La termodinamica: dove finisce l'energia che sparisce

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1) L'energia che sparisce nell'urto: la domanda rimasta aperta (primo biennio, con un'anticipazione dichiarata del secondo)
2) La temperatura e il termometro: che cosa misuriamo davvero (primo biennio)
3) La dilatazione termica: perché i ponti hanno i denti (primo biennio)
4) Il calore, il calore specifico e la calorimetria: quanto costa scaldare (primo biennio)
5) I passaggi di stato: il calore che non fa salire il termometro (primo biennio)
6) Come il calore viaggia, e perché il metallo sembra più freddo del legno (primo biennio, con un approfondimento dichiarato)
7) Il gas perfetto: le leggi, l'equazione di stato e la teoria cinetica (secondo biennio)
8) Il primo principio: l'energia interna, e che cosa vuol dire quel meno (secondo biennio)
9) Le trasformazioni di un gas nel piano pressione-volume: lavoro, calori specifici, entalpia (secondo biennio)
10) Le macchine termiche, i cicli reali e le macchine al contrario (secondo biennio)
11) Il secondo principio e il limite di Carnot: quanto prendono davvero le macchine vere (secondo biennio)
12) L'entropia, il terzo principio e la risposta alla domanda dell'urto (secondo biennio)
13) Domande frequenti
14) Errori tipici, ponte col libro di testo e ripasso (tutte le sezioni)

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L'energia che sparisce nell'urto: la domanda rimasta aperta (primo biennio, con un'anticipazione dichiarata del secondo)

Questa guida nasce da una frase lasciata a metà. Nella guida del sito su lavoro, energia e potenza, nel punto in cui si spiega che il calore prodotto dai freni non si sente perché è distribuito su troppa materia, la spiegazione si ferma e dice: «Il resto lo studierai in termodinamica». Quella promessa non era mai stata mantenuta: le guide di fisica del sito erano cinque e parlavano tutte di meccanica. Questa è il resto.

Il punto in cui il conto della meccanica si interrompe è sempre lo stesso. Nella guida su quantità di moto e urti c'è scritto che nell'urto anelastico la quantità di moto si conserva ma l'energia cinetica no, e che quella che manca se ne va «in deformazione e calore». Nella guida su forze ed equilibrio l'attrito compare come «calore, consumo». Tre volte la stessa parola, mai spiegata. Si riparte da lì. E la prima cosa da dire è che non è sparito niente: quell'energia c'è ancora tutta, e si può contare.

L'acqua che cade nel secchio

Il numero arriva subito, e non è inventato per l'occasione: è il quesito 16 della gara di primo livello dei Campionati di Fisica dell'edizione 2024, svolta il 14 dicembre 2023, con soluzione ufficiale pubblicata dall'Associazione per l'Insegnamento della Fisica. Il testo dice: una quantità d'acqua di massa m sta cadendo in un secchio e vi arriva con velocità v; il 25 per cento dell'energia cinetica che l'acqua perde quando viene raccolta nel secchio rimane al suo interno; di quanto aumenta la temperatura dell'acqua?

La risposta ufficiale è deltaT = v^2 / (8 c), dove c è il calore specifico dell'acqua, cioè il numero che dice quanta energia serve per scaldare un chilogrammo di quella sostanza di un grado. La tavola dei dati che lo studente riceve in gara dà per l'acqua c = 4182 joule per chilogrammo e per kelvin, con la condizione dichiarata: a 20 gradi C.

Sostituendo noi una velocità di arrivo di 10 metri al secondo, cioè 36 chilometri orari, il conto è 100 diviso 8 per 4182, e viene 0,0030 kelvin. Tre millesimi di grado.

Due cose vale la pena notarle adesso. La prima: nella formula la massa non compare. Che cada un bicchiere o una tanica, l'aumento di temperatura è lo stesso, perché più acqua porta più energia ma ha anche più materia da scaldare. La seconda: tre millesimi di grado sono invisibili. Il termometro che avete in laboratorio arriva al mezzo grado, quello da febbre al decimo: nessuno dei due vedrebbe mai quel numero. Ma «non lo vedo» e «non c'è» sono due frasi diverse, e questa guida serve a tenerle separate.

Il conto non lo chiediamo qui, perché per farlo serve una formula che arriva più avanti. Lo promettiamo: alla sezione 4 questo conto lo saprai rifare da solo.

Le tre parole da sciogliere subito

Il joule, simbolo J, e l'unita dell'energia nel Sistema Internazionale, e vale un newton per un metro: è il lavoro che compie una forza di un newton spostando il suo punto di applicazione di un metro. È la stessa unità con cui in meccanica hai già misurato il lavoro e l'energia cinetica. Il primo fatto della termodinamica è proprio questo: il calore si misura in joule, come il lavoro, perché è energia anche lui.

Il kelvin misura le temperature come i gradi Celsius, ma parte da un altro zero: lo zero della scala kelvin è a meno 273,15 gradi C, e quel valore è fissato per definizione (NIST). L'ampiezza del grado però è identica nelle due scale: un intervallo di 1 grado Celsius vale esattamente 1 kelvin, ed è un fattore di conversione esatto, non arrotondato. Ecco perché sopra abbiamo scritto indifferentemente 0,0030 kelvin o tre millesimi di grado: quello è un salto di temperatura, non una temperatura, e nel salto i 273,15 non entrano. È esattamente la trappola che la sezione 2 smonta per intero.

Il calore specifico, che qui abbiamo usato come ingrediente, ha la sua sezione tutta sua: la 4.

Il lessico di questa guida, dichiarato una volta per tutte

Qui «calore» significa energia in transito, cioè energia che passa da un corpo a un altro perché c'è una differenza di temperatura, e «energia interna» significa energia posseduta da un corpo. L'espressione «energia termica» non compare mai in queste pagine: è una scelta redazionale, presa per non confondere una grandezza che si possiede con una che si trasferisce, e non una regola universale. I documenti ministeriali degli istituti tecnici, per esempio, la usano, ma solo parlando di trasmissione.

Sui simboli: il primo principio sarà scritto deltaU = Q - L, con L il lavoro compiuto dal sistema, e il significato di quel meno sarà spiegato per esteso alla sezione 8, dopo la scena e non prima. Il lavoro si chiama sempre L. La lettera W ha in questa guida due usi propri: il watt come unita di potenza e il numero di microstati nella formula S = k ln W della sezione 12. Comparira una terza volta, nelle sezioni 8 e 14, ma solo per riferire come i testi che adottano l'altra convenzione indicano il lavoro: non e mai il lavoro di questa guida, che si scrive sempre L. I calori scambiati dalle macchine si scrivono Q_caldo e Q_freddo, sempre per esteso, perché nei testi in circolazione la stessa abbreviazione significa «caldo» in italiano e «cold», cioè freddo, in inglese.

L'itinerario

Si comincia dalla temperatura e dal termometro, cioè da che cosa misuriamo davvero (2). Poi la dilatazione termica, quella dei giunti nei ponti e delle rotaie (3). Poi il calore, il calore specifico e la calorimetria, cioè quanto costa scaldare (4), e i passaggi di stato, cioè il calore che entra senza far salire il termometro (5). Poi come il calore viaggia, e perché il metallo sembra più freddo del legno anche quando è alla stessa temperatura (6). Da qui in avanti si sale di livello: il gas perfetto con le sue leggi e la teoria cinetica (7), il primo principio e il significato di quel meno (8), le trasformazioni nel piano pressione-volume (9), le macchine termiche vere, motori e frigoriferi (10), il secondo principio e il limite di Carnot (11). Alla fine si torna al secchio d'acqua e alla domanda che nessuna delle sezioni precedenti risolve: perché quei tre millesimi di grado non si possono riprendere e trasformare di nuovo in movimento (12).

Se la verifica è domani

Ecco dove andare, con il numero della sezione accanto.

• Devi convertire temperature, o peggio differenze di temperatura: sezione 2.
• Compare un ponte, una rotaia, un foro in una lastra che si scalda: sezione 3.
• C'è un Q = m c deltaT, un calorimetro, due liquidi mescolati: sezione 4.
• C'è del ghiaccio che fonde o dell'acqua che bolle, e la temperatura non si muove: sezione 5.
• Si parla di conduzione, convezione o irraggiamento: sezione 6.
• Compare pV = nRT, oppure la velocità delle molecole: sezione 7.
• Compare deltaU = Q - L: sezione 8.
• Ci sono isoterme, isobare, isocore, adiabatiche o un'area sotto una curva: sezione 9.
• Ti chiedono il rendimento di un motore, o come funziona un frigorifero: sezione 10.
• Compaiono Kelvin, Clausius, il ciclo di Carnot: sezione 11.
• Compare l'entropia, oppure S = k ln W: sezione 12.

Che cosa salta, adesso che i conti sono in fila

«L'energia si perde in calore». Non si perde niente, e il quesito dei Campionati lo dimostra con un numero. La conservazione dell'energia continua a valere esattamente come l'hai imparata in meccanica: l'energia cinetica che l'acqua aveva prima di essere raccolta nel secchio e ancora tutta li, solo che adesso è agitazione disordinata delle molecole, e la si misura come un aumento di temperatura. La frase giusta è «l'energia si trasforma in calore», o meglio ancora «l'energia se ne va in energia interna dell'acqua».

«Tanto sono millesimi di grado, si trascurano». Tre millesimi di kelvin sono pochi da misurare, non pochi da contare. Sono pochi perché l'energia è finita distribuita su un numero enorme di molecole, e a testa ne è toccata pochissima. Ma se al posto di un secchio metti una centrale elettrica o un motore d'auto, la stessa energia dissipata diventa la voce più grossa del bilancio: è il motivo per cui una centrale a gas manda in aria più della metà del calore che consuma. Il calore trascurabile e il calore che rovina il rendimento sono lo stesso fenomeno a scale diverse.

«La termodinamica è la materia dell'ultimo anno, quella dell'entropia e del disordine». È falso, e si può controllare. Nelle Indicazioni nazionali dei licei, cioè il decreto ministeriale 211 del 2010, calore, temperatura, dilatazione, passaggi di stato e trasmissione stanno nel primo biennio, cioè in prima e in seconda; i principi della termodinamica, le leggi dei gas e la teoria cinetica stanno nel secondo biennio, cioè in terza e in quarta. Cercando parola per parola nell'intero decreto, «entropia», «Carnot» e «macchine termiche» non compaiono mai: zero occorrenze, contate da noi sul documento aperto. Il quinto anno di fisica dello scientifico contiene le equazioni di Maxwell, le onde elettromagnetiche, la relatività ristretta e la fisica nucleare, e sfiora la termodinamica in un punto solo, la radiazione termica che apre la strada all'ipotesi di Planck. Negli istituti tecnici del settore tecnologico il calendario è ancora più anticipato: lì il primo e il secondo principio stanno già nel primo biennio.

Da qui in avanti ogni sezione dichiara nel titolo a quale biennio appartiene, così sai sempre se stai leggendo il programma di quest'anno o quello dell'anno prossimo.

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La temperatura e il termometro: che cosa misuriamo davvero (primo biennio)

Metti la mano su un termosifone acceso e la mano su un tavolo: senti due cose diverse. Ma il senso del caldo non è uno strumento di misura, e alla fine della sezione 6 vedrai un caso in cui sbaglia in modo clamoroso. La domanda seria è un'altra: che cosa autorizza a scrivere un numero accanto a un corpo e a chiamarlo «temperatura»?

Il fatto sperimentale da cui parte tutto

Prendi tre corpi, chiamali A, B e C. Metti A a contatto con B e aspetta che non succeda più niente: sono in equilibrio termico. Poi metti A a contatto con C e aspetta di nuovo: anche loro sono in equilibrio termico. A questo punto avvicina B e C fra loro. Non succede niente: sono già in equilibrio anche loro due.

Non è una deduzione, è un'osservazione. Max Planck la mette all'inizio del suo trattato di termodinamica (edizione inglese del 1905) e ne fa la premessa di tutto quello che segue: se un corpo è in equilibrio termico con altri due, quei due sono in equilibrio termico fra loro. E ne trae subito la conseguenza che conta: proprio perché la relazione è transitiva, si può confrontare lo stato termico di B e di C senza mai metterli a contatto, usando un terzo corpo di riferimento, per esempio del mercurio chiuso in un capillare. Planck chiude il ragionamento dicendo che due corpi di uguale temperatura sono in equilibrio termico, e viceversa.

Quel terzo corpo è il termometro. La transitività è la sua giustificazione logica: senza di essa, misurare la temperatura di una minestra e quella di un forno non permetterebbe di dire quale scalderebbe l'altro. Come faccia poi il termometro a tradurre lo stato termico in un numero leggibile, cioè perché il liquido nel capillare salga, lo vedrai nella sezione 3: è dilatazione termica.

Questo enunciato oggi si chiama principio zero della termodinamica. Il nome è più recente della cosa: viene attribuito a Fowler, che lo conia negli anni Trenta, e compare stampato in Fowler e Guggenheim, «Statistical Thermodynamics» (1939), mentre il contenuto in Planck c'era già.

Le tre scale, una formula alla volta

Il kelvin, simbolo K, è l'unità di temperatura del Sistema Internazionale. Accanto a esso la scuola e la vita quotidiana usano il grado Celsius, simbolo gradi C, e nei paesi anglosassoni il grado Fahrenheit, simbolo gradi F.

Da Celsius a kelvin si somma 273,15:

• T (in kelvin) = t (in gradi C) + 273,15

Da Celsius a Fahrenheit si moltiplica per 9/5 e si somma 32:

• t (in gradi F) = 9/5 x t (in gradi C) + 32

e all'indietro si sottrae prima 32 e poi si moltiplica per 5/9:

• t (in gradi C) = 5/9 x (t in gradi F - 32)

Il fondo della scala kelvin, cioè lo zero assoluto, corrisponde a -273,15 gradi Celsius e a -459,67 gradi Fahrenheit. Sono due valori esatti per definizione, dati dal NIST, l'istituto di metrologia statunitense: non sono il risultato di una misura, sono conseguenze di come le scale sono state costruite. Sul perché quel fondo non si raggiunga, e non per limiti tecnologici, si torna alla sezione 12.

Un intervallo non è una temperatura

Qui sta il vero contenuto della sezione, ed è la cosa che si sbaglia più spesso.

Le formule scritte sopra convertono TEMPERATURE. Una differenza di temperature è un'altra grandezza, e si trasporta in un altro modo. Guarda che cosa succede sottraendo due temperature convertite:

 T2 = t2 + 273,15
 T1 = t1 + 273,15
 T2 - T1 = (t2 + 273,15) - (t1 + 273,15) = t2 - t1

Il 273,15 compare due volte con segno opposto e sparisce. Il motivo è che quell'offset sposta lo zero della scala, non cambia l'ampiezza del grado: il gradino del kelvin e il gradino del grado Celsius sono per definizione uguali. Il NIST lo stampa come fattore esatto: un intervallo di 1 grado Celsius vale esattamente 1 kelvin. Il BIPM, l'ufficio internazionale dei pesi e delle misure, lo dice dal lato della definizione: il grado Celsius è per definizione uguale in ampiezza al kelvin.

Con il Fahrenheit invece il numero cambia, perché lì cambia anche l'ampiezza del gradino: un intervallo di 1 grado Fahrenheit vale 5/9 di kelvin, cioè 0,5555556 kelvin (fattore stampato come esatto dal NIST). Ma anche qui il 32 non entra mai: l'offset si semplifica esattamente come prima, resta solo il fattore.

Regola pratica, da tenere per tutta la guida: prima di convertire, chiediti se quel numero è una temperatura o un salto di temperatura. Nelle formule che incontrerai più avanti, per esempio Q = m c deltaT nella sezione 4, quel deltaT è un salto: in gradi Celsius e in kelvin è lo stesso numero.

Come si scrive, e perché non è pedanteria

Il kelvin si chiama kelvin, non «grado kelvin», e il suo simbolo è K senza il cerchietto: «gradi K» non esiste. Il grado Celsius si scrive con la C maiuscola perché viene dal cognome dell'astronomo svedese Anders Celsius, non dalla parola «centigrado». Il grado centigrado, che divideva in cento parti l'intervallo fra ghiaccio fondente e acqua bollente, non è più in vigore e non ha una relazione formale con il kelvin. Sono precisazioni dell'INRIM, l'istituto nazionale italiano di ricerca metrologica.

Approfondimento: dal 2019 il kelvin non dipende più dall'acqua

Fino al 2019 il kelvin era definito come 1/273,16 della temperatura del punto triplo dell'acqua, cioè di quello stato particolare in cui ghiaccio, acqua liquida e vapore coesistono. Il 20 maggio 2019 la definizione è cambiata: oggi il kelvin è fissato assegnando un valore numerico esatto alla costante di Boltzmann, la costante che lega temperatura ed energia, pari a 1,380649 x 10^-23 joule su kelvin (il joule è l'unità di energia già usata nella sezione 1). Quel numero non ha incertezza: nelle tabelle CODATA del NIST, alla casella dell'incertezza, c'è scritto «esatta».

La conseguenza è controintuitiva e vale la pena leggerla due volte. Prima del 2019 il punto triplo dell'acqua valeva 273,16 K per DEFINIZIONE, cioè era esatto per decreto. Oggi che il kelvin è ancorato alla costante di Boltzmann, il punto triplo dell'acqua è diventato una grandezza da MISURARE: la miglior stima resta 273,16 K, ma adesso porta con sé un'incertezza di 0,1 millikelvin (l'incertezza relativa di 3,7 x 10^-7 che prima stava sulla costante si è trasferita lì).

Nello stesso numero, quindi, convivono due statuti diversi. Un valore convenzionale è esatto perché qualcuno ha deciso così; un valore misurato porta sempre la sua incertezza. È la distinzione più importante di tutta questa guida, e da qui in avanti ogni numero te la dichiarerà.

Le frasi da correggere

La prima è «per passare da Celsius a kelvin si somma sempre 273». Salta per due motivi. Il primo è il «sempre»: vale per le temperature, non per le differenze, come hai appena visto. Il secondo è il numero: l'offset è 273,15, non 273. Ai Giochi di Anacleto del 2015 il quesito 28 chiedeva a quale variazione in kelvin corrisponde una variazione di 27 gradi Celsius: ha risposto correttamente il 33 per cento degli studenti italiani, e il 14 per cento non ha risposto affatto. Da segnalare, come esempio del fatto che anche le fonti serie vanno lette con attenzione: la spiegazione ufficiale di quel quesito scrive che 0 gradi C corrisponde a 273,16 K, ma 273,16 K è il punto triplo dell'acqua; lo zero Celsius sta a 273,15 K.

La seconda è la scrittura del kelvin con il cerchietto del grado, che non esiste.

La terza è più sottile: pensare che i rapporti fra temperature abbiano senso in gradi Celsius. Una giornata primaverile a 21 gradi Celsius non è «tre volte più calda» di una invernale a 7, perché lo zero della scala Celsius è stato messo lì per comodità, non perché lì finisca qualcosa. In kelvin le stesse due giornate stanno a 294,15 K e 280,15 K, e il loro rapporto è 1,05 (conto nostro, semplice divisione dei due valori convertiti). Sulla scala che parte dallo zero assoluto il rapporto invece un senso ce l'ha, perché quella scala è proporzionale all'energia: un gas a temperatura doppia ha davvero il doppio di energia cinetica media delle sue molecole, come vedrai nella sezione 7. Le differenze si conservano fra Celsius e kelvin; i rapporti no.

Esercizio 1 — 27 gradi Celsius di differenza, quanti kelvin?

Testo. È il quesito 28 dei Giochi di Anacleto 2015, nel suo testo originale: quale variazione di temperatura nella scala kelvin è equivalente a una variazione di 27 gradi nella scala Celsius?

