sen x dx = −du; e gli estremi diventano u = cos 0 = 1 in basso, u = cos π = −1 in alto. L'integrale è quindi da 1 a −1 di −du, cioè da −1 a 1 di du, cioè 2. Chi rimette in ordine 1 e −1 senza cambiare segno consegna −2: un'area negativa per una funzione che su quell'intervallo non è mai negativa. Come te ne accorgi: sotto l'ultimo integrale c'è la u, ma sugli estremi ci sono ancora i numeri della x; oppure il primo estremo è più grande del secondo e tu li hai scambiati senza toccare il segno.

Errore 6 — Il meno perso nel per parti

Come lo pensano quasi tutti: la formula a memoria, e il meno come dettaglio. Perché sembra giusto: un segno non cambia la struttura del conto, e la struttura è giusta. Cosa succede davvero: ∫ di x cos x fra 0 e π/2 vale π/2 − 1 ≈ 0,57, con la primitiva x sen x + cos x. Chi dimentica che −∫ sen x dx = +cos x e scrive x sen x − cos x trova π/2 + 1 ≈ 2,57: impossibile, perché tutta la regione sta dentro un rettangolo di base π/2 e altezza 1, area ≈ 1,57. La stima grossolana col rettangolo smaschera il segno in dieci secondi. Come te ne accorgi: confronta il numero con un rettangolo che contiene la regione; e sull'indefinito, deriva la primitiva — il segno sbagliato esplode alla prima riga.

Errore 7 — Derivare invece di integrare

Come lo pensano quasi tutti: «la primitiva di ln x è 1/x». Perché sembra giusto: derivate e primitive vivono nella stessa tavola, letta nei due versi, e sotto pressione si legge nel verso sbagliato. Cosa succede davvero: 1/x è la derivata di ln x; la primitiva è x ln x − x + c, che infatti derivata dà ln x + 1 − 1 = ln x (è la mossa dell'esercizio 8). Non è un errore raro: nel questionario di Bologna uno studente, per verificare un'uguaglianza in cui andava integrato 3x, l'ha derivato; e sulla formula per parti «travestita», scritta con F(x) al posto della primitiva e f(x) al posto della derivata, il 23% ha sbagliato, scegliendo in prevalenza l'opzione in cui primitiva e derivata risultano scambiate. Come te ne accorgi: prima di scrivere, formula la domanda nel verso giusto: «derivando che cosa, ottengo l'integranda?». Poi la controprova, che è sempre la stessa: derivare il risultato.

La disciplina lessicale, che mette ordine da sola

• L'integrale definito è un numero: niente x e niente c nella risposta.
• L'integrale indefinito è un insieme di funzioni: la famiglia F(x) + c, tutta intera.
• La funzione integrale è una funzione: la variabile è l'estremo, la t è muta (sezione 9).

Tre oggetti diversi sotto lo stesso simbolo ∫: metà degli errori di questa pagina nasce dal confonderli. E la regola di chiusura, ripetuta qui per l'ultima volta perché è il riflesso che ripaga di più: prima di consegnare, deriva il risultato. Costa una riga, usa la tabella delle derivate che conosci già, e da sola intercetta tre errori su sette, il 3, il 6 e il 7.

Gli altri quattro no, e va detto invece di lasciartelo scoprire: la derivata di controllo collauda la primitiva, non il resto. Non vede il + c messo dentro un definito (errore 4), non vede la primitiva in t valutata fra gli estremi della x (errore 5), non vede se hai consegnato un integrale col segno al posto di un'area (errore 1) né se hai perso una costante che il testo ti aveva assegnato (errore 2). Quelli si intercettano con altri due gesti, che costano quanto il primo: guardare il segno dell'integranda sull'intervallo, e stimare l'ordine di grandezza del numero con un rettangolo. Tre controlli in tutto, e la verifica per derivazione è quella eseguita su tutti i quindici esercizi della sezione 10: non un rito, un collaudo.

Chiudiamo con la notizia che toglie ansia, e la diamo con la fonte in chiaro. La tesi di Bologna, dopo aver analizzato le 184 prove, conclude che nella scuola reale uno studio completo degli integrali richiede tempo e «troppo spesso viene affrontato nell'ultimo mese di scuola», ridotto al puro calcolo delle primitive, e che gli studenti «pur eseguendo alla perfezione il calcolo di un integrale, mostrano di non aver capito bene cosa sia». Tradotto: se a maggio arranchi mentre la classe corre verso l'esame, non sei tu che vai piano — è il calendario che è fatto così. Il tempo che non ti ha dato la scuola te lo puoi ridare tu, ed è il motivo per cui teoria, esercizi in scala e errori commentati stanno tutti in questa stessa pagina.

