Le derivate: teoria, tavola completa e 16 esercizi svolti

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1) Che cos'è una derivata (e a che ti serve stasera)
2) Il rapporto incrementale: la pendenza che sai già calcolare dal biennio
3) Il passaggio al limite: qui nasce la derivata
4) f′(x₀) e f′(x) non sono la stessa cosa (e le quattro notazioni, tradotte)
5) Le derivate calcolate dalla definizione: da dove viene la tavola
6) La tavola delle derivate elementari, con la colonna dei domini
7) Somma, prodotto, quoziente: tre regole e l'errore che nasce dalla prima
8) La regola della catena: la derivata interna che tutti dimenticano
9) La retta tangente (e perché la definizione che hai imparato in terza è sbagliata)
10) Continua o derivabile? I punti dove la derivata non c'è
11) Domande frequenti
12) Sedici esercizi svolti e riepilogo operativo

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Che cos'è una derivata (e a che ti serve stasera)

La derivata misura quanto velocemente una grandezza cambia rispetto a un'altra, nell'istante esatto in cui la stai guardando. Non in media, non nel giro di un'ora: adesso, in quel punto lì.

Se stasera hai poco tempo, questa frase è già metà del lavoro. Tutto il resto della guida serve a renderla precisa e a farci i conti sopra.

Due immagini, e per ora nient'altro

Il tachimetro. Se fai 120 km in due ore, la tua velocità media è 60 km/h. Ma il tachimetro non segna 60: segna quello che stai facendo in questo momento, e cambia in continuazione. La velocità media è un rapporto fra due numeri grandi (spazio totale diviso tempo totale). La velocità del tachimetro è la stessa cosa calcolata su un intervallo talmente piccolo da coincidere con un istante. Quella è una derivata.

La pendenza di una strada. Il cartello con scritto 10% ti dice che ogni 100 metri in orizzontale sali di 10 metri. Ma su una strada di montagna la pendenza cambia da punto a punto: c'è il tornante ripido e il tratto quasi piano. Se vuoi sapere quanto è ripida in quel punto preciso, e non in media su tutto il tratto, ti serve una derivata.

Sono due immagini della stessa idea, ed è per questo che nella pratica useremo indifferentemente le parole "velocità di variazione" e "pendenza".

Tre domande che senza derivata restano senza risposta

• Quanto vado veloce in questo istante? La velocità media fra due istanti si calcola con la divisione. La velocità ora no.
• Quanto è ripida la curva in quel punto? La pendenza fra due punti del grafico si calcola con la formula della retta per due punti. La pendenza in un solo punto no.
• Quanto cresce il costo se aumento la produzione? Il costo medio per pezzo si ottiene dividendo, e la spesa del pezzo successivo con una sottrazione. La velocità con cui il costo sta crescendo nel punto in cui ti trovi, no.

Tutte e tre le domande hanno la stessa struttura: sai calcolare una media su un intervallo, e vuoi il valore in un punto. La derivata è lo strumento che fa quel salto.

La cosa che cambia atteggiamento

Ecco l'avvertenza che conviene mettersi in testa subito, perché spiega perché le derivate sembrano più difficili di tutto quello che hai fatto finora.

Quasi tutti gli oggetti matematici che hai incontrato finora erano statici e si ottenevano con un'operazione algebrica: una somma la fai, un'equazione la risolvi, un logaritmo lo calcoli. La derivata no. La derivata è definita da un processo di avvicinamento: non si calcola in un passo, si ottiene guardando dove va a finire una successione di numeri. È lo stesso meccanismo dei limiti, che hai visto poco prima di lei; la differenza è che lì l'avvicinamento serviva a definire un numero, qui diventa il modo di rispondere a una domanda.

Questo ha una conseguenza pratica immediata: le formule della tavola delle derivate sono il risultato di quel processo, non la sua definizione. Chi impara solo la tavola se la cava finché l'esercizio dice "deriva questa funzione", e crolla il giorno in cui dice "stabilisci se è derivabile in x₀". Non è sfortuna: sono due domande diverse, e la seconda richiede la definizione.