La mossa che sblocca. Prima di toccare il numero, chiediti se hai davanti una temperatura o una differenza di temperature. È una differenza: allora l'offset si semplifica, perché (t2 + 273,15) - (t1 + 273,15) = t2 - t1. La risposta si legge senza fare conti.

Errore tipico. Sommare 273,15 e rispondere 300,15 K. Su questo identico quesito solo il 33 per cento degli studenti italiani ha risposto correttamente e il 14 per cento non ha risposto affatto; quanti abbiano scelto proprio 300,15 K i dati pubblicati non lo dicono.

Esercizio 2 — Il termometro tarato in gradi Fahrenheit

Testo. Un termometro segna 98,6 gradi Fahrenheit e, mezz'ora dopo, 100,4. Converti in gradi Celsius sia le due temperature sia la variazione fra le due, e verifica che i due percorsi diano lo stesso salto.

La mossa che sblocca. Due formule diverse per due cose diverse. Per le TEMPERATURE si usa t (in gradi C) = 5/9 x (t in gradi F - 32). Per l'INTERVALLO si usa solo il fattore: 1 grado Fahrenheit di intervallo vale 5/9 di kelvin, cioè 5/9 di grado Celsius. L'offset 32 in una differenza non entra mai.

Errore tipico. Applicare la formula delle temperature anche all'intervallo, sottraendo 32 a una differenza: viene fuori un numero negativo che non significa niente.

Esercizio 3 — Perché non si dice «oggi fa il triplo di caldo»

Testo. Una giornata primaverile a 21 gradi Celsius è il triplo di calda di una invernale a 7? Rispondi prima calcolando il rapporto in gradi Celsius, poi rifallo in kelvin, e infine di' quale dei due rapporti ha senso fisico e perché.

La mossa che sblocca. Converti prima di dividere. Il rapporto ha senso solo sulla scala che parte dallo zero assoluto, perché è quella proporzionale all'energia; su una scala traslata il rapporto dipende da dove qualcuno ha deciso di mettere lo zero, quindi non descrive il mondo ma la convenzione.

Errore tipico. Credere che i rapporti si conservino cambiando scala, come succede per le lunghezze passando da metri a centimetri. Non si conservano: fra Celsius e kelvin si conservano le differenze, non i rapporti.

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La dilatazione termica: perché i ponti hanno i denti (primo biennio)

I ponti hanno i denti perché d'estate sono più lunghi che d'inverno. Non di poco, e non per modo di dire: su una campata di un chilometro si parla di decine di centimetri. Prima di dire come si calcolano, però, conviene capire da dove viene quell'allungamento, perché la spiegazione è semplice e si ricorda per sempre.

Perché una sostanza si dilata

Dentro un solido le molecole non stanno ferme: oscillano attorno a una posizione di equilibrio. Se la temperatura sale, oscillano con più energia cinetica, cioè si spostano di più. Il punto decisivo è che i due spostamenti non sono simmetrici: a parità di energia, una molecola riesce ad allontanarsi dalla vicina più di quanto riesca ad avvicinarsi, perché avvicinarsi «costa» di più. Il risultato, mediato su miliardi di oscillazioni, è che la distanza MEDIA fra le molecole cresce. La sostanza si dilata. È la spiegazione che dà il manuale universitario da cui vengono i numeri di questa sezione (OpenStax, University Physics volume 2, capitolo 1.3).

Le tre formule, e il coefficiente che le governa

Le formule sono tre, una per ciascuna dimensione che ci interessa misurare.

Dilatazione LINEARE, cioè di una lunghezza: DeltaL = alfa L DeltaT. Qui L è la lunghezza di partenza, DeltaT la variazione di temperatura, DeltaL l'allungamento, e alfa (si legge «alfa») è il coefficiente di dilatazione lineare, cioè un numero che dipende dal materiale.

Dilatazione SUPERFICIALE, cioè di un'area: DeltaA = 2 alfa A DeltaT.

Dilatazione VOLUMICA, cioè di un volume: DeltaV = beta V DeltaT, dove beta (si legge «beta») è il coefficiente di dilatazione volumica e vale beta = 3 alfa.

Il coefficiente alfa si misura in «uno su gradi Celsius», scritto anche 1/gradi C: è la frazione di lunghezza guadagnata per ogni grado di riscaldamento. Siccome quella frazione è piccolissima, i valori si scrivono in milionesimi, cioè in unità di 10^-6.


Questi valori vengono da una tabella di manuale che NON dichiara a quale temperatura siano misurati: vanno usati sapendolo. E c'è una condizione di validità che la fonte stessa mette per iscritto: alfa non è una costante, varia con la temperatura, e trattarlo come costante è un'approssimazione — buona per piccole variazioni e, dice il manuale, sufficiente per la maggior parte degli scopi pratici anche per variazioni grandi. Un controllo nostro lo conferma: applicando la formula che il NIST pubblica per il rame ad alta purezza si ottiene, a 293 K (cioè a circa 20 gradi Celsius), alfa uguale a 16,6 milionesimi contro i 17 tondi della tabella. Il conto è nostro, ricavato dai coefficienti NIST, e come tutti i nostri conti va preso per quello che è: una verifica, non una misura.

Tre casi con i numeri veri

Un ponte. La campata principale del Golden Gate misura 1275 metri alla temperatura più bassa, e l'escursione fra la giornata più fredda e la più calda è di 55 gradi Celsius. Con l'acciaio, alfa = 12 x 10^-6, si ha DeltaL = 12 x 10^-6 x 1275 x 55 = 0,84 metri. Quasi un metro. L'esempio è svolto dal manuale; rifacendo il conto viene 0,8415 metri, che arrotondato è lo stesso numero. Ottantaquattro centimetri devono andare da qualche parte: ci vanno nei giunti di dilatazione, i «denti» che si sentono sotto le ruote all'inizio e alla fine di un ponte.

Una rotaia. Il gestore della rete ferroviaria britannica, Network Rail, dichiara che le rotaie vengono posate a una «temperatura senza sforzo» di 27 gradi Celsius, cioè la temperatura media estiva del binario nel Regno Unito, e che sotto il sole diretto una rotaia può stare fino a 20 gradi sopra la temperatura dell'aria: sono state registrate rotaie a 51 gradi Celsius. Quanto si allungherebbe un chilometro di binario fra quei due valori è l'esercizio 4.

Un buco. Prendi una lastra di metallo con un foro e scaldala. Il foro diventa più grande. Il ragionamento che lo dimostra sta in una riga: immagina che il pezzo di metallo asportato per fare il foro sia ancora al suo posto. Scaldando, quel pezzo si dilaterebbe come tutto il resto e occuperebbe più spazio; ma il materiale attorno non sa se il pezzo c'è o non c'è, e si comporta esattamente allo stesso modo. Quindi lo spazio vuoto cresce con la stessa formula del pieno.

L'acqua non si comporta come tutto il resto

Fra 0 e 4 gradi Celsius l'acqua fa il contrario di quello che ci si aspetta: scaldandola da 0 a 4 gradi si CONTRAE, e raffreddandola da 4 a 0 gradi si DILATA. I dati misurati lo dicono senza margini. Alla pressione di 0,101325 MPa, cioe una atmosfera (il pascal, simbolo Pa, e l'unita di pressione del Sistema Internazionale e vale un newton su un metro quadro; un megapascal, MPa, e un milione di pascal), la densita dell'acqua vale 999,844 kg/m^3 a 0 gradi Celsius, sale a 999,975 kg/m^3 a 4 gradi e ridiscende a 999,943 a 6 gradi. Infittendo la tabella NIST a passo di un decimo di grado, il massimo cade a 4,0 gradi Celsius con 999,9749 kg/m^3.

Da qui viene il modo in cui gelano i laghi. L'acqua di superficie che si raffredda diventa più densa e affonda, finché arriva a 4 gradi. Sotto i 4 gradi però diventa MENO densa di quella sottostante, quindi resta in alto: e lì gela. Il ghiaccio, che ha densità inferiore di circa il 9 per cento a quella dell'acqua liquida (dato del servizio geologico statunitense), galleggia e fa da coperta isolante. Sotto, l'acqua resta liquida, e i pesci passano l'inverno.

Attenzione al coefficiente: il beta dell'acqua che trovi in tabella, 210 milionesimi per grado Celsius, vale lontano dall'anomalia. Fra 0 e 4 gradi il beta dell'acqua è NEGATIVO, ed è proprio quello che mostrano i numeri qui sopra.

Le frasi da manuale che saltano

La prima è «il buco in una lastra di metallo si restringe quando la lastra si scalda». È falsa, e il perché lo abbiamo appena costruito: tutte le distanze fra due punti del pezzo crescono nella stessa proporzione, comprese quelle che attraversano il vuoto.

La seconda è «d'estate la Torre Eiffel è 15 centimetri più alta». Il sito ufficiale della torre parla, per l'altezza, di «qualche millimetro» guadagnato d'estate. I 15 centimetri sono un'altra cosa: sono il diametro della curva quasi circolare che la CIMA descrive nell'arco di una giornata di sole, perché il lato illuminato si dilata più dell'altro e la torre si inclina dalla parte opposta al sole. Va detto però che la faccenda non è chiusa: applicando ingenuamente DeltaL = alfa L DeltaT all'altezza della torre con l'acciaio e un'escursione estiva di qualche decina di gradi verrebbero circa 14 centimetri, e la distanza fra questo conto e i «qualche millimetro» dichiarati dal gestore resta aperta — non abbiamo trovato una misura strumentale dell'allungamento verticale.

La terza è l'idea che l'acqua sia un liquido come gli altri. Non lo è: nell'intervallo fra 0 e 4 gradi Celsius si dilata raffreddandosi, e il suo coefficiente di dilatazione lì dentro è negativo.

Due code utili

Se la dilatazione è IMPEDITA, l'allungamento non sparisce: si trasforma in sforzo, cioè in una forza per unità di area che il materiale deve sopportare. La formula esiste (contiene il modulo di Young, una grandezza che misura quanto un materiale resiste a essere deformato) ma a questo livello non serve: basta sapere che il materiale, se non può allungarsi, si carica.

Due lamine di metalli diversi saldate insieme si incurvano quando la temperatura cambia, perché una si allunga più dell'altra: è la lamina bimetallica, che sta dentro i termostati e apre o chiude un contatto a una temperatura fissata. La dilatazione è anche il motivo per cui funziona il termometro a mercurio che hai visto nella sezione 2. E i gas si dilatano moltissimo più dei solidi: quanto, e con quale legge, è la sezione 7.

Esercizio 4 — Un chilometro di rotaia al sole

Testo. Una rotaia d'acciaio lunga 1 km viene posata alla temperatura senza sforzo di 27 gradi Celsius dichiarata da Network Rail, e sotto il sole arriva ai 51 gradi Celsius registrati dallo stesso gestore. Di quanto si allungherebbe, se fosse libera di dilatarsi? E che cosa succede se non lo è?

La mossa che sblocca. DeltaT è una DIFFERENZA di temperatura: 51 meno 27 fa 24 gradi Celsius, e una differenza di 24 gradi Celsius è una differenza di 24 K, senza toccare il numero. Poi DeltaL = alfa L DeltaT = 12 x 10^-6 x 1000 x 24 = 0,288 m, cioè quasi 29 centimetri su un chilometro. Se la dilatazione è impedita, al posto dell'allungamento compare uno sforzo, e oltre una certa soglia il binario si deforma lateralmente.

Errore tipico. Convertire in kelvin le due temperature e poi sottrarle: lavoro inutile che porta a sbagliare. Oppure partire da 0 gradi invece che dalla temperatura di posa: il conto va fatto rispetto alla temperatura a cui la rotaia è stata montata.

Esercizio 5 — Il buco si dilata o si stringe?

Testo. Una lastra di acciaio ha un foro circolare di 20,0 mm di diametro. La lastra viene scaldata di 100 gradi Celsius. Il foro diventa più grande o più piccolo, e di quanto?

La mossa che sblocca. Immagina il pezzo asportato ancora al suo posto: si dilaterebbe come il resto, quindi lo spazio che occupa cresce. Il foro segue la stessa formula del pieno, con il diametro al posto della lunghezza: DeltaL = alfa L DeltaT = 12 x 10^-6 x 20,0 x 100 = 0,024 mm.

Errore tipico. Pensare che il metallo, dilatandosi, «invada» il foro: non c'è nessuna direzione privilegiata, tutte le distanze crescono nella stessa proporzione.

Esercizio 6 — Il tappo di metallo sul barattolo di vetro

Testo. Il rimedio della nonna dice di passare sotto l'acqua calda il tappo di ottone del barattolo di vetro. Con alfa dell'ottone 19 x 10^-6 e alfa del vetro 9 x 10^-6, spiega perché funziona e stima di quanto si allarga un tappo di 70 mm scaldato di 40 gradi Celsius.

La mossa che sblocca. Non basta dire che il metallo si dilata: si dilata anche il vetro. Conta la DIFFERENZA dei due allungamenti, cioè (19 - 9) x 10^-6 x 70 x 40 = 0,028 mm di gioco guadagnato.

Errore tipico. Trattare il vetro come se fosse fermo. E, all'opposto, credere che il rimedio funzioni sempre: se anche il collo di vetro si scalda quanto il tappo, il gioco guadagnato è molto minore.

Esercizio 7 — Il lago che gela dall'alto

Testo. Perché il ghiaccio si forma in superficie e non sul fondo, e perché sotto la lastra di ghiaccio l'acqua resta liquida? Che cosa succederebbe a un lago se l'acqua si comportasse come tutti gli altri liquidi?

La mossa che sblocca. Parti dai dati misurati, non dall'intuizione: la densità dell'acqua cresce da 0 a 4 gradi Celsius e poi cala. L'acqua di superficie che si raffredda fino a 4 gradi affonda; sotto i 4 gradi diventa meno densa di quella sottostante, resta in alto e lì gela. Il ghiaccio galleggia perché è circa il 9 per cento meno denso, e fa da isolante. Se l'acqua si comportasse come gli altri liquidi, il ghiaccio andrebbe a fondo e il lago gelerebbe dal basso, tutto.

Errore tipico. Applicare DeltaV = beta V DeltaT con il beta di tabella (210 milionesimi) fra 0 e 4 gradi Celsius. Lì dentro il beta dell'acqua è negativo, e il valore di tabella vale lontano dall'anomalia.

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Il calore, il calore specifico e la calorimetria: quanto costa scaldare (primo biennio)

Che cosa un corpo possiede davvero

Un corpo possiede energia interna: l'energia del movimento disordinato delle sue molecole, più quella immagazzinata nelle forze con cui le molecole si tengono. Un corpo non possiede calore. Il calore è il trasferimento di energia che avviene a causa di una differenza di temperatura, e smette di esistere nell'istante in cui il trasferimento finisce: è una strada percorsa, non una merce in magazzino.

Non è una sottigliezza di questa guida. Lo dicono con parole quasi identiche tre fonti indipendenti fra loro: HyperPhysics della Georgia State University scrive che il calore è energia in transito e che un oggetto non possiede calore ma energia interna; la Treccani scrive che il calore trasmesso a un corpo non si accumula come calore, ma come energia interna; il manuale universitario OpenStax scrive che un sistema ha un'energia interna ben definita, ma non ha né un «contenuto di calore» né un «contenuto di lavoro».

Perché ci sono voluti settant'anni

Arrivarci è costato più di due generazioni, e vale la pena sapere perché.

Nel 1789 Antoine-Laurent Lavoisier battezza «calorico» il fluido che sarebbe la causa del calore, e lo elenca fra le sostanze semplici del suo trattato di chimica: nella scienza migliore dell'epoca il calore era una sostanza, che poteva passare da un corpo all'altro ma non nascere dal nulla.

Nel 1798 Benjamin Thompson, conte di Rumford, sovrintende alla foratura dei cannoni nell'arsenale di Monaco di Baviera. Nella memoria che presenta alla Royal Society racconta di aver portato all'ebollizione 18,77 libbre d'acqua in due ore e trenta minuti per solo attrito, senza alcun fuoco (numeri letti in una trascrizione del testo originale). La sua conclusione è un ragionamento, non una misura: ciò che un corpo isolato può fornire senza limite non può essere una sostanza.

Nel 1850 James Prescott Joule misura quanta forza meccanica costa una data quantità di calore. Il commento peer-reviewed della Royal Society sul suo lavoro riporta che la sua serie di misure più attendibile diede 772,692 piedi-libbra per Btu, contro il valore oggi accettato di 778,0. Un piede-libbra è il lavoro compiuto sollevando una libbra di un piede; un Btu è il calore che alza di un grado Fahrenheit una libbra d'acqua. Tradotto in calorie, quel rapporto dà 4,157 joule per caloria contro 4,186, come già pubblicato nella guida del sito su lavoro, energia e potenza. Una precisazione che quella pagina non fa e che qui va fatta: il 4,186 che circola è un valore arrotondato di comodo, e non coincide con nessuna delle tre calorie definite dal NIST, cioè la termochimica (4,184 joule esatti per decreto), la International Table (4,1868 esatti) e quella a 15 gradi C (4,18580). La più vicina al senso fisico «scaldare un grammo d'acqua da 14,5 a 15,5 gradi C» è l'ultima.

La formula che userai in ogni esercizio

Q = m c deltaT

Qui Q è il calore scambiato, misurato in joule; m è la massa in chilogrammi; c è il calore specifico, cioè quanti joule servono per alzare di un grado la temperatura di un chilogrammo di quella sostanza, e si misura in joule per chilogrammo per kelvin; deltaT è la variazione di temperatura. Attenzione a deltaT: essendo una differenza, ha lo stesso valore numerico in gradi Celsius e in kelvin, perché il grado Celsius e il kelvin hanno per definizione la stessa ampiezza. Un salto di 28,2 gradi C è un salto di 28,2 K, senza alcuna conversione.

Capacità termica e calore specifico: non sono la stessa cosa

La capacità termica C è il calore che serve per alzare di un kelvin la temperatura di quell'oggetto lì, tutto intero: si misura in joule su kelvin ed è una grandezza estensiva, cioè raddoppia se raddoppi l'oggetto. Il calore specifico c riguarda invece un chilogrammo di sostanza: è intensivo, non dipende da quanta materia hai davanti, ed è quello che trovi tabulato.

Una riga da tenere a mente per dopo: la lettera C tornerà nella sezione 9 con un'altra unità, joule su mole per kelvin, e lì si chiamerà calore molare. Stesso simbolo, grandezza diversa, unità diversa. Quando leggi una C, guarda sempre l'unità che le sta accanto.

Un calore specifico non è un numero: è un numero con le sue condizioni

Questa è la lezione vera della sezione.

Per l'acqua liquida il valore da manuale è 4186 joule per chilogrammo per grado Celsius, e vale a 15,0 gradi C: è il valore legato alla definizione della caloria. I valori di riferimento del NIST, calcolati dall'equazione di stato internazionale tarata su migliaia di misure, danno 4,1885 joule per grammo per kelvin a 15 gradi C, 4,1813 a 25 gradi C e 4,2247 a 100 gradi C alla saturazione. Non si contraddicono: descrivono l'acqua a temperature diverse.

Per l'aria secca, a 20,0 gradi C e 1,00 atmosfera, la stessa tabella di manuale dà due numeri: 721 joule per chilogrammo per grado Celsius a volume costante e 1015 a pressione costante. Per i gas un calore specifico senza l'indicazione di che cosa resta costante è giusto per metà. Perché siano due, e perché quello a pressione costante sia il maggiore, si vede nella sezione 9.