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Domande frequenti

Quante formule devo sapere a memoria per fare gli integrali?
Dieci. La tavola degli integrali immediati sta in dieci righe, e sono dieci derivate che già conosci, lette al contrario: potenze, 1/x, eˣ, aˣ, seno, coseno, le due con il quadrato al denominatore, arcotangente e arcoseno. Le otto righe dei quasi immediati non sono una seconda tavola: sono le stesse con la x sostituita dalla funzione interna u e la sua derivata u′ davanti. E la prima riga ne ingoia parecchie che credevi separate: √x è x^(1/2), quindi ∫√x dx fa (2/3)x√x + c; 1/x² è x^(−2), quindi ∫1/x² dx fa −1/x + c. Deriva −1/x e ritrovi 1/x².

Il + c serve davvero o è una formalità che posso saltare?
Sembra un ornamento, perché derivando sparisce e nel definito si semplifica. Poi arriva un problema con una condizione, e la costante decide il risultato. Quesito d'esame PNI 2003: f″(x) = sen x con f′(0) = 1, quanto vale f(π/2) − f(0)? Integrando la prima volta, f′(x) = −cos x + c₁, e la condizione dà c₁ = 2; poi f(x) = −sen x + 2x + c₂, e la differenza vale π − 1 ≈ 2,14. Chi butta le costanti scrive f(x) = −sen x e risponde −1: sbagliati il valore e il segno. Nel questionario somministrato a 184 maturandi per una tesi dell'Università di Bologna, fra le risposte errate tre su quattro avevano esattamente questo difetto.

Primitiva, antiderivata, integrale indefinito, integrale definito: sono la stessa cosa?
No, e conviene separarli subito. Una primitiva è una singola funzione F con F′(x) = f(x). L'integrale indefinito non è una primitiva: è l'insieme di tutte, la famiglia F(x) + c, ed è per questo che la risposta è una famiglia di funzioni. L'integrale definito invece è un numero: scrivere che l'integrale di x² fra 0 e 3 fa x³/3 + c è un errore di tipo, il risultato è 9. Antiderivata indica lo stesso oggetto della primitiva, calco dell'inglese antiderivative, che i testi scolastici italiani di regola non usano nel corpo del testo. Anche i teoremi hanno nomi doppi: il teorema fondamentale è anche Torricelli-Barrow, la formula F(b) − F(a) è anche Leibniz-Newton.

Posso spezzare l'integrale di un prodotto o di una frazione come faccio con la somma?
No, e la tentazione è comprensibile: la linearità funziona davvero con la somma e con le costanti, e tu la estendi per analogia, come chi scrive che la radice di una somma è la somma delle radici. Controesempio in due righe: fra 0 e 1 l'integrale di x·x vale 1/3, mentre il prodotto dei due integrali vale ½·½ = 1/4. I manuali lo dicono in chiaro: per il prodotto e per il quoziente non esiste nessuna proprietà. Attenzione a non confondere due cose diverse: dividere una somma per un monomio si può — (x − 1)²/x diventa x − 2 + 1/x — perché lì lavori dentro l'integranda. Quello che non esiste è ∫f/g dx uguale a ∫f dx diviso ∫g dx.

Che cos'è quel dx? E perché a un certo punto al posto di 2x compare d(x²+4)?
Sono due domande, e quasi nessun libro le affronta di petto. Il dx dice rispetto a quale lettera stai integrando e chiude l'integrale come una parentesi. La seconda scrittura è una stenografia con una regola sola: d(qualcosa) significa la derivata di quel qualcosa, moltiplicata per dx. Siccome la derivata di x² + 4 è 2x, scrivere 2x dx oppure d(x² + 4) è la stessa identica cosa: il fattore non è sparito, è stato assorbito dentro la d. Serve a far vedere a occhio nudo la struttura u′ su u: ∫x/(x² + 4) dx = ½∫2x/(x² + 4) dx = ½ ln(x² + 4) + c, e derivando ½ ln(x² + 4) torna x/(x² + 4).