L'unità di misura, detta subito

La derivata di y rispetto a x si misura in unità di y diviso unità di x. Non è un dettaglio da paragrafo finale: è il modo più rapido per capire che f′(x) non è un numero puro e che dietro c'è sempre un rapporto fra due variazioni.


Una precisazione sulla penultima riga, perché il nome sbagliato costa punti anche in scienze: dP/dt in abitanti/anno è la velocità di crescita, cioè l'incremento assoluto. Il tasso di crescita in senso demografico è un'altra cosa, è relativo — (dP/dt) diviso P — e si misura in percentuale all'anno.

Se non sai dire "derivata di che cosa rispetto a che cosa", non hai ancora inquadrato il problema. È la domanda da farsi prima di scrivere qualunque formula.

Il numero che si vede arrivare

Un sasso che cade percorre, in modo semplificato, s(t) = 5t² metri dopo t secondi. Quanto va veloce esattamente a t = 2 s? Calcoliamo la velocità media su intervalli sempre più corti che partono da t = 2.

s(t) = 5t²            s(2) = 5 · 4 = 20 m

fra t = 2 e t = 3        (45 − 20) / 1          = 25      m/s
fra t = 2 e t = 2,5      (31,25 − 20) / 0,5     = 22,5    m/s
fra t = 2 e t = 2,1      (22,05 − 20) / 0,1     = 20,5    m/s
fra t = 2 e t = 2,01     (20,2005 − 20) / 0,01  = 20,05   m/s
fra t = 2 e t = 2,001    (20,020005 − 20) / 0,001 = 20,005 m/s

25, poi 22,5, poi 20,5, poi 20,05, poi 20,005. I numeri si stringono su un valore, e si vede a occhio quale: 20 m/s. Cinque divisioni non bastano a dimostrare che il valore è esattamente 20 e non solo circa — quello lo faremo con le lettere nella sezione 2 e con il limite nella sezione 3 — ma bastano a farlo vedere, e la parola "limite" non ci è ancora servita.

Secondo esempio, senza fisica. Un'azienda che produce 100 pezzi spende 4 000 euro; per 101 pezzi ne spende 4 012. Il pezzo in più è costato 12 euro. Attenzione a che cos'è quel 12: è il rapporto incrementale con h = 1 pezzo, cioè una variazione su un intervallo, e approssima la derivata C′(100), che è il costo marginale vero. In economia si tiene buona l'approssimazione perché i pezzi non si producono a frazioni e perché con quantità grandi la differenza è invisibile. L'unità di misura è comunque quella di una derivata: euro/pezzo, cioè costo diviso quantità.

Quello che nessuno ti dice

Qui l'unità di misura sta nella prima schermata, e non in fondo fra le applicazioni alla fisica. È una scelta, e il motivo è questo: detta subito, fa capire in dieci secondi che f′(x) è un rapporto e non un numero qualsiasi, e rende naturale tutto il resto. Detta alla fine, arriva quando ormai hai già memorizzato che la derivata è "un'altra formula".

Come è fatta questa guida

Quattro blocchi. Capire (sezioni 2, 3 e 4): da dove viene la definizione e che cosa significa. Calcolare (sezioni 5, 6, 7 e 8): la tavola, da dove nasce, e le regole. Usare (sezione 9): la retta tangente e le approssimazioni. I casi che fanno perdere punti in verifica (sezione 10): continuità, derivabilità, punti angolosi e cuspidi. Poi le domande frequenti (sezione 11) e sedici esercizi svolti (sezione 12).

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Il rapporto incrementale: la pendenza che sai già calcolare dal biennio

Partiamo da una cosa che sai fare da due anni. Dati due punti P = (x_P, y_P) e Q = (x_Q, y_Q), il coefficiente angolare della retta che li unisce è

m = (y_Q − y_P) / (x_Q − x_P)

È la formula della retta nel piano cartesiano, geometria analitica del primo biennio. Ora prendiamo due punti sul grafico di una funzione: P = (x₀, f(x₀)) e Q = (x₀ + h, f(x₀ + h)), dove h è di quanto ci siamo spostati in orizzontale. Sostituiamo nella formula:

m = [f(x₀ + h) − f(x₀)] / [(x₀ + h) − x₀] = [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h

Questo è il rapporto incrementale. Non è un oggetto nuovo: è la formula del coefficiente angolare che conosci, scritta con f al posto delle coordinate.