Per il ferro, due testi dello stesso editore danno 452 joule per chilogrammo per grado Celsius (testo di fisica, tabella che dichiara «a volume costante e 25 gradi C», etichetta insolita che riportiamo com'è) e 449 (testo di chimica, scritto in joule per grammo per grado Celsius). Scarto: 0,7 per cento. Due tabelle costruite su basi diverse, non un errore di qualcuno.

Il calorimetro vero non è una scatola magica

Nel calorimetro delle mescolanze si mette il corpo caldo insieme a quello freddo e si aspetta l'equilibrio. La formula scolastica dice che tutto il calore ceduto dall'acqua calda va all'acqua fredda. È incompleta per due motivi: il recipiente si scalda anche lui, e ha una sua capacità termica che va scritta nel bilancio; e il calorimetro non è davvero isolato, tanto che le dispense di laboratorio universitarie italiane modellano la perdita verso l'ambiente con un decadimento esponenziale e raccomandano di ricavare la temperatura di equilibrio estrapolando la parte iniziale, quasi lineare, della curva.

La regola dei dati, dichiarata

Negli esercizi presi dalle gare usiamo i valori della tavola ufficiale dei Campionati di Fisica, perché sono quelli che lo studente riceve in gara: per l'acqua 4182 joule per chilogrammo per kelvin a 20 gradi C. Nel testo espositivo usiamo invece i valori con le loro condizioni. Lo scarto fra 4182 e 4186 è di un millesimo, e nasce interamente dalla temperatura di riferimento: non è un disaccordo fra fonti.

Le frasi da correggere

«Il corpo caldo contiene più calore.» Un corpo contiene energia interna. Il calore è la strada, non il magazzino. È l'errore più documentato della ricerca didattica, al punto che una rassegna dell'American Journal of Physics elenca fra gli errori ricorrenti nei libri di testo proprio il presentare un sistema come se «contenesse» calore.

«Il calore specifico dell'acqua vale 4186 J/(kg gradi C).» Detto senza condizioni è incompleto, per i motivi visti sopra.

«Tutto il calore ceduto dall'acqua calda va all'acqua fredda.» No: una parte scalda il recipiente.

«Rumford uccise la teoria del calorico e misurò l'equivalente meccanico del calore.» Nessuna delle due cose. I contemporanei osservavano che anche l'elettricità si genera indefinitamente per attrito, e nessuno per questo negava che fosse un fluido; e nella memoria del 1798 non compare alcun rapporto numerico fra lavoro e calore. Il calorico sopravvive fino agli anni Quaranta e Cinquanta dell'Ottocento, cioè fino a Joule.

Esercizio 8 — L'acqua che cade nel secchio si scalda

Testo. Quesito 16 dei Campionati di Fisica 2024. Una quantità d'acqua di massa m cade in un secchio e vi arriva con velocità v. Il 25 per cento dell'energia cinetica che l'acqua perde quando viene raccolta resta dentro il liquido. Qual e l'aumento di temperatura dell'acqua? E quanto vale sostituendo, come abbiamo fatto noi nella sezione 1, una velocita di arrivo di 10 m/s?

La mossa che sblocca. Scrivi l'uguaglianza fra l'energia trattenuta e il calore: un quarto di (un mezzo m v al quadrato) uguale m c deltaT. La massa compare da tutte e due le parti e si semplifica da sola, e resta deltaT = v al quadrato diviso 8c. Con v = 10 m/s e c = 4182 J/(kg K) vengono circa 0,003 kelvin. È il conto promesso nella sezione 1: l'energia dell'urto non è sparita, è lì, ed è calcolabile.

Errore tipico. Cercare la massa fra i dati e bloccarsi perché non c'è. Oppure dimenticare il fattore un quarto e ottenere un riscaldamento quattro volte più grande.

Esercizio 9 — Il calorimetro non è vuoto

Testo. Testo reale dai materiali ufficiali di preparazione alle gare AIF. Un calorimetro contiene 200 g di acqua a 20 gradi C e ha capacità termica 80 J/K. Vi si versano dentro altri 300 g di acqua a 70 gradi C. Qual è la temperatura di equilibrio?

La mossa che sblocca. Tratta il calorimetro come se fosse altra acqua: alla capacità termica dei 200 g somma i suoi 80 J/K. Con c = 4190 J/(kg K) — e il valore della soluzione ufficiale e lo riportiamo com'e, pur non coincidendo ne con i 4182 della tavola di gara ne con i 4186 di manuale: con uno qualunque dei tre la temperatura di equilibrio resta 49 gradi C — il bilancio si scrive (4190 x 0,2 + 80)(20 - T) + 4190 x 0,3 x (70 - T) = 0, e dà T uguale a circa 49 gradi C.

Errore tipico. Bilanciare solo le due acque e ottenere 50 gradi. Il grado che manca sta tutto nel recipiente, e con capacità termiche maggiori lo scarto arriva a più gradi interi.

Esercizio 10 — Il calore specifico dell'alluminio misurato in classe

Testo. Giochi di Anacleto 2014, quesito 27. Un blocco di alluminio di 0,930 kg passa da 13,1 a 41,3 gradi C assorbendo 23800 J da un riscaldatore elettrico. Quanto vale il calore specifico così misurato, e come si confronta con il valore di tabella?

La mossa che sblocca. Inverti Q = m c deltaT: c = Q diviso (m per deltaT) = 23800 / (0,930 x 28,2) = 907 J/(kg K). Il deltaT è una differenza, quindi 28,2 gradi C sono 28,2 K senza conversione. La tabella di manuale dà 900 J/(kg gradi C) a 25 gradi C: meno dell'1 per cento di scarto, per una misura fatta con un riscaldatore in aula.

Errore tipico. Dividere per la temperatura finale invece che per la differenza. Su questo quesito solo il 48 per cento degli studenti italiani ha risposto correttamente, e il 36 per cento non ha risposto affatto.

Esercizio 11 — Il calore specifico dell'aria è due numeri

Testo. Quanto calore serve per scaldare di 10 gradi 2,0 kg di aria chiusa in una bombola rigida? E per scaldare di 10 gradi la stessa aria, libera di espandersi a pressione atmosferica? Perché i due risultati differiscono di quasi il 40 per cento?

La mossa che sblocca. Prima di cercare il numero, chiediti che cosa resta costante. Volume costante: c = 721 J/(kg gradi C), quindi Q = 14,4 kJ. Pressione costante: c = 1015 J/(kg gradi C), quindi Q = 20,3 kJ. La differenza è l'energia che l'aria spende per farsi spazio mentre si espande, ed è la ragione fisica per cui i due numeri esistono entrambi.

Errore tipico. Usare 1015 dentro un recipiente rigido perché è il primo numero che si trova.

Esercizio 12 — Due libri, due numeri per il ferro

Testo. Un testo di fisica dà per il ferro 452 J/(kg gradi C), un testo di chimica dello stesso editore dà 449. Calcola con entrambi il calore necessario per scaldare 2,50 kg di ferro di 60 gradi, e stabilisci se la differenza cambia qualcosa.

La mossa che sblocca. Fai i due conti e confrontali: 67,8 kJ contro 67,35 kJ, cioè lo 0,7 per cento. Poi vai a leggere le condizioni dichiarate dalle due tabelle, che non coincidono, e concludi che lo scarto sta dentro la differenza di condizioni.

Errore tipico. Cercare quale dei due sia «quello vero». Nessuno dei due è sbagliato: sono due tabelle con basi diverse, e la cosa da portare a casa è che un dato senza condizioni non si può nemmeno giudicare.

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I passaggi di stato: il calore che non fa salire il termometro (primo biennio)

La curva che si ferma due volte

Metti un blocco di ghiaccio su una piastra che fornisce calore a ritmo costante e registra la temperatura ogni minuto. All'inizio succede quello che ti aspetti: la temperatura sale. Poi, arrivata a 0 gradi C, si ferma. Il calore continua a entrare — la piastra non si è spenta — ma il termometro non si muove finché nel recipiente resta un solo pezzetto di ghiaccio. Quando l'ultimo è sparito, la temperatura riprende a salire, fino a 100 gradi C. E lì si ferma di nuovo, finché c'è liquido. Solo quando tutta l'acqua è diventata vapore il termometro riparte.

I tratti piatti sono due, non uno. È il fatto sperimentale da cui parte tutto il resto.

 T
 |                                    /
 |                          _________/   <- ebollizione: 100 gradi C
 |                         /
 |                        /
 |             __________/              <- fusione: 0 gradi C
 |            /
 |___________/________________________ tempo
   ghiaccio  acqua e   acqua   acqua e   vapore
             ghiaccio          vapore

Dove va l'energia quando il termometro sta fermo

Nella sezione 4 abbiamo detto che scaldare un corpo significa aumentare l'agitazione delle sue molecole. Nei tratti piatti l'energia entra ma quell'agitazione non aumenta: l'energia serve a un'altra cosa, cioè a strappare le molecole dalle posizioni in cui i legami reciproci le tengono. Aumenta l'energia di posizione delle molecole, non la loro energia di movimento. La temperatura misura la seconda, non la prima: ecco perché resta ferma.

Il calore che fa questo lavoro si chiama latente, cioè «nascosto»: c'è, si paga, ma non si vede sul termometro. Si calcola con

Q = m L

dove m è la massa e L è il calore latente, che si misura in joule per ogni chilogrammo di sostanza (nelle tabelle lo trovi spesso in kilojoule per chilogrammo, cioè migliaia di joule per chilogrammo).

Attenzione a una lettera, una volta per tutte. In questa sezione L e il calore latente. Nella sezione 3 la stessa lettera indicava una lunghezza, e dalla sezione 8 in poi indichera il lavoro. Sono tre grandezze diverse, in tre contesti diversi, e non si incontrano mai nella stessa formula. Il tuo libro potrebbe usare per il calore latente la lettera greca lambda proprio per evitare la collisione: la tavola dei dati che l'AIF consegna agli studenti ai Campionati di Fisica, per esempio, scrive lambda.

I due numeri dell'acqua, e il loro controllo

Per l'acqua, alla pressione dell'aria al livello del mare:

• fondere costa 334 kJ/kg, a 0 gradi C;
• evaporare costa 2256 kJ/kg, a 100 gradi C e 1 atmosfera (cioè 1,013 bar, la pressione media dell'aria al livello del mare).

Il secondo numero è quasi sette volte il primo, ed entrambi sono enormi rispetto al costo di scaldare. Fondere un grammo di ghiaccio a 0 gradi C richiede 334 joule; scaldare poi quello stesso grammo da 0 a 20 gradi C ne richiede circa 84. La fusione da sola vale quattro volte tutto il riscaldamento successivo fino a temperatura ambiente.

Il 2256 viene da una tabella di manuale. Lo abbiamo controllato su una fonte indipendente: nelle tabelle di saturazione dell'acqua del NIST, l'ente metrologico statunitense, a 100 gradi C l'entalpia del vapore meno quella del liquido dà 2256,4 kJ/kg. Le due fonti concordano allo 0,02 per cento. Che cosa sia l'entalpia, e perché il calore latente sia esattamente una sua differenza, lo vedrai alla sezione 9. La tavola dei Campionati di Fisica, che è quella che riceveresti in gara, stampa 3,344 x 10^5 J/kg per la fusione e 2,257 x 10^6 J/kg per la vaporizzazione: sono gli stessi numeri.

Il calore latente non è una costante

Ed è qui che comincia la parte utile. Quei due numeri valgono alle condizioni scritte accanto, e a nessun'altra. Sempre dai dati NIST, il calore latente di vaporizzazione dell'acqua vale 2429,8 kJ/kg a 30 gradi C e 2405,9 kJ/kg a 40 gradi C: alla temperatura della pelle evaporare costa più che a 100 gradi, non meno. È il motivo per cui il sudore raffredda così bene.

La temperatura di ebollizione la decide la pressione

L'altra metà della storia è che nemmeno i 100 gradi sono un dato di natura. La temperatura a cui un liquido bolle dipende dalla pressione che ha sopra di sé. Dalle tabelle di saturazione del NIST:


È esattamente il mestiere della pentola a pressione: il coperchio a tenuta lascia salire la pressione interna, e con lei la temperatura di ebollizione. Un costruttore dichiara per il livello 1 una sovrapressione di 40 kPa e «circa 109 gradi», per il livello 2 una sovrapressione di 80 kPa e «circa 117 gradi»: sommando la sovrapressione a quella atmosferica si ottengono 1,413 e 1,813 bar, e la tabella qui sopra dà 109,3 e 116,9. Il costruttore e la banca dati metrologica coincidono.

In montagna succede il contrario, perché l'aria sopra la pentola è meno. L'ente federale statunitense per la sicurezza alimentare pubblica: 100 gradi C al livello del mare, 97,8 gradi C a 610 metri, 92,2 gradi C a 2286 metri. Abbiamo rifatto il conto da soli, combinando il modello di atmosfera standard della NASA con le tabelle di saturazione del NIST — è un conto nostro, e lo dichiariamo: 96,7 gradi C a 1000 metri, 93,3 a 2000 metri, 90,0 a 3000 metri. Applicando lo stesso metodo ai 2286 metri della fonte americana ci vengono 92,4 gradi contro i 92,2 dichiarati: il metodo regge.

Tre numeri, tre statuti, nessuna contraddizione

A che temperatura bolle davvero l'acqua? Tre fonti serie danno tre risposte, e non si contraddicono, perché sono tre tipi di numero diversi.


Il terzo, con la sua barra di incertezza, comprende il primo. Il secondo è un calcolo, non una misura. Nessuno dei tre è «sbagliato»: hanno statuti diversi, e vanno letti così.

Le frasi da manuale che qui saltano

«Il calore latente di vaporizzazione dell'acqua vale 2256 kJ/kg». Scritta senza condizioni è un errore, non un'approssimazione: vale a 100 gradi C e 1 atmosfera. A 30 gradi C, cioè alla temperatura a cui evapora il sudore, ne vale 2429,8; a 40 gradi C, 2405,9. Un calore latente senza le sue condizioni non significa nulla.

«Alzando la fiamma l'acqua bolle più forte e diventa più calda». Lo nega esplicitamente l'ente federale statunitense per la sicurezza alimentare, e la ragione è quella che hai già in mano: finché liquido e vapore coesistono alla pressione atmosferica la temperatura è inchiodata. Alzando la fiamma evapori più in fretta e consumi più gas; non scaldi di più. L'unico modo di superare i 100 gradi in acqua è alzare la pressione.

«L'acqua bolle a 100 gradi» come se fosse una misura. Non lo è: 100,00 è la convenzione, e il valore che esce dall'equazione di stato a 1 atmosfera esatta è 99,974.

Quanto sia scivoloso questo terreno lo dicono i numeri italiani. Ai Giochi di Anacleto del 2014 solo il 36 per cento dei partecipanti ha riconosciuto come falsa l'affermazione «l'ebollizione dell'acqua avviene sempre a 100 gradi Celsius»; nel 2015, davanti a una curva di riscaldamento come quella disegnata all'inizio, solo il 45 per cento ha saputo indicare il punto in cui la sostanza era tutta liquida.

Esercizio 13 — Il ghiaccio nel bicchiere, e il ghiaccio finto

Testo. Si mettono 100 g di ghiaccio a 0 gradi C in 500 g di bibita a 25 gradi C. Qual è la temperatura finale? E quale sarebbe se al posto del ghiaccio si mettessero 100 g di acqua liquida a 0 gradi C, cioè stessa massa e stessa temperatura di partenza?

La mossa che sblocca. Per il ghiaccio i termini sono due, non uno: prima fondere (100 x 334 joule), poi scaldare l'acqua di fusione da 0 gradi alla temperatura finale. Scrivi il bilancio fra calore ceduto dalla bibita e calore assorbito dal ghiaccio: viene 7,5 gradi C. Rifai lo stesso bilancio con l'acqua a 0 gradi, dove il termine di fusione sparisce: viene 20,8 gradi C. I 13,3 gradi di differenza li produce interamente il calore latente.

Errore tipico. Trattare il ghiaccio come acqua molto fredda, usando solo Q = m c deltaT. È lo stesso errore che, in uno studio greco su quattro livelli scolastici (Kotsis e altri, 2023), porta il 69 per cento dei bambini di primaria e il 28 per cento degli studenti di secondaria di secondo grado a credere che l'acqua in un bicchiere con ghiaccio possa stare sopra 0 gradi.

Esercizio 14 — A che temperatura bolle davvero l'acqua

Testo. Tre fonti danno per l'ebollizione dell'acqua 100,00 gradi C, 99,974 gradi C e 100,02 +/- 0,04 gradi C. Non ti si chiede quale sia giusto: ti si chiede di scrivere accanto a ciascuno che tipo di numero è, e di spiegare perché non si contraddicono.

La mossa che sblocca. Etichettare prima di confrontare. Il primo è una convenzione, cioè una scelta; il secondo è il risultato di un'equazione di stato internazionale valutata a 1 atmosfera esatta; il terzo è la media di sette misure sperimentali, e porta con sé la propria incertezza. Poi verifica che il terzo, con la sua barra, comprende il primo.

Errore tipico. Cercare «quello vero» e buttare via gli altri due. È lo stesso riflesso che porta a credere che due tabelle diverse debbano per forza contenere un errore.

Esercizio 15 — La pentola a pressione e la montagna

Testo. In pentola a pressione, al livello 1 (40 kPa di sovrapressione rispetto all'aria esterna), a che temperatura bolle l'acqua? E in un rifugio a 2000 metri? E perché in montagna la pasta cuoce peggio, se l'acqua bolle lo stesso?

La mossa che sblocca. La temperatura di ebollizione la fissa la pressione, non la fiamma. Somma la sovrapressione a quella atmosferica (1,013 + 0,40 = 1,413 bar) e leggi la tabella di saturazione: circa 109,3 gradi C. A 2000 metri la pressione scende a 0,796 bar e l'ebollizione a 93,3 gradi C: l'acqua bolle prima, ma cuoce a temperatura più bassa, e per le cotture in umido serve fino a un quarto di tempo in più.

Errore tipico. Credere che l'acqua che «bolle di più» sia più calda, e alzare la fiamma per fare prima. Sopra il fornello l'unica cosa che cresce è la velocità di evaporazione.

Un ultimo rimando: quei 334 kJ/kg della fusione, divisi per la temperatura assoluta a cui la fusione avviene, danno un numero che incontrerai alla sezione 12 e che si chiama variazione di entropia.

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Come il calore viaggia, e perché il metallo sembra più freddo del legno (primo biennio, con un approfondimento dichiarato)

Tre strade, e in tutte e tre si misura una potenza

Il calore si sposta in tre modi, e in italiano hanno tre nomi precisi: conduzione, convezione, irraggiamento. Prima di guardarli uno per uno, un avvertimento che vale per tutta la sezione: qui la grandezza che si calcola non è più il calore in joule della sezione 4, è una potenza, cioè quanta energia passa ogni secondo. Si misura in watt, e un watt è un joule al secondo. Stessa storia, orologio diverso.

Conduzione. A parole: il calore attraversa un materiale fermo, passando di molecola in molecola, e la potenza che riesce a passare è tanto maggiore quanto meglio quel materiale conduce, quanto più larga è la superficie e quanto più forte è il dislivello di temperatura fra le due facce; ed è tanto minore quanto più spesso è il materiale da attraversare. In formula (legge di Fourier):

potenza = conducibilità termica x area x differenza di temperatura / spessore

La conducibilità termica si misura in watt per metro per kelvin, si scrive W/(m K), ed è una proprietà del materiale: la si può tabulare, purché si dichiari a quale temperatura è stata misurata.