Come capisco quale metodo devo usare guardando l'integrale?
Con cinque domande in ordine fisso, e ti fermi alla prima che risponde sì. 1) È in tavola, o ci arriva spezzando con la linearità? 2) C'è, a fattore, la derivata del dentro, anche solo a meno di una costante? Allora è un quasi immediato. 3) È un polinomio diviso un polinomio? Fratta: prima i gradi, poi il Δ. 4) È un prodotto di famiglie diverse? Per parti. 5) C'è una radice o un argomento ostico da far sparire? Sostituzione. L'ordine non è decorativo: ∫x·e^(x²) dx e ∫x·eˣ dx si somigliano, ma nel primo la x è metà della derivata di x², quindi chiudi alla domanda 2 con e^(x²)/2 + c; il secondo va per parti e dà eˣ(x − 1) + c.

Quando faccio una sostituzione devo cambiare anche gli estremi?
Nel definito le strade lecite sono due, e scegli tu. (a) Cambi gli estremi insieme alla variabile e alla x non torni mai più: è la più corta, ed è quella che consigliamo. (b) Tieni la variabile nuova senza estremi, trovi la primitiva, torni alla x e valuti fra gli estremi originali: più lunga, ugualmente corretta, stessi punti in verifica. Quello che non esiste è la via di mezzo: valutare una primitiva ancora scritta nella variabile nuova fra i numeri che erano della x. Con u = x², l'integrale di 2x·e^(x²) fra 0 e 2 diventa quello di eᵘ fra 0 e 4, cioè e⁴ − 1 ≈ 53,6 — e per la strada (b) è e^(x²) valutata fra 0 e 2, di nuovo e⁴ − 1. Chi invece valuta eᵘ fra 0 e 2 consegna e² − 1 ≈ 6,39, più di otto volte più piccolo, senza che una sola riga del foglio sembri sbagliata. Secondo avviso, per chi prende la strada (a): i nuovi estremi possono uscire in ordine invertito, e non si riordinano gratis. Con u = cos x, l'integrale di sen x fra 0 e π diventa quello di −du da 1 a −1 e vale 2; chi li rimette in ordine senza cambiare segno consegna −2, impossibile per una funzione che lì non è mai negativa.

Perché mi viene un'area negativa? Le aree non sono sempre positive?
Le aree sì, ma l'integrale definito non è un'area: è una somma con segno, e conta col meno le regioni che stanno sotto l'asse x. Due numeri lo mostrano. L'integrale di sen x fra 0 e 2π vale 0, mentre l'area fra curva e asse è 4: il conto è +2 − 2, non «niente». L'integrale di x² − 4 fra 0 e 2 vale −16/3, mentre l'area di quella regione è 16/3. Regola operativa: se il testo dice area, studia prima il segno dell'integranda, spezza l'intervallo dove si annulla dando a ogni pezzo i suoi estremi, e cambia segno ai pezzi sotto l'asse. Un'area negativa consegnata è sempre un errore.

In che anno si fanno gli integrali, e cadono davvero alla maturità?
Dipende dalla scuola, e ballano due anni. Nei licei sono materia di quinto anno: le Indicazioni Nazionali (D.I. 7 ottobre 2010 n. 211) mettono lì continuità, derivabilità e integrabilità. Negli istituti tecnici arrivano prima, nel secondo biennio: le Linee guida del 2012 elencano integrale indefinito e definito fra le conoscenze di terza e quarta, e rimandano al quinto anno le tecniche fini, le aree e i volumi. Alla seconda prova dello scientifico ci sono eccome: nelle sessioni ordinarie dal 2023 al 2026 compaiono in tutti e due i problemi, di solito nell'ultimo punto. Le richieste ricorrenti sono due: le aree, ogni anno, e la funzione integrale, dentro un problema nel 2023 e nel 2025, come quesito autonomo nel 2024 e nel 2026.

Devo sapere le somme di Riemann o mi basta saper trovare la primitiva?
Per la seconda prova la costruzione fondazionale non serve: la parola Riemann non compare nelle Indicazioni Nazionali dei licei, che anzi avvertono che non sarà richiesto un particolare addestramento alle tecniche del calcolo e si limitano a chiedere di integrare funzioni polinomiali intere e altre funzioni elementari e di determinare aree e volumi in casi semplici. Il Quadro di riferimento (D.M. 769/2018) chiede di analizzare la funzione integrale, di applicare il teorema fondamentale e di interpretare geometricamente l'integrale definito. Il rigore che ti chiedono è sulle ipotesi: nella prova 2026 il problema 1 chiedeva di spiegare perché il teorema della media integrale fosse applicabile. Sul libro la definizione con le somme c'è comunque, e all'orale può arrivare.