I nomi delle tre quantità

• h = x − x₀ è l'incremento della variabile, cioè di quanto ti muovi in orizzontale. Si scrive anche Δx.
• Δy = f(x₀ + h) − f(x₀) è l'incremento della funzione, cioè di quanto la funzione è salita o scesa.
• R(h) = Δy / h è il rapporto incrementale.

Le due scritture che trovi in giro sono la stessa cosa

Questo è il punto che sblocca metà degli studenti. In giro si trovano due formule:

forma "con h":   R = [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h
forma "con x":   R = [f(x) − f(x₀)] / (x − x₀)

Non sono due definizioni in concorrenza e non ne hai studiata una sbagliata. Si passa dall'una all'altra con la sostituzione h = x − x₀, e quindi far tendere h a 0 è la stessa cosa che far tendere x a x₀. Punto.

Le si usa in situazioni diverse per pura comodità: la forma con h conviene quando devi sviluppare i conti algebrici (sviluppi il binomio e semplifichi), la forma con x conviene quando ragioni su funzioni definite a tratti e su limiti laterali, perché lì "x che arriva da destra" è più naturale da immaginare.

Un esempio con i numeri veri

Prendiamo f(x) = x² e il punto x₀ = 1, cioè P = (1, 1).


Da destra i valori scendono verso 2 (3; 2,5; 2,1; 2,01; 2,001), da sinistra salgono verso 2 (1,99; 1,999). Quel 2 sarà f′(1).

Ogni riga di quella tabella è la pendenza di una retta che taglia la parabola in due punti: prima in (1,1) e (2,4), poi in (1,1) e (1,5; 2,25), e così via. Rette diverse, pendenze diverse, ma sempre la stessa formula del biennio.

Lo stesso conto, fatto con le lettere

Riprendiamo il sasso della sezione 1, s(t) = 5t², in t₀ = 2. Invece di rifare cinque divisioni, facciamo il conto una volta sola con la lettera h:

s(2 + h) = 5(2 + h)² = 5(4 + 4h + h²) = 20 + 20h + 5h²
s(2)     = 20

R(h) = (20 + 20h + 5h² − 20) / h = (20h + 5h²) / h = 20 + 5h

R(h) = 20 + 5h spiega tutta la tabella di prima: per h = 1 dà 25, per h = 0,5 dà 22,5, per h = 0,1 dà 20,5, per h = 0,001 dà 20,005. E si legge a occhio che per h piccolissimo il valore è 20 più un pelo.

Il rapporto incrementale può essere negativo

Non tutte le funzioni salgono. Prendiamo f(x) = 1/x in x₀ = 2:

R(h) = [1/(2 + h) − 1/2] / h = [(2 − 2 − h) / (2(2 + h))] / h = −1 / (2(2 + h))

h =  0,1   →  −1 / 4,2  = −0,238095…
h =  0,01  →  −1 / 4,02 = −0,248756…
h = −0,01  →  −1 / 3,98 = −0,251256…
h = −0,1   →  −1 / 3,8  = −0,263158…

I numeri si stringono su −0,25. Il segno meno dice che la funzione sta scendendo: le secanti sono tutte in discesa.

Il punto che rende necessaria la sezione 3

Guarda la formula R(h) = Δy / h. Per h = 0 non è definita: darebbe 0/0, cioè niente. R vive in un intorno bucato di zero (tutti i valori vicini a 0, tranne 0 stesso): puoi calcolarla per h piccolo quanto vuoi, ma mai per h uguale a zero.

Ed è esattamente il valore in h = 0 che ci interessa, perché è quello in cui Q coincide con P e la pendenza diventa quella "nel punto". Il valore che ci serve è l'unico che non possiamo calcolare direttamente. Da qui nasce tutto il resto.

Quello che nessuno ti dice

Che le due scritture sono la stessa cosa con h = x − x₀ sono due righe, e qui le trovi scritte. Molte pagine danno una sola delle due forme senza dire niente dell'altra: chi le incontra su fonti diverse trova la forma con h sul libro e la forma con x su un sito, e passa mezz'ora a chiedersi quale sia "quella giusta". Nessuna delle due: sono la stessa.