Convezione. A parole: un fluido, aria o acqua, si scalda a contatto con un corpo, si sposta portandosi via l'energia e viene sostituito da altro fluido freddo. La potenza è proporzionale all'area e alla differenza di temperatura (legge di Newton):

potenza = coefficiente di scambio convettivo x area x differenza di temperatura

Il coefficiente di scambio convettivo si misura in watt per metro quadro per kelvin, W/(m^2 K). E qui sta la differenza che conta: non è una proprietà del materiale, è una proprietà della situazione. Cambia se il fluido è fermo o mosso, se la superficie è verticale o orizzontale, se è liscia o ruvida.

Irraggiamento. A parole: ogni corpo emette onde elettromagnetiche solo perché è caldo, e lo fa anche nel vuoto, senza bisogno di nulla in mezzo. La potenza emessa cresce con la quarta potenza della temperatura assoluta:

potenza emessa = emissività x costante di Stefan-Boltzmann x area x T^4

L'emissività è un numero puro fra zero e uno che dice quanto un corpo si discosta dall'emettitore ideale (il corpo nero, per cui vale uno). La costante di Stefan-Boltzmann vale 5,670374419 x 10^-8 W/(m^2 K^4) ed è esatta per definizione dal 2019. La T è in kelvin, e non è un dettaglio: elevare alla quarta i gradi Celsius dà un numero senza significato. Se hai bisogno di rivedere perché, torna alla sezione 2.

La conducibilità termica, riga per riga, con la temperatura di prova

Due cose da leggere in questa tabella. La prima: «acciaio» non è un numero solo. Alla stessa temperatura, l'acciaio al carbonio conduce 64 e l'inossidabile 13,8, cioè quasi cinque volte meno: due materiali che al negozio si chiamano tutti e due acciaio. La seconda: sul vetro ci sono due numeri e non si contraddicono. Il valore 1,1 è di tabella tecnica a 20 gradi C; il valore 1,0 è quello fissato dalla norma europea EN 572-1, ed è tondo proprio perché è convenzionale, non misurato.

Da questa tabella si ricava anche il confronto che tutti citano, l'alluminio contro l'aria: 237 diviso 0,0264 fa circa 9000; usando l'altra coppia di valori con le condizioni dichiarate (alluminio a 300 K secondo la raccolta metrologica) viene circa 8000. Diciamo quindi «fra ottomila e novemila volte», e diciamo con quali numeri.

Sulla convezione non ti diamo un esercizio, e ti spieghiamo perché

Il coefficiente di scambio convettivo non si può cercare in tabella come si cerca un calore specifico, perché non appartiene al materiale. Il manuale universitario che ne pubblica i valori tipici avverte esplicitamente che quei valori sono soltanto illustrativi e non vanno usati nei calcoli, perché le situazioni a cui si riferiscono non sono descritte per intero e basta cambiare la rugosità di una superficie o la geometria per farli cambiare moltissimo. Eccoli, con quell'avvertenza attaccata: aria ferma 4,2; aria a 10 metri al secondo 45; acqua ferma 570; acqua a 10 metri al secondo 34500 W/(m^2 K). Servono per capire gli ordini di grandezza, non per rispondere a un problema.

Approfondimento dichiarato: perché il metallo sembra più freddo del legno

Prendi un righello di metallo e uno di legno lasciati sullo stesso tavolo. Hanno la stessa temperatura: il termometro lo conferma. Al tatto, no.

La grandezza che governa la sensazione non è la conducibilità: è l'effusività termica, cioè la radice quadrata del prodotto di conducibilità termica, densità e calore specifico. Si misura in J m^-2 K^-1 s^-1/2 e dice quanto in fretta un materiale riesce a pescare energia dalla superficie di contatto. Quello che la pelle avverte, nel primo istante, è la temperatura dell'interfaccia, che si ottiene facendo la media delle due temperature pesata con le due effusività:

temperatura di contatto
   = (temperatura pelle x effusività pelle + temperatura oggetto x effusività oggetto)
     / (effusività pelle + effusività oggetto)

Le effusività qui sotto sono un conto nostro: abbiamo preso conducibilità, densità e calore specifico dalle tabelle tecniche aperte e per la pelle dalla banca dati di proprietà dei tessuti IT'IS, consultata il 24 agosto 2026, e abbiamo fatto la radice.


Nove oggetti alla stessa identica temperatura, nove temperature diverse sotto il dito. Il conto ha un riscontro esterno: il rapporto fra effusività del rame e della schiuma che ci viene, 1142, coincide col «circa 1200» ricavato dal database di materiali CES EduPack. E ha un'incertezza dichiarata: usando per la pelle il valore della carne bovina l'effusività salirebbe a 1321, e con l'ipotesi grossolana «carne uguale acqua» a circa 1715. La classifica non cambia, i decimali sì.

Il conto dell'irraggiamento, per esteso

Una persona in una stanza. Ingredienti dichiarati: pelle nuda a 33 gradi C, cioè 306,15 K; pareti a 20 gradi C, cioè 293,15 K; superficie del corpo 1,85 m^2 (formula di Du Bois per 175 centimetri e 70 chili); emissività della pelle 0,98.

emissività x costante x area = 1,028039 x 10^-7 W/K^4
 emessa    = 1,028039 x 10^-7 x 306,15^4 = 903 W
 assorbita = 1,028039 x 10^-7 x 293,15^4 = 759 W
 netta     =                   903 - 759 = 144 W

Vestita, con la superficie esterna a 28 gradi C, la perdita netta scende a 86 W. Sull'emissività, due numeri: 0,972 è la media misurata su 65 partecipanti (intervallo da 0,96 a 0,99), 0,98 è il valore d'uso raccomandato dagli autori stessi. Usando 0,972 il risultato cambia dello 0,8 per cento: qui non vale la pena litigare.

E adesso le frasi che saltano

«Il metallo sembra più freddo perché conduce meglio.» È la spiegazione scolastica standard, ed è incompleta. Fra rame e polistirolo espanso il rapporto delle conducibilità è 11371; quello delle effusività è 1142, dieci volte più piccolo. Ed è l'effusività, non la conducibilità, a entrare nella formula della temperatura di contatto.

«Il freddo del metallo passa nella mano.» Il freddo non è una sostanza e non scorre. Passa energia, e passa dalla mano al metallo.

Non è un errore da principianti. In uno studio greco, alla domanda su perché il righello di metallo sembri più freddo, la risposta corretta è scelta dall'11,50 per cento dei bambini della primaria, dal 16,90 per cento della secondaria di primo grado, dal 24,50 per cento della secondaria di secondo grado e dal 60,00 per cento degli studenti universitari di fisica. Il distrattore «il freddo scorre dal metallo» è scelto dal 48,01 per cento alla primaria e dal 23,70 alla secondaria di primo grado: sono gli unici due valori di quella riga leggibili nella tabella pubblicata, e quindi sono gli unici che stampiamo. Vedere che l'errore resiste anche a chi la fisica la studia all'università toglie la vergogna di averlo fatto.

«L'alluminio conduce 9600 volte meglio dell'aria.» Quel numero è costruito su due valori senza condizioni di prova. Rifatto con numeri che dichiarano la temperatura, viene fra ottomila e novemila. Lo si scrive così.

Un'ultima riga di raccordo: la stessa logica del dislivello di temperatura governerà le macchine termiche. Quando nella sezione 11 si parlerà del condensatore di una centrale, la domanda «perché la sorgente fredda deve stare bassa» sarà la stessa che ti sei fatto qui toccando il rame.

Esercizio 16 — Cinque oggetti alla stessa temperatura, cinque sensazioni diverse

Testo. In una stanza a 20 gradi Celsius sono appoggiati un blocco di rame, uno di acciaio inossidabile, una lastra di vetro, un listello di abete e un pannello di polistirolo espanso. Ordinali da «più freddo» a «meno freddo» al tatto e calcola la temperatura che la superficie della pelle raggiunge nel primo istante di contatto con ciascuno.

La mossa che sblocca. Non usare la conducibilità da sola. Non ti servono i tre ingredienti separati: l'effusività termica di ciascun materiale (la radice quadrata del prodotto di conducibilità termica, densità e calore specifico) è già calcolata nella tabella qui sopra, ed è quella che devi leggere, perché densità e calori specifici di rame, acciaio, vetro, abete e polistirolo non sono dati in questa guida. Prendi le due effusività, quella della pelle e quella dell'oggetto, e mettile nella formula della temperatura di contatto come pesi della media fra 33 gradi (la pelle) e 20 gradi (l'oggetto). Sul rame viene 20,4 gradi, sul polistirolo 32,7.

Errore tipico. Ordinare con la sola conducibilità e aspettarsi differenze enormi: fra rame e polistirolo il rapporto delle conducibilità è oltre undicimila, ma quello delle effusività è millecentoquarantadue, ed è il secondo a governare la sensazione.

Esercizio 17 — Quanta energia irraggia una persona

Testo. Una persona ha la pelle a 33 gradi Celsius e una superficie corporea di 1,85 metri quadri, e si trova in una stanza le cui pareti stanno a 20 gradi Celsius. Quanta potenza irraggia, quanta ne assorbe, quanta ne perde in tutto? E se si veste, portando la superficie esterna a 28 gradi?

La mossa che sblocca. Converti prima le due temperature in kelvin, perché la legge usa la quarta potenza della temperatura assoluta. Poi calcola separatamente la potenza emessa dal corpo e quella che il corpo assorbe dalle pareti, e fai la differenza: 903 watt emessi, 759 assorbiti, 144 netti. Vestita, 86 watt.

Errore tipico. Elevare alla quarta i gradi Celsius, oppure dimenticare il termine assorbito e concludere che una persona ferma perde 900 watt, cioè quanto un forno acceso.

Esercizio 18 — Perché l'acqua a 20 gradi sembra gelida e l'aria a 20 gradi no

Testo. Il termometro segna lo stesso numero nell'aria della stanza e nell'acqua della piscina. Spiega la differenza con due argomenti distinti, quello del primo istante e quello del regime, e dai un numero per ciascuno.

La mossa che sblocca. Primo istante: l'effusività dell'acqua è 282 volte quella dell'aria, e la temperatura di contatto della pelle passa da 32,9 gradi nell'aria a 25,6 gradi nell'acqua. Regime: a parità di differenza di temperatura e in convezione naturale, il coefficiente di scambio convettivo vale 570 W/(m^2 K) in acqua contro 4,2 in aria, cioè 136 volte tanto; ed è un confronto fra due geometrie diverse, va detto.

Errore tipico. Cercare la spiegazione in una temperatura diversa dell'acqua, che invece è la stessa. E attribuire al servizio meteorologico americano il «25 volte» che circola ovunque: su quella pagina quel numero non c'è, e non va usato.

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Il gas perfetto: le leggi, l'equazione di stato e la teoria cinetica (secondo biennio)

Tre leggi sperimentali, e ciascuna vale a una condizione

L'equazione dei gas non è nata tutta insieme: sono tre esperimenti diversi, fatti in due secoli diversi, e ognuno tiene ferma una grandezza mentre guarda le altre due.

A temperatura costante il volume è inversamente proporzionale alla pressione. È la legge di Boyle, e la cosa notevole è che nel 1662 Boyle pubblicò accanto ai valori misurati anche i valori PREVISTI dalla sua ipotesi, colonna contro colonna. Nella sua tabella la prima colonna conta gli spazi uguali occupati dall'aria chiusa e l'ultima dà la pressione totale su di essa, in pollici di mercurio: a 48 spazi corrispondono 29 e 2/16 pollici; a 30 spazi 47 e 1/16 misurati contro 46 e 3/5 previsti; a 12 spazi 117 e 9/16 misurati contro 116 e 4/8 previsti. Due colonne che si inseguono per tutta la pagina: è la prima volta che un dato di laboratorio viene messo alla prova contro una previsione numerica. (Il testo originale di Boyle non siamo riusciti ad aprirlo: la tabella la leggiamo in una trascrizione, cioè è una fonte di seconda mano.)

A pressione costante il volume è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta. È la legge di Charles, misurata e pubblicata da Gay-Lussac, che nel 1802 dà il suo risultato: tutti i gas, qualunque sia la loro densità, si dilatano ugualmente fra gli stessi gradi di calore, e la dilatazione vale 1 su 266,66 per ogni grado centigrado. In quella memoria, che riguarda appunto la dilatazione a pressione costante, Gay-Lussac attribuisce il merito a Charles, che quelle misure non le aveva mai pubblicate.

A volume costante la pressione è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta. È la legge di Amontons, che l'aveva osservata all'inizio del Settecento con il suo termometro ad aria, e il coefficiente che vi compare è lo stesso della legge precedente. Quel numero, conto nostro sulle sue cifre, vale 0,003750 per grado, contro lo 0,003661 che si ottiene oggi da 1 su 273,15: Gay-Lussac sbagliò del 2,4 per cento in eccesso, con la strumentazione del 1802.

Lo zero assoluto salta fuori da un grafico, non da una teoria

Se si mette il volume di un gas a pressione costante su un asse e la temperatura sull'altro, i punti stanno su una retta. Prolungando quella retta all'indietro, il volume andrebbe a zero a -273,15 gradi C. Nessuno ci arriva davvero, e nessun gas resta gas fin laggiù, ma è così che lo zero assoluto si presenta la prima volta: come il punto in cui una retta sperimentale incontra l'asse. È anche il motivo per cui in tutta questa sezione le temperature vanno in kelvin: la trappola è la stessa già vista nella sezione 2, e qui costa più cara, perché in una proporzione i gradi Celsius danno risultati privi di senso.

L'equazione di stato, un simbolo alla volta

Aggiungendo la legge di Avogadro del 1811 (volumi uguali di gas diversi, alla stessa temperatura e pressione, contengono lo stesso numero di molecole) le tre leggi si fondono in una sola:

p V = n R T

• p è la pressione, in pascal; e un pascal è un newton su un metro quadro, cioè una forza distribuita su una superficie.
• V è il volume, in metri cubi.
• n è il numero di moli. Una mole è la quantità di sostanza che contiene 6,02214076 x 10^23 particelle: un numero esatto per definizione, non misurato.
• R è la costante universale dei gas, 8,314462618 joule su mole per kelvin. Anche questa è esatta per definizione: il database CODATA del NIST la stampa con incertezza «exact».
• T è la temperatura ASSOLUTA, in kelvin. Sempre.

La stessa legge si scrive anche molecola per molecola, p V = N k_B T, dove N è il numero di molecole e k_B è la costante di Boltzmann, 1,380649 x 10^-23 joule su kelvin, esatta per decreto dal 2019. Le due forme sono la stessa cosa: R è k_B moltiplicata per il numero di particelle in una mole.

Il ponte col mondo microscopico

Qui arriva il risultato che regge tutto il resto del capitolo. L'energia cinetica media di traslazione di una molecola di gas vale tre mezzi di k_B T. Scritta così sembra una formula in più; letta bene dice una cosa sorprendente: quell'energia non dipende dalla massa della molecola, non dipende dalla pressione, non dipende da che gas sia. Dipende solo dalla temperatura.

È questo che rende la temperatura una grandezza universale invece che una proprietà della sostanza: elio, azoto e vapore di mercurio, messi nella stessa stanza, hanno molecole con la stessa energia cinetica media, anche se le loro molecole pesano in modo diversissimo. L'autorità metrologica mondiale, il BIPM, dice la stessa cosa nel documento che accompagna la definizione del kelvin: la temperatura termodinamica misura l'energia media per grado di libertà del sistema.

Ne segue anche che l'energia interna di un gas perfetto dipende solo dalla temperatura, e da nient'altro: è la chiave che aprirà tutta la sezione 9.

Fin dove il modello regge

Il gas perfetto vale a bassa densità, cioè quando le molecole occupano una frazione trascurabile del volume, e a temperature ben sopra il punto di ebollizione della sostanza. Fuori di lì si misura di quanto sbaglia con il fattore di comprimibilità: si prende il volume che il gas occupa davvero e lo si divide per quello che pV = nRT prevede alle stesse temperatura e pressione. Se viene 1, il modello è perfetto; ogni scostamento da 1 è l'errore, in cifra.

Che cosa salta

«Le molecole di un gas a una data temperatura hanno tutte la stessa velocità». No: la parola «media», nella frase sull'energia cinetica, non è un riempitivo. La distribuzione di Maxwell-Boltzmann dà tre velocità di riferimento diverse e non coincidenti per lo stesso gas alla stessa temperatura: la più probabile, la media e la quadratica media, che stanno fra loro come radice di 2, radice di 8 su pi greco e radice di 3, in quest'ordine crescente. Un gas non ha una velocità: ha una distribuzione di velocità.

«Il volume molare vale 22,4 litri». Ne esistono due, ed entrambi sono esatti per definizione, perché cambia la pressione di riferimento.


Le ultime due righe le abbiamo calcolate noi con V = RT/p; il metodo è verificato, perché applicato a 0 gradi C restituisce esattamente i due valori pubblicati.

«Il gas perfetto è un'approssimazione grossolana». Dipende, e si può quantificare. L'azoto a 300 K e 1 bar segue pV = nRT entro lo 0,02 per cento: a quelle condizioni il modello non è approssimato, è ottimo. Lo stesso azoto a 201 bar sbaglia del 5,8 per cento. L'anidride carbonica a 300 K passa da un fattore di comprimibilità 0,995 a 1 bar a 0,687 a 50 bar, e a 67,13 bar smette di essere un gas: condensa, e alla stessa pressione esistono due densità diverse, quella del vapore e quella del liquido, cosa che nessuna equazione con una sola incognita potrà mai descrivere. Il motivo è che la temperatura critica dell'anidride carbonica è 304,18 +/- 0,04 K, cioè poco sopra i 300 K della prova. I fattori di comprimibilità dell'anidride carbonica sono conti nostri, fatti dividendo le densità previste dall'equazione dei gas perfetti per quelle misurate pubblicate dal NIST (il fattore di comprimibilità è il volume reale diviso quello ideale, e quindi la densità ideale diviso quella reale).

Esercizio 19 — Il palloncino nel congelatore

Testo. Un palloncino gonfiato a 20 gradi C viene messo in un congelatore a -18 gradi C. Di quanto si riduce il volume, e di quanto il diametro? Rifai poi il conto usando i gradi Celsius al posto dei kelvin, e commenta il risultato.

La mossa che sblocca. La pressione dentro il palloncino resta quella atmosferica, quindi vale la legge di Charles, ma solo con le temperature assolute: 255,15 diviso 293,15 fa 0,870, cioè il 13 per cento di volume in meno. Il diametro scala con la radice cubica del rapporto dei volumi, quindi cala del 4,5 per cento appena. In gradi Celsius il rapporto sarebbe -18 su 20, cioè un volume negativo: è la dimostrazione più corta del perché servono i kelvin.

Errore tipico. Fare il rapporto in Celsius. E aspettarsi che la previsione sia esatta: nella realtà il palloncino si sgonfia di più, perché la gomma si irrigidisce e il vapore acqueo interno condensa. Questa è una previsione da confrontare con la misura, non un risultato garantito.

Esercizio 20 — Ventidue litri e mezzo, ma a quali condizioni?

Testo. Quale volume occupa una mole di gas perfetto a 0 gradi C e 101,325 kPa? E a 0 gradi C e 100 kPa? E a 25 gradi C e pressione atmosferica?

La mossa che sblocca. Usare V = RT/p, non un numero imparato a memoria. Vengono 22,414, 22,711 e 24,465 litri per mole. I primi due sono valori esatti pubblicati; il terzo è un conto, e va dichiarato come tale.

Errore tipico. Usare 22,4 litri a temperatura ambiente: si sbaglia del 9 per cento, e non per colpa del modello, ma per colpa delle condizioni non dichiarate.

Esercizio 21 — Che cosa fa la velocità quando triplica la pressione

Testo. È il quesito 21 dei Campionati di Fisica 2026, gara di primo livello, così come lo hanno ricevuto gli studenti: in un recipiente rigido e chiuso la pressione di un gas perfetto passa da p a 3p. Che cosa succede alla velocità quadratica media delle molecole?

La mossa che sblocca. Il recipiente è rigido e chiuso, quindi volume e numero di moli non cambiano: in pV = nRT triplicare la pressione significa triplicare la temperatura assoluta. E poiché l'energia cinetica media di traslazione vale tre mezzi di k_B T, triplica anche il quadrato della velocità: la velocità si moltiplica per radice di 3.

Errore tipico. Triplicare la velocità insieme alla pressione, dimenticando che nell'energia cinetica la velocità sta al quadrato. E credere che il risultato dipenda da quale gas ci sia dentro: non dipende, perché l'energia cinetica media non dipende dalla massa molecolare.

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Il primo principio: l'energia interna, e che cosa vuol dire quel meno (secondo biennio)

Prima la scena, poi il simbolo

Immagina un gas chiuso dentro un cilindro. Il coperchio non è fisso: è un pistone che può scorrere verso l'alto, come quello di una siringa senza ago. Con questo apparecchio si possono fare due cose, e sono due cose diverse.

La prima: metto il cilindro sopra una fiamma. Energia entra nel gas perché fuori è più caldo che dentro. Il gas ne riceve, e il conto dell'energia del gas la deve sommare.

La seconda: il gas spinge il pistone e lo alza. Per alzare un pistone bisogna spendere energia, e a spenderla è il gas. Quell'energia il gas l'ha data via: è uscita dal cilindro ed è finita nell'ambiente sotto forma di lavoro meccanico. Il conto dell'energia del gas la deve togliere.

Ecco tutto. Il meno che troverai nella formula non è una convenzione da imparare a memoria: è la parola «uscita» scritta in matematica. Sommo quello che entra, sottraggo quello che esce, e la differenza è quanto è cambiata l'energia che il gas si porta dentro.

Adesso diamo i nomi. Chiamiamo Q il calore entrato nel sistema, misurato in joule. Chiamiamo L l'energia uscita dal sistema come lavoro, misurata anch'essa in joule. Chiamiamo deltaU la variazione dell'energia posseduta dal gas. Il primo principio della termodinamica dice:

deltaU = Q - L

Quando la pressione resta costante durante l'espansione, quel lavoro uscito si calcola in un modo semplicissimo, L = p deltaV, cioè la pressione moltiplicata per l'aumento di volume. E che quel prodotto sia davvero un lavoro si vede in due righe, senza formule nuove. Il gas preme su tutta la faccia del pistone: se A è l'area del pistone, la forza con cui lo spinge è F = p per A, perché la pressione è forza divisa per area. Se il pistone si alza di un tratto s, il lavoro è quello di sempre, forza per spostamento: F per s, cioè p per A per s. Ma A per s è proprio il volume guadagnato dal gas, cioè deltaV. Quindi il lavoro è p deltaV. Tornano anche le unità: un pascal è un newton su metro quadro, e un newton su metro quadro moltiplicato per un metro cubo fa un newton per un metro, cioè un joule. È per questo che, nel disegno della sezione 9, l'area sotto la curva è un'energia e non una superficie qualunque. Il caso generale, con il lavoro letto come area sotto una curva, è nella sezione 9: qui ci serve solo la versione a pressione costante, che basta per gli esercizi che seguono.

Perché quella differenza merita un nome

Fin qui abbiamo un conto. Il motivo per cui deltaU è una grandezza fisica, e non solo un conto, è sperimentale, e si deve a Joule.

Si prende lo stesso sistema e lo si porta dallo stato A allo stato B per strade diverse: scaldandolo molto e facendogli compiere molto lavoro, oppure scaldandolo poco e facendogliene compiere poco, oppure ancora agitandolo con una ruota a pale invece che scaldandolo. Ogni volta il calore scambiato è diverso, e ogni volta il lavoro è diverso. Ma la loro differenza, Q meno L, viene sempre uguale. Non dipende dalla strada: dipende soltanto da dove si parte e da dove si arriva.

Una grandezza che si comporta così si chiama funzione di stato: il suo valore è scritto nello stato del sistema, non nella storia di come ci è arrivato. Calore e lavoro, al contrario, sono grandezze di cammino: esistono solo durante il passaggio e cambiano a seconda del percorso. Per questo si può dire «il gas ha 5000 joule di energia interna» ma non si può dire «il gas ha 5000 joule di calore»: la seconda frase non ha oggetto.

Quella funzione di stato si chiama energia interna. Dal lato microscopico è l'energia del moto disordinato delle molecole, più i contributi potenziali dovuti alle forze con cui le molecole si attraggono o si respingono. È lo stesso deposito di cui parlava la guida di meccanica del sito quando diceva che nell'urto anelastico l'energia «finisce in calore»: non finisce, arriva lì dentro.

La convenzione dei segni, dichiarata una volta sola

In tutta questa guida vale questa convenzione, e non cambia mai:

• Q è positivo se il calore viene ASSORBITO dal sistema, negativo se viene ceduto;
• L è positivo se il lavoro è compiuto DAL sistema sull'ambiente, negativo se è l'ambiente a compierlo sul sistema.

È la convenzione che si trova nei materiali scolastici e di gara italiani: l'abbiamo verificata su quattro fonti indipendenti fra loro, due testi scolastici, dispense universitarie e le soluzioni ufficiali dei Campionati di Fisica dell'AIF. Nelle soluzioni AIF il simbolo del lavoro è proprio L, e il primo principio è scritto deltaU = Q - L.

Esiste però una seconda scrittura, ed è quella normata dalla IUPAC, l'organismo internazionale che fissa il linguaggio della chimica. Là si scrive deltaU = Q + W, dove W è positivo quando l'energia ENTRA nel sistema. Non è una legge diversa: è la stessa legge con il lavoro contato al contrario. Se W è l'energia entrata come lavoro e L è la stessa energia contata quando esce, allora W = -L, e quindi

Q + W = Q + (-L) = Q - L

Le due scritture danno lo stesso deltaU, sempre. Non c'è una giusta e una sbagliata: c'è un simbolo definito in due modi opposti. Il consiglio operativo è uno solo, e vale più di qualsiasi tabella: prima di applicare la formula, guarda come il TUO libro definisce il segno del lavoro. La tavola di traduzione fra i simboli dei vari testi è nella sezione 14.

La frase da correggere: «i fisici usano il meno, i chimici il più»

È la scorciatoia che si sente ripetere più spesso, ed è falsa. Ne abbiamo la prova documentale su tre gambe, tutte italiane e tutte aperte.

Primo: un testo di chimica per la scuola di un grande editore italiano usa la convenzione del motore, cioè scrive la variazione di energia interna come il calore assorbito meno il lavoro compiuto dal sistema. Chimica, con il meno.

Secondo: dispense universitarie italiane di chimica, dell'Università Politecnica delle Marche, usano la forma IUPAC con il più, contando positivo il lavoro che l'ambiente compie sul sistema. Chimica, con il più.

Terzo, ed è il controesempio decisivo: il corso di Fisica Generale dell'Università di Ferrara, che è fisica e non chimica, adotta Q + W = deltaU, e avverte esplicitamente che nei testi di fisica tecnica si usa invece l'altra convenzione. Fisica, con il più.

La divisione, quindi, è libro per libro, non disciplina per disciplina. Di quella dispensa citiamo la formula e non la riga della tabella, perché la tabella contiene un refuso: accanto a un simbolo scritto negativo compare la parola «positivo». Lo stesso tipo di refuso è presente anche in una seconda dispensa universitaria italiana. È un motivo in più per fidarsi della definizione a parole e degli esempi numerici, non di una casella.

E cade anche il «calore contenuto nel corpo»

Se calore e lavoro sono grandezze di cammino e l'energia interna è una funzione di stato, allora l'espressione «il calore contenuto in un corpo» non descrive niente. Un corpo contiene energia interna; il calore è il modo in cui quell'energia si sposta, e smette di esistere quando lo spostamento finisce.

È l'errore più documentato dalla ricerca didattica, e sopravvive fino all'università: in uno studio su 156 matricole indiane di 17-19 anni, iscritte a due college affiliati all'Università di Pune nell'anno accademico 2011-12, circa il 52 per cento rispondeva che l'energia interna cambia in una trasformazione isoterma (Kulkarni e Tambade). Per un gas perfetto l'energia interna dipende solo dalla temperatura: se la temperatura non cambia, deltaU è zero, e tutto il calore entrato è uscito come lavoro.

Esercizio 22 — Dichiarare la convenzione prima di calcolare

Testo. Apri il tuo libro al capitolo del primo principio e scrivi in testa a un foglio, con parole tue, come quel libro definisce il segno del lavoro e con quale lettera lo indica. Tieni poi quel foglio accanto per tutti gli esercizi che seguono.

La mossa che sblocca. Cerca la frase, non la formula: la formula da sola non basta, perché il segno vive nella definizione del simbolo. Le parole da trovare sono «lavoro compiuto DAL sistema» oppure «lavoro compiuto SUL sistema».

Errore tipico. Guardare solo se c'è un più o un meno e concludere che il libro è d'accordo o in disaccordo con questa guida. Un più con una definizione e un meno con l'altra dicono esattamente la stessa cosa.

Esercizio 23 — Il gas che si espande a pressione costante

Testo. Esercizio reale dal manuale scolastico. Un cilindro chiuso da un pistone mobile contiene un gas alla pressione costante di 180 kPa, cioè 180 000 pascal. Il gas assorbe 720 joule di calore e si espande di 2,50 x 10^-3 metri cubi. Quanto vale la variazione di energia interna del gas?

La mossa che sblocca. Calcola prima l'energia uscita come lavoro: L = p deltaV = 180 000 x 2,50 x 10^-3 = 450 joule. Poi applica il primo principio: deltaU = Q - L = 720 - 450 = 270 joule. Il gas ha ricevuto più di quanto ha dato via, quindi si è scaldato.

Errore tipico. Sommare invece di sottrarre e ottenere 1170 joule. È l'errore di chi ha imparato la formula senza la scena del pistone.

Esercizio 24 — Il risultato viene negativo: che cosa vuol dire?

Testo. Un gas assorbe 250 joule di calore e compie 600 joule di lavoro sull'ambiente. Calcola la variazione di energia interna e poi, senza formule, spiega a parole che cosa dice quel segno.

La mossa che sblocca. deltaU = 250 - 600 = -350 joule. A parole: il gas ha speso più energia di quanta ne abbia ricevuta, quindi ha attinto alle proprie riserve. E siccome per un gas perfetto l'energia interna dipende solo dalla temperatura, il gas si è raffreddato.

Errore tipico. Cambiare segno al risultato perché «un'energia non può essere negativa». Può, ed è proprio la variazione a poterlo essere: quel meno è l'informazione, non un errore di conto.

Esercizio 25 — Lo stesso conto, tre volte

Testo. Rifai l'esercizio del pistone tre volte, in tre colonne: con la convenzione di questa guida, con la convenzione IUPAC, e mescolandole, cioè prendendo Q dalla prima e il lavoro dalla seconda senza cambiargli il segno. Confronta i tre risultati.

La mossa che sblocca. Scrivi in ogni colonna, prima dei numeri, la definizione del simbolo che stai usando. Le prime due colonne danno lo stesso risultato, deltaU = 270 joule; la terza dà 1170 joule. La differenza vale esattamente il doppio del lavoro, cioè 900 joule, e misura quanto costa sbagliare il segno.

Errore tipico. Credere che il mescolamento produca un piccolo errore. Non è piccolo: cambia il risultato di due volte il lavoro, e applicato a un ciclo può far apparire una macchina che crea energia dal nulla.

Esercizio 26 — Il vapore che si espande, nella forma meno usuale

Testo. Testo reale del quesito 13 dei Campionati di Fisica 2024, gara di primo livello. Una quantità d'acqua a 100 gradi C viene trasformata in vapore alla stessa temperatura. Esprimendo il primo principio nella forma meno usuale deltaU = Q + L, che segno ha L?

La mossa che sblocca. Leggi prima che cosa significa L in QUELLA scrittura: è il lavoro compiuto dall'esterno sul sistema. A parità di massa il vapore occupa molto più volume del liquido, quindi c'è un'espansione, quindi è il sistema a spingere via l'ambiente. Il lavoro fatto dall'esterno sul sistema è perciò negativo.

Errore tipico. Rispondere con la convenzione abituale senza accorgersi che il testo ne ha dichiarata un'altra. È esattamente la trappola che il quesito ufficiale vuole tendere, ed è la ragione per cui l'esercizio 22 di questa sezione esiste.

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Le trasformazioni di un gas nel piano pressione-volume: lavoro, calori specifici, entalpia (secondo biennio)

Prima il disegno, poi la formula

Prendi un foglio e traccia due assi. Sull'asse VERTICALE metti la pressione, cioè la forza che il gas esercita su ogni metro quadro di parete; sull'asse ORIZZONTALE metti il volume. Ogni punto di questo piano è uno stato del gas: fissati pressione e volume, l'equazione di stato pV = nRT ti dà anche la temperatura, quindi il punto racconta tutto. Una trasformazione è una strada che unisce due punti. E il lavoro compiuto dal gas è la superficie di pavimento che sta sotto quella strada.

Questa non è una metafora: è il significato dell'espressione «integrale di p dV», che i libri scrivono e quasi nessuno scioglie. Immagina di tagliare la variazione di volume in tantissime fettine sottilissime. Su ogni fettina la pressione è quasi costante, quindi il lavoro fatto su quella fettina è pressione per larghezza della fettina, cioè l'area di un rettangolino altissimo e strettissimo. L'integrale è la somma di tutti quei rettangolini. Ecco perché il lavoro dipende dalla STRADA e non solo dai due estremi: strade diverse fra gli stessi due punti racchiudono aree diverse. Il segno di quel lavoro, e il motivo per cui nel primo principio compare col meno, sono quelli della sezione 8: L è il lavoro compiuto DAL gas, cioè energia che esce.

Quattro strade, prima come figure

 pressione
   ^
   |     * isocora: segmento VERTICALE (volume fermo)
   |     *
 p +-----*-------+  isobara: segmento ORIZZONTALE
   |     *        \
   |     *         \   isoterma: curva che scende
   |     *          \ \
   |     *           \  \  adiabatica: scende piu' ripida
   +----------------------------> volume

Guarda le aree, non le formule.

Sotto un segmento VERTICALE non c'è nessuna superficie: larghezza zero, area zero. Ecco perché nell'isocora (volume costante) il lavoro è nullo. Non è una formula da memorizzare, è una figura: L = 0. Di conseguenza, per il primo principio, tutto il calore fornito resta dentro come energia interna.

Sotto un segmento ORIZZONTALE c'è un rettangolo: base uguale alla variazione di volume, altezza uguale alla pressione. Nell'isobara (pressione costante) quindi L = p deltaV.

Sotto la curva dell'isoterma (temperatura costante) c'è un'area che non è un rettangolo e che si può calcolare solo sommando le fettine: viene L = nRT ln(V2/V1), dove «ln» è il logaritmo naturale e V2/V1 è il rapporto fra volume finale e iniziale.

L'adiabatica (nessuno scambio di calore, Q = 0) scende più ripida dell'isoterma che parte dallo stesso punto. Il perché è fisico, non grafico: espandendosi il gas compie lavoro, e non ricevendo calore quel lavoro lo paga con la propria energia interna, quindi si RAFFREDDA mentre si espande. Meno temperatura vuol dire meno pressione, e la curva cade più in fretta. La sua equazione è pV^gamma = costante, dove gamma (si legge «gamma») è il rapporto fra il calore molare a pressione costante e quello a volume costante, e per l'aria vale circa 1,4. La formula del lavoro dell'adiabatica è un approfondimento, non un obbligo: qui basta sapere che l'area c'è e che si può stimare a fettine.

La regola che vale sempre, e la lettera C che cambia unità

Per un gas perfetto l'energia interna dipende SOLO dalla temperatura. L'energia interna non sa da quale strada sei arrivato: sa solo dove sei. Perciò

deltaU = n C_V deltaT

vale in QUALUNQUE trasformazione in cui la temperatura cambi — isobare e adiabatiche comprese — e non solo nelle isocore. Qui n è il numero di moli e C_V è il calore molare a volume costante.

Attenzione al simbolo, perché è una trappola vera. Questa C è un calore MOLARE e si misura in joule su mole per kelvin, cioè quanto costa scaldare di un kelvin una mole di sostanza. Nella sezione 4 la lettera C indicava la capacità termica, in joule su kelvin, cioè quanto costa scaldare di un kelvin QUELL'oggetto lì. Stesso simbolo, unità diverse: guarda sempre l'unità prima di applicare la formula.

I valori di riferimento per i gas perfetti diluiti a temperatura ambiente sono questi (manuale universitario OpenStax, Tabella 3.3), e sono multipli esatti della costante universale dei gas R = 8,314 462 618 J/(mol K), esatta per definizione dal 2019.

Perché a pressione costante serve più calore

Scalda un gas tenendo fermo il volume: non si espande, non compie lavoro, e tutto il calore che entra diventa energia interna, cioè temperatura. Ora scalda lo STESSO gas dello stesso numero di gradi lasciandolo espandere a pressione costante: mentre si scalda alza il pistone, e una parte del calore che gli hai dato se ne va via come lavoro invece di restare dentro come temperatura. Per ottenere lo stesso salto di temperatura devi quindi fornirne di più. Ecco perché il calore molare a pressione costante è maggiore di quello a volume costante.

Quanto di più? Esattamente il lavoro dell'isobara, che per un gas perfetto vale nR deltaT. Diviso per le moli e per il salto di temperatura, resta R. Da qui la relazione di Mayer:

C_p = C_V + R

Controllala sulla tabella: 20,79 - 12,47 = 8,32, cioè R entro l'arrotondamento. Vale per tutte e tre le righe.

Approfondimento saltabile: l'entalpia

Si definisce entalpia la grandezza H = U + pV. Serve a una cosa sola, ma importante: a pressione costante la sua variazione È il calore scambiato. Il conto sta in una riga, nella convenzione della sezione 8, dove L è il lavoro compiuto dal sistema: deltaH = deltaU + p deltaV = (Q - L) + L = Q, perché a pressione costante L = p deltaV. In altre parole, l'entalpia fa a pressione costante lo stesso mestiere che l'energia interna fa a volume costante.

È per questo che i calori latenti delle tabelle sono differenze di entalpia. Sui dati NIST per l'acqua alla saturazione a 100,01 gradi C e 0,10145 megapascal: entalpia del vapore 2675,6 kJ/kg meno entalpia del liquido 419,21 kJ/kg fa 2256,39 kJ/kg, cioè il calore latente di vaporizzazione che hai già incontrato nella sezione 5.

Che cosa correggere

La prima frase da manuale che salta è «C_V si usa nelle isocore e C_p nelle isobare». La seconda metà passa, la prima no: deltaU = n C_V deltaT vale sempre per un gas perfetto, anche nell'isobara e nell'adiabatica, perché l'energia interna dipende solo dalla temperatura. C_p serve per il CALORE, non per l'energia interna.

La seconda è «il calore specifico di una sostanza è un numero». Guarda le cifre, con le loro condizioni. Acqua liquida a 25 gradi C e 0,1 megapascal, dati misurati NIST: calore specifico a volume costante 4,1376 e a pressione costante 4,1813 J/(g K). Il rapporto, che è un conto nostro sui due valori tabulati, vale 1,0106: la distinzione quasi non si vede. Aria secca a 20 gradi C e 1 atmosfera, valori da manuale: 721 e 1015 J/(kg K), rapporto 1,408 — sempre conto nostro — e la distinzione è enorme. Per solidi e liquidi ignorarla è quasi sempre lecito; per i gas mai. E cade anche l'idea opposta, che la faccenda dei due calori specifici riguardi solo i gas: riguarda anche l'acqua, dove è piccola ma è misurata.