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Il passaggio al limite: qui nasce la derivata

Se i limiti li hai visti tre settimane fa e non li hai digeriti, sei nella situazione normale. Ci sono tre modi di raccontare il passaggio al limite, e per capire le derivate ti basta il primo.

Modo 1: la tabella che si stringe

L'hai già fatto nella sezione 2. Hai calcolato R(h) per h = 1, 0,5, 0,1, 0,01, 0,001, hai visto i numeri stringersi su 2, e hai concluso che il valore "nel punto" è 2. La parola limite è il nome formale di quella osservazione: per calcolare le derivate ti basta questo. Renderla rigorosa, però, non è stata una formalità, e il perché lo vedi nel box su Berkeley qui sotto.

È anche l'ordine giusto per impararlo: prima si vedono i numeri stringersi, poi si dà un nome rigoroso a quello che si è visto. Storicamente il calcolo funzionò per un secolo e mezzo con metodi algebrici — l'adeguaglianza di Fermat, le flussioni di Newton, i differenziali di Leibniz, non tabelle di numeri — prima che Cauchy dicesse in modo rigoroso che cosa fossero.

Modo 2: la secante che ruota

Tieni fermo P e fai scivolare Q sulla curva verso P. La retta PQ ruota, e mano a mano che Q si avvicina si avvicina a una posizione limite. Quella posizione limite è la retta tangente, e la sua pendenza è la derivata — a patto che quella retta non sia verticale. Il caso verticale esiste, ed è quello in cui la tangente c'è ma la derivata no: lo vediamo nella sezione 10.

Attenzione a come lo dici: si dice "posizione limite", non "la retta quando P e Q coincidono". Due punti coincidenti non individuano nessuna retta — per due punti sovrapposti ne passano infinite. È esattamente lì che si annida il paradosso 0/0.

Modo 3: il microscopio

Prendi il grafico di una funzione derivabile e zooma su un punto. Poi zooma ancora. Poi ancora. Il grafico diventa sempre più dritto, finché è indistinguibile da una retta. La derivata è la pendenza di quella retta.

Questa immagine è la più utile di tutte, perché rende ovvia in anticipo la sezione 10: la funzione valore assoluto in 0 ha uno spigolo, e per quanto tu zoomi, lo spigolo resta uno spigolo. Non diventa mai una retta. Ecco perché lì la derivata non esiste.

La definizione

Ora la si può scrivere. Sia f definita in un intorno di x₀. Si dice che f è derivabile in x₀ se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale:

f′(x₀) = lim (h→0) [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h

e in tal caso quel numero si chiama derivata di f in x₀. Nella forma con x è la stessa cosa scritta diversamente:

f′(x₀) = lim (x→x₀) [f(x) − f(x₀)] / (x − x₀)

Smontiamo la clausola "se esiste ed è finito"

Quella clausola viene copiata spesso e commentata di rado, ma contiene tre richieste distinte. Impararle qui significa arrivare alla classificazione della sezione 10 sapendo già da dove viene ogni riga.


Tre condizioni, tre modi di violarle, quattro tipi di punto: è il terzo caso che si sdoppia. Se le derivate laterali sono infinite e concordi hai un flesso a tangente verticale, se sono infinite e discordi hai una cuspide. Non c'è altro da imparare.

Il terzo significato, quello che di solito fa scattare la comprensione

Detto senza simboli: f è derivabile in x₀ se lì vicino la funzione si può sostituire con una retta sbagliando pochissimo. Non "poco": pochissimo, nel senso preciso che l'errore diventa trascurabile perfino rispetto allo spostamento h che stai facendo.

Questa formulazione tiene insieme tutto: il microscopio (zoomando vedi una retta), la tangente (è quella retta), e la non derivabilità dello spigolo (nessuna retta assomiglia a uno spigolo, per quanto tu zoomi).