Esercizio 27 — Il piano pressione-volume descritto a parole

Testo. Disegna sullo stesso piano i quattro cammini che partono dallo stesso stato: isocora, isobara, isoterma, adiabatica. Per ciascuno di' a parole che forma ha e quanta area c'è sotto.

La mossa che sblocca. Fissa prima gli assi: pressione in verticale, volume in orizzontale. Poi guarda l'area: sotto un segmento verticale non c'è niente (isocora, lavoro nullo); sotto un segmento orizzontale c'è un rettangolo (isobara); sotto le due curve c'è un'area che si può solo stimare a fettine, e l'adiabatica scende più ripida dell'isoterma perché il gas si raffredda mentre si espande.

Errore tipico. Imparare «nell'isocora il lavoro è zero» come formula. Chi l'ha visto come segmento verticale non lo dimentica e non ha bisogno di ricordarlo.

Esercizio 28 — Il lavoro dell'isoterma con i numeri

Testo. Una mole di gas perfetto a 300 K raddoppia il volume in modo isotermo e reversibile. Quanto lavoro compie? Quanto calore assorbe? Di quanto cambia l'energia interna?

La mossa che sblocca. Parti dall'energia interna, non dal lavoro: la temperatura non cambia, quindi deltaU = 0, quindi Q = L. Poi L = nRT ln2 = 1 x 8,314 x 300 x 0,693 = 1728,9 J (conto nostro con il valore esatto di R).

Errore tipico. Concludere che se l'energia interna non cambia non c'è scambio di calore. Il calore entra tutto ed esce tutto come lavoro: è la trasformazione in cui si vede meglio che Q e L sono strade, non contenuti.

Esercizio 29 — La formula che vale anche fuori dall'isocora

Testo. Un gas perfetto biatomico passa da 300 K a 400 K una volta a volume costante e una volta a pressione costante. Calcola in entrambi i casi la variazione di energia interna e il calore fornito, e spiega perché uno dei due numeri è uguale nei due casi e l'altro no.

La mossa che sblocca. Usa deltaU = n C_V deltaT in ENTRAMBI i casi: viene lo stesso valore, perché l'energia interna dipende solo dalla temperatura. Il calore invece è diverso, perché nell'isobara una parte se ne va in lavoro di espansione, e la differenza vale esattamente nR deltaT.

Errore tipico. Usare C_p per calcolare l'energia interna nell'isobara. C_p serve per il calore, non per l'energia interna.

Esercizio 30 — Perché c_p è maggiore di c_V, e quando non importa

Testo. Spiega con il primo principio perché serve più calore a pressione costante, poi calcola il rapporto fra i due calori specifici per l'aria a 20 gradi C e per l'acqua liquida a 25 gradi C. In quale dei due casi si può ignorare la differenza?

La mossa che sblocca. A pressione costante il gas si espande, quindi una parte del calore diventa lavoro e non arriva alla temperatura. I rapporti sono 1015/721 = 1,408 per l'aria e 4,1813/4,1376 = 1,0106 per l'acqua: nel primo caso ignorare la distinzione sbaglia del 40 per cento, nel secondo dell'1.

Errore tipico. Credere che la distinzione riguardi solo i gas. Riguarda anche i liquidi: per l'acqua è piccola, ma esiste ed è misurata.

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Le macchine termiche, i cicli reali e le macchine al contrario (secondo biennio)

Una macchina termica fa sempre la stessa cosa, e la fa in cerchio. Preleva del calore da una sorgente calda — lo chiamiamo Q_caldo — ne restituisce una parte a una sorgente fredda — Q_freddo — e la differenza esce come lavoro. «In cerchio» vuol dire che alla fine di ogni giro il fluido torna esattamente nello stato di partenza: stessa pressione, stesso volume, stessa temperatura. E se lo stato finale coincide con quello iniziale, l'energia interna non è cambiata, quindi tutto il calore netto entrato è uscito come lavoro.

      sorgente calda (temperatura alta)
                  |
              Q_caldo
                  v
        +=====================+
        |      MACCHINA       |  ===>  L  (lavoro compiuto dalla macchina)
        +=====================+
                  |
              Q_freddo
                  v
      sorgente fredda (temperatura bassa)

In formule: L = Q_caldo - Q_freddo. Il rendimento, che si indica con la lettera greca eta, è il rapporto fra quello che ottieni e quello che paghi, cioè fra il lavoro e il calore prelevato dalla sorgente calda:

eta = L / Q_caldo = 1 - Q_freddo / Q_caldo

Quel Q_freddo non è uno spreco che un ingegnere più bravo eliminerebbe: senza scarico alla sorgente fredda il ciclo non si chiude. Perché non si possa portarlo a zero lo vedremo nella sezione 11.

Il ciclo Otto, cioè il motore a benzina

Il pistone scende aspirando la miscela di aria e benzina, e mentre il volume cresce la pressione resta quasi costante, poco sotto quella esterna. Poi risale a valvole chiuse e comprime la miscela. Al punto morto superiore la candela accende, e la combustione è così rapida che il pistone non fa in tempo a spostarsi: il volume resta lo stesso mentre pressione e temperatura schizzano. Il gas caldissimo spinge giù il pistone e compie lavoro. Infine si apre la valvola di scarico e i gas escono.

Idealizzando, ne esce un ciclo fatto di due adiabatiche raccordate da due trasformazioni a volume costante, e il suo rendimento dipende solo da due cose: il rapporto di compressione r, cioè di quante volte il volume si riduce nella corsa di compressione, e il tipo di gas attraverso gamma, il rapporto fra i due calori specifici già incontrato nella sezione 9.

eta = 1 - 1 / r^(gamma - 1)

Con l'aria (gamma = 1,4) il conto, che è nostro sulla formula della fonte universitaria, dà 56,5 per cento a rapporto di compressione 8, 60,2 a 10, 65,2 a 14, 69,8 a 20. Salire conviene sempre, sulla carta. Nella pratica no: più si comprime, più l'aria di fine compressione è calda, e a un certo punto la miscela si accende da sola prima della candela, nel punto sbagliato del ciclo. È un limite chimico, non termodinamico. I motori a benzina di vent'anni fa stavano fra 6 e 11; fra i motori a benzina di grande serie ad accensione comandata, cioè con la candela che accende la miscela, il rapporto di compressione più alto dichiarato da un costruttore è 14,0 a 1. Si sale ancora — 16,3 a 1, poi ridotto a 15,0, sullo Skyactiv-X di Mazda, su auto di serie dal 2019 — soltanto cambiando il modo di accendere: lì la combustione parte per compressione e la candela fa solo da innesco, e il limite chimico si sposta più in alto.

Il ciclo Diesel

Qui la compressione riguarda soltanto aria, senza combustibile: l'aria pura non può autoaccendersi, e allora si può comprimere molto di più, tipicamente fra 15 e 23. Il gasolio viene iniettato alla fine della compressione e si accende da solo per l'alta temperatura dell'aria. Niente candela, ma un impianto di iniezione ad altissima pressione. E siccome la combustione è più graduale, il pistone comincia già a scendere mentre si brucia: la fase di combustione si rappresenta a pressione costante, non a volume costante.

Le centrali: Rankine, Brayton e i due messi insieme

Il ciclo Rankine ha quattro organi. La pompa comprime il liquido; la caldaia lo scalda, lo fa evaporare e ne surriscalda il vapore; la turbina lo fa espandere e produce lavoro; il condensatore lo riporta liquido cedendo calore all'ambiente. Il suo punto di forza è proprio la pompa: comprimere un liquido, che è quasi incomprimibile, costa pochissimo, mentre comprimere vapore costerebbe una fetta enorme del lavoro prodotto. Il vapore all'ingresso in turbina non supera oggi i 550-620 gradi C, per non rovinare le prime palette, e il condensatore lavora tipicamente a 30-35 gradi C.

Il ciclo Brayton è quello della turbina a gas: un compressore, una camera di combustione a pressione costante, una turbina, e lo scarico all'atmosfera. È compatto, e i gas escono ancora molto caldi. Da qui il ciclo combinato: si mette il Brayton sopra e il Rankine sotto, e i gas di scarico della turbina a gas, invece di andare al camino, entrano in un generatore di vapore a recupero che alimenta il ciclo a vapore. Due macchine in serie sullo stesso calore.

I rendimenti veri, ciascuno con la sua etichetta

I numeri della tabella sono ricavati da noi dai consumi specifici pubblicati dall'ente statistico statunitense, con la regola ufficiale dell'ente: 3412 diviso il consumo in Btu per kilowattora. Il Btu è l'unità di calore anglosassone e il kilowattora è l'energia che un apparecchio da mille watt consuma in un'ora; 3412 Btu valgono appunto un kilowattora, quindi quel rapporto è un rendimento. Sono medie di flotta, nette, dello stesso anno e della stessa tabella: confrontabili fra loro.


Accanto, ma su un'altra riga concettuale, stanno i primati: 64,0 per cento è un valore di catalogo del costruttore, in condizioni che il comunicato non elenca; 62,22 per cento è una misura su impianto reale verificata da un ente terzo. E attenzione alla base di calcolo, cioè a che cosa si mette al denominatore del rendimento. Bruciando metano si forma anche vapore acqueo: il potere calorifico SUPERIORE conta tutta l'energia della combustione, compresa quella che si riprenderebbe facendo condensare quel vapore (è il calore latente della sezione 5); il potere calorifico INFERIORE non la conta, perché nei fumi il vapore resta vapore e se ne va per il camino. Il denominatore riferito al potere calorifico inferiore è quindi il più piccolo dei due, e lo stesso identico impianto fa un numero più bello: per la stessa classe di macchina, 64,3 per cento riferito al potere calorifico inferiore diventa 57,9 riferito al superiore. Cambia solo il denominatore, e il numero perde sei punti.

La macchina al contrario

Se il ciclo si percorre in senso inverso, fornendo lavoro dall'esterno, il calore si sposta dal freddo al caldo. È il frigorifero, se ti interessa quello che viene tolto alla cella; è la pompa di calore, se ti interessa quello che viene ceduto alla stanza. Il bilancio è lo stesso: Q_caldo = Q_freddo + lavoro fornito.

La prestazione non si misura con un rendimento — non lo è, e chiamarlo così porta a conclusioni sbagliate — ma con il coefficiente di prestazione, cioè l'effetto utile diviso il lavoro fornito. Per la pompa di calore l'effetto utile è Q_caldo, e allora il coefficiente è (Q_freddo + lavoro fornito) diviso il lavoro fornito: una frazione il cui numeratore contiene tutto il denominatore più qualcosa, quindi è sempre maggiore di 1. Per il frigorifero l'effetto utile è invece Q_freddo, e quella dimostrazione non vale più.

Il coefficiente non è un numero, è una curva. Su una pompa di calore aria-acqua in commercio, misurato con la norma di prova europea EN 14511, vale 4,74 con aria esterna a 7 gradi C, 3,83 a 2 gradi C e 2,63 a meno 7 gradi C, tutti e tre con acqua a 35 gradi C. Crolla proprio quando fuori fa freddo, cioè quando serve di più. Le cifre istituzionali che circolano — «circa 4» secondo l'Agenzia internazionale dell'energia, «fino a tre volte» secondo il programma statunitense ENERGY STAR — non dichiarano le condizioni di prova, e vanno lette appoggiandole a quella curva.

Quattro frasi da correggere

La prima è «il motore Diesel rende più del benzina perché il suo ciclo è migliore». A parità di rapporto di compressione il ciclo Diesel rende MENO del ciclo Otto, e la fonte universitaria lo scrive alla lettera. Vince nella pratica per un motivo diverso: comprimendo aria pura può salire a rapporti di compressione che al benzina sono vietati.

La seconda è «una pompa di calore con efficienza dichiarata sopra il 100 per cento viola la conservazione dell'energia». Non la viola, perché l'energia in più non viene creata: viene presa dall'aria fredda di fuori. Nell'esempio svolto del manuale, l'ambiente esterno fornisce 4,3 joule per ogni joule di elettricità. E quel 110 per cento del Regolamento europeo 813/2013 non è un rendimento: è il coefficiente di prestazione stagionale diviso il fattore 2,5 fissato dalla normativa, quindi corrisponde a un valore stagionale dell'ordine di 2,75.

La terza è «il coefficiente di prestazione è sempre maggiore di 1». Vale per la pompa di calore, ed è per la pompa di calore che la fonte lo enuncia. Il frigorifero non ha quel pavimento: lo mostra l'esercizio 34.

La quarta non è una frase ma un'abitudine: mettere nella stessa colonna il 40-41 per cento di rendimento di un motore d'auto e il 12-30 per cento dell'energia del carburante che arriva alle ruote. Il primo è misurato al banco nel punto di funzionamento migliore, il secondo comprende trasmissione, ausiliari e minimo su un percorso reale. Sono due grandezze diverse, e confonderle è l'errore più frequente delle guide divulgative.

Esercizio 31 — Il rendimento di una macchina reale, con la sua etichetta

Testo. Una centrale a ciclo combinato consuma in media 7548 Btu per ogni kilowattora prodotto, una centrale nucleare 10443. Calcola i due rendimenti con la regola ufficiale dell'ente statistico e scrivi accanto a ciascuno che tipo di numero è.

La mossa che sblocca. Il rendimento è 3412 diviso il consumo specifico, perché 3412 Btu sono l'energia di un kilowattora: vengono 45,2 e 32,7 per cento. Poi metti l'etichetta, che vale quanto il conto: sono medie di flotta, nette, dello stesso anno e della stessa tabella, quindi confrontabili fra loro.

Errore tipico. Mettere nella stessa colonna il 64 per cento di catalogo della migliore macchina esistente e il 33 per cento medio del nucleare: uno e un valore di catalogo del costruttore, in condizioni che il comunicato non elenca; l'altro e netto e di flotta.

Esercizio 32 — Quanto paga il rapporto di compressione

Testo. Calcola il rendimento del ciclo Otto ideale con aria per rapporto di compressione 8, 10 e 14, e di' quanti punti si guadagnano passando da 10 a 14. Perché allora non si sale ancora?

La mossa che sblocca. Usa eta = 1 - 1/r^(gamma - 1) con gamma = 1,4: vengono 56,5, 60,2 e 65,2 per cento, cioè cinque punti fra 10 e 14. Il limite non è termodinamico ma chimico: salendo cresce la temperatura di fine compressione e la miscela si accende da sola, nel punto sbagliato del ciclo.

Errore tipico. Concludere che il Diesel rende di più perché il suo ciclo è migliore: a parità di rapporto di compressione rende meno, e vince perché comprime aria pura e può salire più in alto.

Esercizio 33 — Il coefficiente di prestazione non è un numero, è una curva

Testo. Una pompa di calore ha coefficiente di prestazione 4,74 con aria esterna a 7 gradi C, 3,83 a 2 gradi C e 2,63 a meno 7 gradi C. Calcola quanti kilowattora elettrici servono per ottenere 10000 kilowattora di calore nelle tre condizioni, e spiega perché è sbagliato dire «questa pompa di calore ha coefficiente 4,74».

La mossa che sblocca. Dividi il calore richiesto per il coefficiente: 2110, 2611 e 3802 kilowattora elettrici. Il numero senza le due temperature non significa nulla, ed è esattamente per questo che la norma di prova le scrive dentro il nome della condizione.

Errore tipico. Chiamarlo rendimento e crederlo una costante della macchina: è un rapporto che dipende dalle due temperature fra cui la macchina lavora, e crolla proprio quando serve di più.

Esercizio 34 — Un frigorifero con coefficiente minore di 1

Testo. Un frigorifero ideale lavora fra una cella a 100 K e l'ambiente a 300 K. Quanto vale il suo coefficiente di prestazione? E perché per una pompa di calore lo stesso conto non può mai dare meno di uno?

La mossa che sblocca. Per il frigorifero il coefficiente è il calore tolto diviso il lavoro fornito. In una macchina ideale i due calori stanno fra loro come le temperature assolute delle sorgenti: discende dalla formula di Carnot della sezione 11, eta = 1 - T_freddo/T_caldo, messa accanto a eta = 1 - Q_freddo/Q_caldo di questa sezione: ogni 100 unità tolte alla cella, 300 ne vengono cedute all'ambiente, quindi il lavoro fornito è 200 e il coefficiente vale 100 diviso 200, cioè 0,5. Per la pompa di calore il numeratore è invece il calore CEDUTO, cioè la somma del calore preso fuori e del lavoro fornito: una somma che contiene già il denominatore, quindi il rapporto supera sempre uno.

Errore tipico. Estendere al frigorifero l'enunciato «sempre maggiore di 1», che la fonte dà per la sola pompa di calore.

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Il secondo principio e il limite di Carnot: quanto prendono davvero le macchine vere (secondo biennio)

Due osservazioni che nessuno ha mai visto smentite

Il secondo principio non nasce da una formula: nasce da due cose che si osservano e che non si è mai riusciti a far accadere al contrario.

La prima è di William Thomson, cioè Lord Kelvin, e sta al paragrafo 12 del suo lavoro del 1851: è impossibile, con mezzi materiali inanimati, ricavare effetto meccanico da una porzione di materia raffreddandola sotto la temperatura dell'oggetto più freddo che la circonda. Tradotto: il mare è pieno di energia interna, ma non esiste modo di prenderla e farne lavoro raffreddando l'acqua sotto la temperatura di tutto ciò che sta intorno.

La seconda è di Rudolf Clausius: il calore non può passare da sé da un corpo più freddo a uno più caldo. Clausius stesso avverte che quel «da sé» non è preciso e va spiegato, e riformula in modo più rigoroso: un passaggio di calore dal corpo più freddo al più caldo non può avvenire senza compensazione. È una precisazione importante, non un dettaglio: il frigorifero della sezione 10 fa esattamente passare calore dal freddo al caldo, ma non da sé — lo fa perché gli si fornisce lavoro, e quello è la compensazione.

Un manuale italiano di liceo li scrive in una forma quasi identica: è impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia assorbire calore da un'unica sorgente e trasformarlo integralmente in lavoro (Kelvin); ed è impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia far passare calore da un corpo più freddo a uno più caldo (Clausius). In entrambe le frasi le parole che portano tutto il peso sono «unico risultato».

Perché i due enunciati sono lo stesso enunciato

Sembrano parlare di due cose diverse, e invece chi ne viola uno viola l'altro. Lo schema della dimostrazione si può seguire senza conti.

Supponiamo che qualcuno costruisca la macchina vietata da Kelvin: prende calore da una sola sorgente e lo trasforma tutto in lavoro, senza cedere niente a nessuno. Attacchiamo quel lavoro a una pompa di calore ordinaria, che con del lavoro sposta calore dal freddo al caldo — una macchina che esiste e che non viola nulla. Adesso guardiamo l'insieme delle due macchine come se fosse un unico apparecchio: dall'esterno non entra lavoro, perché il lavoro se lo sono scambiato fra loro, e l'unico risultato netto è del calore passato dalla sorgente fredda a quella calda. Cioè esattamente ciò che Clausius dichiara impossibile. Vale anche il ragionamento inverso.

Questo è il motivo per cui il secondo principio si può enunciare in tanti modi e resta un solo principio.

Il teorema di Carnot, e perché quelle temperature vanno in kelvin

Da lì discende il risultato che chiude il discorso sulle macchine: fra due date temperature nessuna macchina può fare meglio di

eta = 1 - T_freddo / T_caldo

dove eta (la lettera greca «eta») è il rendimento, cioè il rapporto fra il lavoro ottenuto e il calore prelevato dalla sorgente calda, e T_freddo e T_caldo sono le temperature delle due sorgenti misurate in kelvin, cioè nella scala che parte dallo zero assoluto e in cui 0 gradi C valgono 273,15 K.

In kelvin, sempre, senza eccezioni. E qui non ci appoggiamo all'autorità di nessuno, perché la ragione si vede da sola: se in quella frazione mettessimo i gradi Celsius, una sorgente fredda a 0 gradi C darebbe rapporto zero e quindi rendimento uno, cioè una macchina che trasforma in lavoro tutto il calore che riceve. Basterebbe un condensatore ad acqua di fusione del ghiaccio per abolire il secondo principio. Il metrologo dell'Istituto nazionale di ricerca metrologica lo dice in generale: a causa della traslazione di scala, i rapporti fra temperature Celsius non hanno senso, perché i 21 gradi Celsius di una giornata primaverile non sono il triplo dei 7 gradi Celsius di una giornata invernale. Nella formula di Carnot compare un rapporto: quindi kelvin.

Ventotto anni, seicento copie, e una premessa sbagliata

La storia qui insegna qualcosa, e vale la pena raccontarla.

Sadi Carnot pubblica le sue «Réflexions sur la puissance motrice du feu» nel 1824, a ventotto anni. Secondo la fattura del tipografo ne furono stampate seicento copie: l'edizione non era esaurita nel 1835 e nel 1845 i librai l'avevano completamente dimenticata. Carnot muore nel 1832, a trentasei anni, durante un'epidemia di colera, senza sapere che cosa sarebbe diventato il suo libretto.

E ragionava con il calorico: ai suoi tempi «chaleur» e «calorique» erano sinonimi, e nelle Réflexions il calore si conserva e «cade» da caldo a freddo come l'acqua da un dislivello. La premessa era sbagliata, e la conclusione è giusta. Non è un colpo di fortuna: il suo teorema riguarda un rapporto fra temperature e non la natura di ciò che passa, quindi resta in piedi anche quando la sostanza-calore viene abbandonata. Una fonte storica nota anche perché la premessa sembrava reggere: le macchine a vapore dell'epoca rendevano meno del 5 per cento, quindi il calore in ingresso e quello in uscita apparivano quasi uguali, e la conservazione del calorico sembrava ragionevole.

Quanto prendono davvero le macchine vere

Adesso chiudiamo l'itinerario. Prendiamo le macchine descritte alla sezione 10, calcoliamo il Carnot con le loro due temperature vere e guardiamo quale frazione ne portano a casa. La sorgente fredda è in tutti i casi il condensatore, che nella pratica lavora fra 30 e 35 gradi C: usiamo 30 gradi C, cioè 303,15 K.

Reattore nucleare ad acqua bollente: il vapore che va in turbina sta a circa 285 gradi C, cioè 558,15 K, e non può stare più caldo perché gli elementi di combustibile si danneggerebbero. Carnot: 1 - 303,15/558,15 = 0,457, cioè 45,7 per cento.

Turbina a gas moderna: l'impianto a ciclo combinato più efficiente entrato in servizio dichiara una temperatura di ingresso in turbina di 1650 gradi C, cioè 1923,15 K. Carnot: 1 - 303,15/1923,15 = 0,842, cioè 84,2 per cento.


I due Carnot delle prime due righe sono calcolati da noi, con gli ingredienti dichiarati qui sopra; i rendimenti reali vengono dalle fonti citate alla sezione 10. E il confronto ha un limite che va detto: il 64 per cento è il valore di una singola macchina in condizioni di prova, il 32,7 per cento è una media di tutte le centrali nucleari statunitensi. L'ultima riga non è un conto nostro: è l'esempio svolto di una dispensa universitaria italiana su un ciclo a vapore a 100 bar e 500 gradi C con condensatore a 0,04 bar, che ottiene rendimento 42,5 per cento contro un Carnot di 60,9, cioè il 69,8 per cento del limite.

Ed ecco il punto. Gas, nucleare e vapore prendono fra il 69 e il 76 per cento del proprio limite: quasi la stessa frazione. Non è che il gas sia una macchina fatta meglio e il nucleare una fatta peggio. Sono ingegnerizzate all'incirca altrettanto bene; la differenza fra i rendimenti finali sta tutta nella temperatura della sorgente calda, e quella nel nucleare è bloccata da un limite di materiali, non di fisica.

Il motore d'auto si comporta invece diversamente, e vale la pena capire perché. La temperatura massima del ciclo Otto reale è circa 2500 K; con l'ambiente a 15 gradi C, cioè 288,15 K, il Carnot varrebbe 88,5 per cento, e il miglior motore a benzina di serie dichiarato da un costruttore ne prende 40, cioè il 45 per cento del limite: molto meno di una centrale. La ragione non è che il motore sia costruito male. Non è una macchina ciclica che scambia con due sorgenti: aspira aria fresca ogni volta e butta fuori i gas combusti, che escono ancora a 800-1000 gradi C. Quell'energia non è stata distrutta da un'irreversibilità: semplicemente nessuno l'ha raccolta.

Tre frasi da correggere, e una da mettere in pace

La prima è «la macchina di Carnot è reversibile, quindi ha rendimento del 100 per cento». Reversibile vuol dire che la trasformazione avviene per passi così piccoli e lenti che in ogni istante il gas è in equilibrio con l'ambiente, e che quindi la si potrebbe ripercorrere all'indietro passo per passo riportando allo stato di partenza sia il sistema sia l'ambiente: niente attrito, niente salti bruschi di temperatura o di pressione, cioè niente che disperda lavoro per strada. È un caso limite ideale, il migliore possibile, e nessuna macchina vera lo raggiunge. Non vuol dire, invece, che il calore ceduto alla sorgente fredda sia zero: il rendimento arriverebbe a uno solo con la sorgente fredda allo zero assoluto, che è irraggiungibile per principio e non per limiti tecnologici (sezione 12). Su questo, per fortuna, si sta meglio di quanto si creda: in un sondaggio validato su oltre mille studenti universitari statunitensi (Brundage, Meltzer e Singh) circa l'80 per cento rispondeva già correttamente a questo item prima del corso.

La seconda è l'abitudine di infilare i gradi Celsius nella formula, ed è già stata smontata sopra: con la sorgente fredda a 0 gradi C il conto regalerebbe una macchina perfetta.

La terza è «una centrale nucleare rende meno perché il nucleare è meno efficiente». È una questione di temperatura, non di combustibile, e i due numeri della tabella lo mostrano: 285 gradi C contro 1650.

L'ultima è l'idea che il secondo principio sia un ostacolo tecnologico, da superare prima o poi con macchine migliori. Non lo è. È un divieto, e vale per qualunque macchina, costruita con qualunque materiale, con qualunque fluido.

Esercizio 35 — L'inventore che viola un principio

Testo. Un inventore propone una macchina termica che opera fra una sorgente calda a 400 K e una fredda a 300 K. La macchina assorbirebbe 100 J dalla sorgente calda, ne cederebbe 25 J alla fredda e compirebbe 75 J di lavoro in un ciclo. Quale principio viola? (Campionati di Fisica 2026, quesito 30.)

La mossa che sblocca. Due controlli, in quest'ordine. Primo: il bilancio energetico torna? 100 = 75 + 25, sì, quindi il primo principio è salvo. Secondo: il rendimento dichiarato è 75 diviso 100, cioè 0,75, mentre il tetto di Carnot fra quelle due temperature vale 1 - 300/400 = 0,25. La macchina viola solo il secondo principio.

Errore tipico. Cercare l'errore nella conservazione dell'energia, non trovarlo e concludere che la macchina va bene: il secondo principio è un divieto in più, che il primo non contiene.

Esercizio 36 — Che cosa succede se cambio la sorgente calda

Testo. Un ciclo di Carnot con sorgente calda a 20 gradi C ha rendimento del 20 per cento. Si sostituisce la sorgente calda con una a 0 gradi C, lasciando invariata la fredda. Qual è il nuovo rendimento? (Campionati di Fisica 2024, quesito 10.)

La mossa che sblocca. Convertire subito: 20 gradi C sono 293,15 K. Dal rendimento del 20 per cento segue che il rapporto T_freddo diviso T_caldo vale 0,8, cioè la sorgente fredda sta a quattro quinti della calda, cioè a 234,5 K. Con la nuova sorgente calda a 273,15 K il rendimento diventa 1 - 234,5/273,15, cioè circa il 14 per cento.

Errore tipico. Lavorare in gradi Celsius: con la sorgente calda a 0 il rapporto esploderebbe e il conto perderebbe senso. E credere che abbassare la sorgente calda di venti gradi costi poco: costa sei punti di rendimento su venti.

Esercizio 37 — Perché il nucleare rende meno del gas

Testo. Calcola il rendimento di Carnot di una centrale nucleare con vapore a 285 gradi C e quello di una turbina a gas a 1650 gradi C, entrambe con sorgente fredda al condensatore a 30 gradi C. Poi confronta con i rendimenti reali riportati alla sezione 10 e dì quale delle due macchine è ingegnerizzata meglio.

La mossa che sblocca. Convertire tutto in kelvin e applicare 1 - T_freddo/T_caldo: vengono 45,7 e 84,2 per cento. Poi dividere il rendimento reale per il proprio Carnot: circa 72 per cento nel primo caso e 76 nel secondo. Sono quasi uguali, quindi la domanda finale ha una risposta sola: la differenza fra i rendimenti finali sta nella temperatura, non nella qualità della macchina.

Errore tipico. Concludere che il nucleare sia una tecnologia inferiore. Il vincolo è che gli elementi di combustibile non possono stare troppo caldi senza danneggiarsi: è un limite di materiali, e si vede tutto nel Carnot.

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L'entropia, il terzo principio e la risposta alla domanda dell'urto (secondo biennio)

Prima un conto, poi il nome

Fondere un chilo di ghiaccio a 0 gradi C e 1 atmosfera costa 334000 joule (il calore latente di fusione della sezione 5), e mentre il ghiaccio fonde la temperatura non si muove: resta 273,15 K. Dividi la prima cosa per la seconda:

334000 J : 273,15 K = 1222,8 J/K

Il conto è nostro, e gli ingredienti sono due soli: il calore latente da manuale universitario (334 kJ/kg a 0 gradi C e 1 atmosfera) e la temperatura assoluta di fusione. Quel numero, 1222,8, è la variazione di entropia del chilo di ghiaccio, e si misura in joule su kelvin: un'energia divisa per una temperatura. In forma molare, dividendo per le moli d'acqua contenute in un chilo, fa 21,99 joule su mole per kelvin.

La definizione di Clausius è esattamente questa: il rapporto fra il calore scambiato in una trasformazione reversibile e la temperatura assoluta a cui lo scambio avviene.

deltaS = Q_reversibile : T

La parola «reversibile» non è un ornamento: è la condizione che rende quel rapporto una proprietà dello stato del corpo e non del viaggio fatto per arrivarci. Clausius lo scrive così: quel rapporto si può calcolare «senza che occorra sapere per quale via il corpo sia giunto in quella condizione». Nel 1865 gli diede il nome prendendolo dal greco, dalla parola per «trasformazione», e disse esplicitamente di averlo foggiato il più simile possibile a «energia», perché le due grandezze gli sembravano parenti strette.

Una nota di raccordo, se hai già letto sul sito la guida su gli enzimi: là l'entropia è misurata in «unità entropiche», che sono un'unità della chimica e non del Sistema internazionale. Una unità entropica è una caloria su mole per kelvin, cioè 4,184 joule su mole per kelvin (caloria termochimica, valore esatto per definizione secondo il NIST).

I due secchi d'acqua, e la risposta alla domanda della sezione 1

Prendi un chilo d'acqua a 80 gradi C e un chilo a 20 gradi C e mescolali in un recipiente isolato. Masse uguali e stesso calore specifico danno una temperatura finale di 50 gradi C. Per un corpo che cambia temperatura la variazione di entropia si scrive con il logaritmo naturale (la funzione che il tuo libro indica «ln»):

deltaS = m c ln(T_finale : T_iniziale)

Conto nostro, con calore specifico dell'acqua c = 4186 J/(kg K), che è il valore a 15,0 gradi C:

acqua calda:  1 x 4186 x ln(323,15 : 353,15) = -371,6 J/K
acqua fredda: 1 x 4186 x ln(323,15 : 293,15) = +407,9 J/K
                                       totale = +36,2 J/K

Rifacendo tutto con c = 4182 J/(kg K), che è il valore a 20 gradi C della tavola dei dati dei Campionati di Fisica, il totale resta +36,2 J/K: la terza cifra non si muove, il segno non dipende dalla scelta.

Guarda che cosa è successo. L'energia si è conservata esattamente: il calore uscito dall'acqua calda è entrato tutto in quella fredda. L'entropia no: è cresciuta. E qui si chiude la domanda rimasta aperta nella sezione 1, quella dell'urto anelastico della guida su quantità di moto e urti. L'energia cinetica non è sparita e non si è persa: è ancora tutta lì, come energia interna, misurabile come un aumento di temperatura di qualche millesimo di kelvin. Quello che è sparito è la possibilità di riprendersela. È diventata indisponibile perché si è distribuita su un numero enorme di configurazioni microscopiche, e nessuna macchina sa rimetterle in fila. È lo stesso motivo, detto in termini di entropia, per cui nessuna macchina supera il limite di Carnot (sezione 11).

Contare le configurazioni: S = k ln W

La lettura microscopica mette un numero anche su quella frase.

S = k ln W

Qui k è la costante di Boltzmann della sezione 7, 1,380649 x 10^-23 joule su kelvin, esatta per decreto dal 2019; e W è il numero di microstati, cioè di configurazioni microscopiche diverse (posizioni ed energie delle singole particelle) che danno lo stesso stato macroscopico, quello che tu misuri con termometro e manometro. Più modi ci sono di realizzare la stessa apparenza, più alta è l'entropia. Attenzione al simbolo: qui W vuol dire microstati, e non ha niente a che vedere ne con il W che nella sezione 6 e il simbolo del watt, ne con il W che nella sezione 8 e nella 14 indica il lavoro nella convenzione dei testi di chimica. In questa guida il lavoro resta L.

Il terzo principio: lo zero assoluto non si raggiunge

Il terzo principio esiste in due enunciati distinti, che vanno tenuti separati. Il teorema di Nernst dice che quando la temperatura tende a zero l'entropia tende a un valore comune, indipendente dagli altri parametri. Il principio di irraggiungibilità dice che nessun processo può portare un sistema allo zero assoluto in un numero finito di passi.

Per la scuola serve solo la seconda cosa, ed è questa: lo zero assoluto non si raggiunge, e non per limiti tecnologici. La temperatura più bassa mai ottenuta è 38 picokelvin, con incertezza asimmetrica di +6 e -7 picokelvin, ottenuta come energia cinetica interna totale di un condensato di atomi di rubidio e pubblicata su Physical Review Letters 127, 100401 (2021). Non è un oggetto «a 38 picokelvin» in senso ordinario: è quel particolare modo di misurare quella particolare nuvola di atomi. Ed è comunque un numero diverso da zero. In nota: se i due enunciati siano equivalenti è ancora discusso, e le due posizioni in campo (Masanes e Oppenheim 2017 contro Shirai) non le abbiamo lette oltre l'abstract, quindi non prendiamo partito.

La frase da manuale che salta: «l'entropia è il disordine»

Ora l'errore, dopo i fatti. Mescolare un mazzo di carte non cambia di un joule su kelvin l'entropia delle carte: gli oggetti macroscopici spostati hanno la stessa energia e gli stessi microstati accessibili di prima. Ad aumentare la propria entropia sono i muscoli di chi mescola. Secondo controesempio, in cucina: all'equilibrio termico, cioè a entropia massima, una bottiglia di olio e aceto è separata in due strati, non mescolata. Terzo, con i numeri: alla stessa temperatura le molecole di elio corrono molto più veloci di quelle di kripton, quindi sembrerebbero «più disordinate», eppure l'entropia standard dell'elio è 126 J/(mol K) contro i 164 del kripton.

La metafora ha una data di nascita e un perimetro. L'entropia nasce nella termodinamica fra il 1824 e il 1865; le idee di «disordine» nascono nella teoria cinetica dei gas fra il 1867 e il 1872; le due cose furono unite da Helmholtz nel 1882. Per un gas senza forze esterne funziona, perché lì lo stato di equilibrio è davvero quello uniforme. Fuori di lì cede. Su che cosa metterle al posto gli autori seri non concordano: c'è chi propone la dispersione dell'energia (Lambert), chi si limita a documentare i controesempi (Styer), chi difende la metafora purché se ne dichiarino esplicitamente i limiti (Haglund 2017), chi rifiuta entrambe le cose e passa alla teoria dell'informazione (Ben-Naim, che conosciamo solo attraverso la recensione di Henchman). Questa guida non incorona nessuno, e non ti chiede di sostituire uno slogan con un altro.

Cade anche l'uso della frase «l'entropia dell'universo tende a un massimo» come fatto acquisito. È di Clausius, del 1865, ed entra qui perché è storia della scienza, ma va letta con l'obiezione che Planck le mosse: l'energia e l'entropia del mondo non ammettono definizione accurata, quindi quella frase non è una misura. E se citi l'iscrizione sulla tomba di Boltzmann a Vienna, dove S = k log W è incisa, sappi che Boltzmann quella formula in quella forma non la scrisse mai: la costante ce l'ha messa Planck, che scrive appunto che all'equazione di Boltzmann «manca il fattore k».

Cade infine l'idea che l'entropia sia una grandezza conservata, come l'energia. È la concezione più diffusa fra gli studenti dei corsi introduttivi: in un sondaggio validato su oltre mille studenti universitari statunitensi (Brundage, Meltzer e Singh), davanti a due corpi a temperature diverse messi a contatto in una scatola isolata, dal 69 all'86 per cento riconosce correttamente che l'uno guadagna e l'altro perde entropia, ma solo dal 20 al 23 per cento riconosce che il totale aumenta. La risposta sbagliata più frequente è «non è cambiata». I due secchi d'acqua di sopra sono la smentita con i numeri.

Esercizio 38 — L'entropia di un chilo di ghiaccio che fonde

Testo. Calcola la variazione di entropia di un chilo di ghiaccio che fonde completamente a 0 gradi C e 1 atmosfera, e di' in che unità viene. Poi rifai il conto con 50 g e verifica che il risultato scali con la massa.

La mossa che sblocca. Durante la fusione la temperatura resta costante, quindi non serve nessuna somma di fettine: basta dividere il calore per la temperatura assoluta. Con 334000 J e 273,15 K vengono 1222,8 J/K; con 50 g vengono 61,1 J/K, cioè un ventesimo esatto, perché il calore latente è proporzionale alla massa e la temperatura non cambia.

Errore tipico. Dividere per la temperatura in gradi Celsius, cioè per zero. È l'errore che mostra meglio di qualunque spiegazione perché l'entropia vuole i kelvin.

Esercizio 39 — Due secchi d'acqua, e il conto che non torna a zero

Testo. Un chilo d'acqua a 80 gradi C viene mescolato con un chilo a 20 gradi C in un recipiente isolato. Calcola la temperatura finale, la variazione di entropia di ciascuna metà e quella totale. Perché il totale non è zero, se l'energia si è conservata?

La mossa che sblocca. Masse uguali e stesso calore specifico danno subito 50 gradi C. Poi si usa deltaS = m c ln(T_finale : T_iniziale) con le temperature in kelvin: vengono -371,6 J/K e +407,9 J/K, totale +36,2 J/K. Il logaritmo penalizza il corpo caldo sempre meno di quanto premi il freddo, e il totale resta positivo qualunque coppia di temperature tu scelga.

Errore tipico. Aspettarsi che le due variazioni si compensino perché il calore ceduto è uguale a quello ricevuto. Si compensano le energie, non le entropie: è esattamente qui che il secondo principio dice qualcosa che il primo non dice.