Un esempio svolto per intero

f(x) = 3x² − 5x + 2, calcoliamo f′(1) dalla definizione.

f(1)     = 3 − 5 + 2 = 0
f(1 + h) = 3(1 + h)² − 5(1 + h) + 2
         = 3(1 + 2h + h²) − 5 − 5h + 2
         = 3 + 6h + 3h² − 5 − 5h + 2
         = h + 3h²

R(h) = [f(1 + h) − f(1)] / h = (h + 3h²) / h = 1 + 3h

controllo numerico:   h = 0,1   → 1,3
                      h = 0,01  → 1,03
                      h = 0,001 → 1,003

f′(1) = lim (h→0) (1 + 3h) = 1

Controllo con la tavola che vedremo nella sezione 6: f′(x) = 6x − 5, quindi f′(1) = 6 − 5 = 1. Coincide.

Un secondo esempio, con la derivata negativa, perché non ti resti in testa che le derivate siano sempre positive. f(x) = 4 − x² in x₀ = 1:

f(1)     = 3
f(1 + h) = 4 − (1 + h)² = 4 − 1 − 2h − h² = 3 − 2h − h²

R(h) = (3 − 2h − h² − 3) / h = (−2h − h²) / h = −2 − h

f′(1) = −2

La funzione in x = 1 sta scendendo, e infatti la derivata è negativa.

Un box di storia che vale la pena leggere

Nel 1734 il filosofo e vescovo George Berkeley pubblicò The Analyst, un attacco al calcolo di Newton e Leibniz centrato su una sola domanda: quell'h è zero oppure no? Se è zero, dividere per h è vietato. Se non è zero, i risultati sono approssimati e non esatti. Berkeley chiamò quelle quantità "fantasmi di grandezze defunte", e non aveva torto: la risposta seria arrivò solo con Cauchy nel 1823, che definì la derivata come limite del rapporto incrementale — quasi un secolo dopo.

Morale: se il passaggio al limite ti sembra sottile, non è che sei tardo. È sottile, e da Berkeley a Cauchy sono passati 89 anni.

Quello che nessuno ti dice

Che "se esiste finito" sono tre richieste separate e che l'intera classificazione dei punti di non derivabilità è soltanto l'elenco dei modi di violarle. Smontata qui, la sezione 10 smette di essere un elenco da mandare a memoria e diventa una conseguenza.

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f′(x₀) e f′(x) non sono la stessa cosa (e le quattro notazioni, tradotte)

Un numero e una funzione

• f′(x₀) è un numero. È la derivata di f nel punto x₀. Se f(x) = x², allora f′(3) = 6. Sei. Il numero sei.
• f′ è una funzione. È la funzione che a ogni x associa il numero f′(x). Se f(x) = x², allora f′ è la funzione che manda x in 2x.

Sembra pignoleria e non lo è, per una ragione precisa: il dominio di f′ può essere più piccolo del dominio di f. È questo che rende sensata la domanda "in quali punti f è derivabile?", che altrimenti sarebbe retorica.


Guarda la riga di √x: la funzione esiste in 0 e vale 0, ma la sua derivata in 0 non esiste (il rapporto incrementale da destra tende a +∞). Il dominio della funzione derivata è una richiesta che ricorre negli studi di funzione, in verifica come all'esame, e si perde facilmente perché la si scambia per il dominio di f.

Le quattro notazioni, e perché sono quattro

Nei libri e in rete trovi la derivata scritta in quattro modi diversi. Non sono in competizione e non ce n'è una giusta: ognuna mette a fuoco un aspetto diverso dello stesso oggetto, ed è per questo che ogni disciplina usa la sua.


Sono lo stesso numero scritto in quattro modi. Per f(x) = x² in x = 2:

f′(2) = (dy/dx) calcolata in x = 2 = D[x²] calcolata in x = 2 = 4

e se la variabile fosse il tempo, anche ẏ(2) = 4.

Regola pratica: se in un esercizio trovi una notazione che il tuo libro non usa, non è un argomento nuovo. È lo stesso argomento scritto da qualcun altro.

Il caso dy/dx, che merita un paragrafo a parte

È il punto in cui matematica e fisica sembrano contraddirsi, e vale la pena scioglierlo perché ti accompagnerà fino all'università.

dy/dx non è una frazione. È un simbolo unico che denota un limite, e i "pezzi" dy e dx non sono numeri che puoi separare a piacere.