Esercizio 40 — Elio e kripton, ovvero perché il disordine non basta

Testo. Alla stessa temperatura le molecole di elio si muovono molto più veloci di quelle di kripton, quindi sembrerebbero «più disordinate». Perché allora l'entropia standard dell'elio è 126 J/(mol K) e quella del kripton 164?

La mossa che sblocca. Smetti di ragionare su quanto le particelle corrono e comincia a contare in quanti modi diversi possono distribuirsi l'energia. La massa maggiore del kripton comporta livelli energetici più ravvicinati, quindi più microstati compatibili con lo stesso stato macroscopico, quindi, per S = k ln W, più entropia.

Errore tipico. Dedurre l'entropia dalla velocità o dall'aspetto. È lo stesso riflesso che fa credere che mescolare un mazzo di carte aumenti l'entropia delle carte: aumenta quella dei muscoli di chi mescola.

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Domande frequenti

Che differenza c'è fra calore e temperatura?
La temperatura è una proprietà che un corpo possiede in ogni istante, il calore è energia che sta passando da un corpo a un altro. La temperatura è legata all'energia cinetica media delle molecole e si misura in kelvin o in gradi Celsius; il calore è il trasferimento di energia provocato da una differenza di temperatura, si misura in joule come il lavoro, e smette di esistere appena il trasferimento finisce. È la distinzione che la Treccani, HyperPhysics e OpenStax danno con parole quasi identiche, ed è anche la più maltrattata: in uno studio greco su quattro livelli scolastici, al quesito delle uova bollite messe in acqua fredda il 43,10 per cento degli universitari di fisica sceglieva ancora la frase «la temperatura si trasferisce dalle uova all'acqua» (sezioni 2 e 4).

Un corpo caldo contiene più calore di uno freddo?
No, nessun corpo contiene calore: contiene energia interna. Il calore è la strada, non il magazzino, e appena il passaggio di energia si ferma non c'è più niente da chiamare calore, mentre l'energia interna resta lì. Non è un cavillo da esame: una rassegna di didattica della fisica elenca proprio il sistema che «contiene» calore fra gli errori ricorrenti nei libri di testo scientifici (sezione 4).

Perché la lana scalda?
La lana non scalda, rallenta l'uscita del calore dal tuo corpo, e lo fa tenendo ferma l'aria. L'aria è già di suo un pessimo conduttore, 0,0264 watt per metro per kelvin a 300 kelvin e 101325 pascal secondo il NIST, ma quando si muove porta via calore molto più in fretta: nei valori illustrativi di Lienhard, che l'autore stesso avverte di non usare nei calcoli, si passa da circa 4 a circa 45 watt per metro quadro per kelvin fra aria ferma e aria a 10 metri al secondo. Le fibre servono a impedire quel movimento, e lo stesso vale per il piumino e per il doppio vetro (sezione 6).

Perché il metallo sembra più freddo del legno se sono nella stessa stanza?
Perché sono davvero alla stessa temperatura, e a cambiare è la temperatura della superficie di contatto con il tuo dito. La grandezza che decide non è la conducibilità ma l'effusività termica, cioè la radice del prodotto di conducibilità, densità e calore specifico: col nostro conto sulle tabelle di Lienhard, pelle a 33 gradi C e oggetti tutti a 20 gradi C, sotto il dito si arriva a 20,4 gradi C sul rame e a 29,5 gradi C sul legno di abete. Nello studio greco su questo quesito rispondeva correttamente il 24,50 per cento degli studenti di scuola superiore e il 60,00 per cento degli universitari di fisica (sezione 6).

Che cosa vuol dire il meno nel primo principio?
Vuol dire «uscita», e nient'altro. In deltaU = Q - L il calore Q è energia che entra nel sistema e quindi si somma, mentre L è il lavoro compiuto DAL sistema, cioè energia che il sistema ha dato via, e quindi si toglie: il meno non è una convenzione da mandare a memoria, è la parola uscita scritta in matematica. Nella variante che usano spesso i testi di chimica si chiama W il lavoro fatto SUL sistema, cioè W = -L, e allora la stessa legge si scrive deltaU = Q + W: due scritture, una sola fisica (sezione 8).

Perché il rendimento di un motore non può arrivare al 100 per cento?
Perché per arrivarci non dovrebbe cedere niente alla sorgente fredda, e questo il secondo principio lo vieta. Il limite di Carnot è 1 meno il rapporto fra la temperatura della sorgente fredda e quella della sorgente calda, con le temperature in kelvin: varrebbe 1 solo con una sorgente fredda a 0 kelvin, che non esiste. E il limite si sente: nelle medie di flotta statunitensi del 2024, ricavate da noi dagli heat rate con la regola ufficiale dell'ente, il ciclo combinato a gas sta al 45,2 per cento e il nucleare al 32,7 per cento (sezione 11).

Se una pompa di calore ha un coefficiente di prestazione maggiore di 1, sta violando la conservazione dell'energia?
No, e la dimostrazione sta in una riga: il calore che la pompa consegna in casa è Q_caldo = Q_freddo + lavoro fornito, quindi il rapporto fra Q_caldo e il lavoro fornito è per forza maggiore di 1. L'energia in più non viene dal nulla, viene dall'aria o dal terreno fuori: la macchina non la crea, la sposta. Attenzione però che quel numero non è una costante ma una curva: sulla stessa pompa aria-acqua provata secondo la norma EN 14511 il coefficiente vale 4,74 con aria esterna a 7 gradi C e 2,63 con aria esterna a -7 gradi C, sempre con acqua a 35 gradi C (sezione 10).

Che cos'è l'entropia, detta senza la parola disordine?
È una grandezza di stato che si misura in joule su kelvin e che, nel caso più semplice, si ottiene dividendo il calore scambiato per la temperatura assoluta a cui lo scambio avviene. Esempio con i numeri, conto nostro: fondere un chilo di ghiaccio a 0 gradi C richiede 334000 joule a temperatura costante, e 334000 diviso 273,15 kelvin dà 1222,8 joule su kelvin. La metafora del disordine funziona per un gas senza forze esterne e cede fuori di lì, tanto che mescolare un mazzo di carte non cambia di un joule su kelvin l'entropia delle carte: ad aumentare la propria entropia sono i muscoli di chi mescola (sezione 12).

Dove finisce l'energia che sparisce in un urto anelastico?
Non sparisce: diventa energia interna dei corpi, e si può misurare come un aumento di temperatura. Nel quesito ufficiale dei Campionati di Fisica 2024, dell'acqua che cade in un secchio e di cui il 25 per cento dell'energia cinetica persa resta nell'acqua, l'aumento di temperatura vale il quadrato della velocità diviso 8 volte 4182, cioè circa 0,003 kelvin per una velocità di arrivo di 10 metri al secondo. Piccolo da leggere sul termometro, ma non nullo: la conservazione dell'energia vale ancora esattamente (sezioni 1 e 12).

Per passare una differenza di temperatura da gradi Celsius a kelvin devo sommare 273?
No, una differenza si trasporta senza toccare il numero: 27 gradi C di differenza sono 27 kelvin di differenza. Il 273,15 sposta lo zero della scala, non cambia l'ampiezza del grado, e il NIST scrive che un intervallo di 1 grado Celsius vale esattamente 1 kelvin. È l'errore che costa più punti nelle verifiche: ai Giochi di Anacleto 2015 rispondeva correttamente a questo quesito solo il 33 per cento degli studenti italiani, e il 14 per cento non rispondeva affatto (sezione 2).

Perché l'acqua non supera i 100 gradi anche se alzo la fiamma?
Perché durante l'ebollizione tutta l'energia che entra serve a staccare le molecole dal liquido, non a scaldarlo. Alla pressione di 1 atmosfera far evaporare un chilo d'acqua già a 100 gradi C costa 2256 kilojoule, contro i circa 335 kilojoule che servono per portarla da 20 a 100 gradi C: alzare la fiamma fa solo bollire più in fretta la stessa acqua alla stessa temperatura. L'unico modo per superare i 100 gradi è alzare la pressione, ed è quello che fa la pentola a pressione, che il costruttore dichiara a circa 109 gradi C con 40 chilopascal di sovrapressione, valore che le tabelle di saturazione del NIST confermano: alla riga 1,4 bar l'acqua bolle a 109,29 gradi C (sezione 5).

Perché il frigorifero scalda la cucina invece di raffreddarla?
Perché non produce freddo, sposta calore, e lo paga con energia elettrica che finisce anch'essa in calore. Vale Q_caldo = Q_freddo + lavoro fornito: dietro l'apparecchio esce tutto il calore tolto ai cibi più tutta l'elettricità consumata dal compressore. Ordine di grandezza: il consumo medio di un apparecchio refrigerante nell'Unione europea nel 2020 era 181 chilowattora l'anno, cioè circa 21 watt medi che stanno scaldando la stanza giorno e notte. Tenere lo sportello aperto per rinfrescarsi, quindi, riscalda la cucina (sezione 10).

Quando scaldo una lastra forata, il buco si restringe?
No, il buco diventa più grande. Il materiale rimasto si dilata esattamente come farebbe se il pezzo asportato fosse ancora al suo posto, e quel pezzo, scaldandosi, sarebbe cresciuto: quindi cresce anche il foro. È il motivo per cui il coperchio metallico avvitato troppo stretto si apre dopo un getto di acqua calda (sezione 3).

Perché nessuno riesce a raggiungere lo zero assoluto?
Perché non è un limite tecnologico ma di principio, ed è il contenuto del terzo principio nella forma detta principio di irraggiungibilità: nessun processo termodinamico raggiunge lo zero assoluto in un numero finito di passi e in un tempo finito. Quanto ci si è avvicinati: 38 picokelvin, con incertezza asimmetrica di più 6 e meno 7 picokelvin, su un condensato di atomi di rubidio in caduta libera, risultato pubblicato su Physical Review Letters 127, 100401 nel 2021. È il valore più basso mai raggiunto per l'energia cinetica interna di quel sistema, non un oggetto che se ne sta lì a quella temperatura (sezione 12).

Il mio libro scrive il primo principio in un altro modo: sto sbagliando io?
Quasi certamente no, e prima di applicare la formula devi guardare come il TUO libro definisce il segno del lavoro. Le due scritture deltaU = Q - L e deltaU = Q + W dicono la stessa cosa con il lavoro contato al contrario, e la divisione non è fra fisici e chimici ma libro per libro: nei materiali che l'editore del manuale scolastico piu diffuso in Italia mette in rete per uno stesso capitolo, un riquadro scrive deltaU = Q - W e una sezione di domande e risposte usa la convenzione opposta. Fissa il segno prima, sostituisci dopo (sezioni 8 e 14).

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Errori tipici, ponte col libro di testo e ripasso (tutte le sezioni)

Questa sezione non aggiunge fisica nuova: rimette in fila quello che le tredici sezioni precedenti hanno già detto, in tre blocchi. Prima la lista degli errori smontati, ciascuno con la correzione in una riga e il numero della sezione a cui tornare. Poi il ponte col tuo libro di testo, cioè la tavola per tradurre i simboli di questa guida in quelli che trovi stampati sul manuale. Infine il ripasso, ordinato come lo trovi nel libro invece che per urgenza, e la collocazione nel percorso scolastico. Se la verifica è domani, il riquadro che ti serve è nella sezione 1: qui si ripassa, non si corre.

Gli undici errori, con la correzione in una riga

«Per passare da Celsius a kelvin si somma sempre 273.» Vale per le temperature, non per le differenze: una differenza di 27 gradi Celsius vale 27 kelvin, perché l'offset sposta lo zero e non cambia l'ampiezza del grado. Ai Giochi di Anacleto del 2015, su questo identico quesito, le risposte corrette furono il 33 per cento. Torna alla sezione 2.

«Il buco in una lastra si restringe quando la lastra si scalda.» Il materiale rimasto si dilata esattamente come farebbe se il pezzo asportato fosse ancora al suo posto: quindi il foro diventa più grande, non più piccolo. Torna alla sezione 3.

«Il corpo caldo contiene più calore.» Un corpo possiede energia interna; il calore è il trasferimento di energia causato da una differenza di temperatura, e smette di esistere appena il trasferimento finisce. Il calore è la strada, non il magazzino. Torna alla sezione 4.

Un calore specifico o un calore latente scritti senza le loro condizioni. I 2256 kJ/kg del calore latente di vaporizzazione dell'acqua valgono a 100 gradi C e 1 atmosfera; a 30 gradi C, cioè alla temperatura a cui evapora il sudore, ne valgono 2429,8. Un numero senza condizioni non è un dato, è un ricordo. Torna alle sezioni 4 e 5.

«Il metallo sembra più freddo perché conduce meglio.» È incompleto: la grandezza che decide è l'effusività termica, non la conducibilità. Fra rame e polistirolo espanso il rapporto delle conducibilità è 11371, quello delle effusività 1142: dieci volte più piccolo, ed è il secondo a comparire nella formula della temperatura di contatto. Torna alla sezione 6.

«Una mole di gas occupa 22,4 litri.» Occupa 22,414 litri a 0 gradi C e 101,325 kPa, e 22,711 litri a 0 gradi C e 100 kPa: due valori entrambi esatti, con condizioni diverse scritte nel nome stesso della grandezza. A 25 gradi C e 101,325 kPa il nostro conto con l'equazione di stato dà 24,465 litri. Torna alla sezione 7.

Il segno del lavoro mescolato fra due convenzioni. Qui si usa deltaU = Q - L, con L il lavoro compiuto DAL sistema: il meno è la parola «uscita» scritta in matematica. La variante che trovi nei testi di chimica, deltaU = Q + W, non è un'altra fisica: è la stessa, con W = -L. Torna alla sezione 8.

«Il calore molare a volume costante si usa solo nelle isocore.» La relazione deltaU = n C deltaT con il calore molare a volume costante vale per QUALUNQUE trasformazione di un gas perfetto, perché l'energia interna non sa da quale strada si è arrivati: sa solo la temperatura. Torna alla sezione 9.

Il coefficiente di prestazione chiamato «rendimento», e dichiarato «sempre maggiore di 1». Non è un rendimento, e il maggiore di 1 vale solo per la pompa di calore: siccome il calore ceduto all'ambiente caldo è la somma di quello prelevato dal freddo e del lavoro fornito, il loro rapporto supera per forza l'unità. Per il frigorifero non c'è né tetto né pavimento: un frigorifero di Carnot fra 100 K e 300 K ha coefficiente 0,5. Torna alla sezione 10.

I gradi Celsius infilati nella formula di Carnot. Le temperature vanno in kelvin: con una sorgente fredda a 0 gradi Celsius il rapporto fra le temperature darebbe zero e il rendimento uno, cioè una macchina perfetta che nessuno ha mai costruito. Torna alla sezione 11.

L'entropia trattata come una grandezza che si conserva. Nel nostro conto sul mescolamento di un chilo d'acqua a 80 gradi C con un chilo a 20 gradi C, l'acqua calda perde 371,6 joule su kelvin e la fredda ne guadagna 407,9: il totale non è zero, è più 36,2. È l'errore che la ricerca didattica trova più radicato, e la risposta sbagliata più frequente è proprio «non è cambiata». Torna alla sezione 12.

Il ponte col tuo libro di testo

Del manuale scolastico più diffuso abbiamo potuto aprire le pagine per l'insegnante e i materiali gratuiti messi in rete dall'editore, non il corpo del capitolo, che è a pagamento. Quello che segue viene da lì, e vale come traduzione dei simboli, non come citazione della prosa del libro.


E ora la cosa che rende il consiglio finale più forte di qualunque tabella. Nei materiali dell'editore per quello stesso capitolo, il riquadro in lingua inglese scrive il primo principio come la differenza fra il calore fornito e il lavoro compiuto dal sistema, cioe deltaU = Q - W; la sezione di domande e risposte scrive deltaU = Q + W. Le due formule stanno nello stesso libro e usano la stessa lettera con il segno opposto.

Quindi la regola d'oro non è «il tuo libro usa il meno». È questa: prima di applicare la formula del primo principio, guarda come il TUO libro definisce il segno del lavoro — se W è il lavoro che il sistema compie o quello che riceve. Fatto questo, la formula viene da sé; saltato questo, metà dei conti esce col segno sbagliato pur essendo la fisica giusta.

Il ripasso, ordinato come il libro

I manuali italiani spezzano la termodinamica in tre capitoli, e questa guida ci si sovrappone così.

Capitolo sulla temperatura e i gas. Termometro ed equilibrio termico (sezione 2), dilatazione termica (sezione 3), leggi dei gas, equazione di stato e teoria cinetica (sezione 7).

Capitolo sul calore e il primo principio. Calore specifico e calorimetria (sezione 4), passaggi di stato (sezione 5), conduzione, convezione e irraggiamento (sezione 6), primo principio e convenzione dei segni (sezione 8), trasformazioni nel piano pressione-volume (sezione 9).

Capitolo sul secondo principio. Macchine termiche e cicli reali (sezione 10), enunciati di Kelvin e di Clausius e limite di Carnot (sezione 11), entropia e terzo principio (sezione 12).

Nel percorso scolastico del liceo scientifico, secondo le Indicazioni nazionali, calore, temperatura, dilatazione, passaggi di stato e trasmissione stanno nel PRIMO biennio; i principi della termodinamica, le leggi dei gas e la teoria cinetica nel SECONDO biennio. La parola «entropia» nel decreto non compare mai (sezione 1): qui sta nel secondo biennio per scelta di questa guida. Il decreto non dice se cada in terza o in quarta: quello lo decide la scuola. Negli istituti tecnici del settore tecnologico, invece, il primo e il secondo principio stanno già nel primo biennio, insieme alla richiesta esplicita di usare il ciclo termodinamico per spiegare il motore a scoppio.

«Tanto la termodinamica all'esame non esce»

È l'ultima frase da manuale che salta, ed è vera solo se si legge male un documento.

Il quadro di riferimento della seconda prova del liceo scientifico non elenca la termodinamica fra i nuclei tematici fondamentali di fisica: in tutto il documento la parola «calore» compare una sola volta, dentro un obiettivo sulla conservazione dell'energia, mentre «termodinamica», «entropia» e «gas» non compaiono mai. E nelle sessioni ordinarie del 2023, 2024, 2025 e 2026 la seconda prova è stata di sola matematica, quattro anni consecutivi senza un quesito di fisica.

Solo che quel quadro di riferimento dichiara esplicitamente di NON essere il programma dell'ultimo anno. Dice che cosa può essere chiesto a quella prova, non che cosa si studia. Che la termodinamica non ci sia significa che non esce lì: non che non si faccia in classe, non che non finisca nelle verifiche, non che non possa arrivare al colloquio. E fuori dal liceo scientifico il conto cambia del tutto: una traccia ministeriale del 2018, per l'articolazione di meccanica e meccatronica degli istituti tecnici, ha chiesto per esteso struttura, fasi e funzionamento di un motore a due tempi a ciclo Otto, e come se ne possa aumentare il rendimento.

Cade infine l'idea che si possa studiare termodinamica imparando le formule e saltando le convenzioni. Riguarda la lista di questa sezione: metà degli errori che abbiamo smontato non sono errori di fisica, sono errori di segno o di unità. Kelvin scambiati per gradi Celsius, lavoro entrante contato come uscente, un calore latente usato senza la temperatura a cui vale. Sono anche i più facili da eliminare, perché bastano tre righe di controllo prima di ogni conto: le temperature sono in kelvin dove la formula lo richiede; il lavoro ha il segno che il mio libro gli dà; ogni valore che ho copiato porta con sé le condizioni in cui è stato misurato. Chi fa quei tre controlli sbaglia già la metà degli esercizi in meno.