Però si comporta come una frazione, e non per caso o per magia. Si comporta così per due motivi concreti:

1) la regola della catena, che vedremo nella sezione 8, dice dy/dx = (dy/du) · (du/dx). Formalmente i du "si semplificano", e il risultato è vero — ma è vero perché c'è un teorema dietro, non perché sia ovvio;
2) il differenziale: fissato x e scelto un incremento dx (una variabile ordinaria, non un fantasma), si definisce dy = f′(x) · dx. Con questa definizione dy e dx sono due quantità perfettamente definite e dy/dx torna a essere un rapporto autentico, che vale f′(x).

Ecco perché in fisica si "spezza" dy/dx tutti i giorni — da dv/dt = −kv si passa tranquillamente a dv/v = −k dt — mentre in matematica ti dicono di non farlo. Non è una contraddizione: è una manipolazione che ha una giustificazione, e la giustificazione è il differenziale. Va spiegata, non vietata.

Da dove viene la parola "derivata"

Dal capitolo II della Théorie des fonctions analytiques di Lagrange (1797), intitolato Fonctions dérivées: funzioni derivate, cioè ricavate, fatte discendere da un'altra. In italiano è rimasto l'aggettivo sostantivato al femminile, con la parola "funzione" sottintesa: "la (funzione) derivata". Non è un termine tecnico arbitrario, dice esattamente quello che l'oggetto è.

Quello che nessuno ti dice

La colonna "che cosa mette a fuoco". Elencare le quattro notazioni come curiosità storica — chi le ha inventate e quando — lascia senza risposta la domanda vera: perché ne devo conoscere quattro, e quale devo usare io. Qui trovi anche la spiegazione onesta del perché in fisica dy/dx si spezza, invece del solo divieto.

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Le derivate calcolate dalla definizione: da dove viene la tavola

Prima di ricevere la tavola già fatta conviene vedere almeno una volta come nasce ogni riga. Non è devozione al rigore: è che alla verifica sulla derivabilità la tavola non serve e serve la definizione, e chi non l'ha mai usata resta a mani vuote.

In ogni conto che segue il punto interessante è sempre lo stesso: il rapporto incrementale si presenta nella forma 0/0, e serve un trucco algebrico che permetta di semplificare la h a denominatore.

Potenze: sviluppo del binomio

f(x) = x²
[(x + h)² − x²] / h = (x² + 2xh + h² − x²) / h = (2xh + h²) / h = 2x + h  →  2x

f(x) = x³
[(x + h)³ − x³] / h = (3x²h + 3xh² + h³) / h = 3x² + 3xh + h²  →  3x²

Il meccanismo si vede: sviluppando (x + h)ⁿ con il binomio di Newton, il primo termine è xⁿ e si cancella, il secondo è n·x^(n−1)·h e dopo la divisione per h resta pulito, tutti gli altri contengono h² o potenze superiori e svaniscono. Risultato: D[xⁿ] = n·x^(n−1), e questa dimostrazione vale su tutto ℝ, anche per x negativo.

Reciproco: minimo comune denominatore

f(x) = 1/x
[1/(x + h) − 1/x] / h = [(x − x − h) / (x(x + h))] / h
                      = [−h / (x(x + h))] / h
                      = −1 / (x(x + h))  →  −1/x²

Radice quadrata: razionalizzazione

È la dimostrazione più elegante del capitolo e la rifai da solo in trenta secondi. Si moltiplica e si divide per (√(x + h) + √x):

[√(x + h) − √x] / h
  = [√(x + h) − √x] · [√(x + h) + √x] / (h · [√(x + h) + √x])
  = [(x + h) − x] / (h · [√(x + h) + √x])
  = h / (h · [√(x + h) + √x])
  = 1 / [√(x + h) + √x]
  →  1 / (2√x)

Da qui si legge immediatamente perché in x = 0 la faccenda salta: il denominatore 2√x tende a zero e il rapporto a +∞. La funzione √x esiste in 0, la sua derivata no.

Seno e coseno: formule di addizione più due limiti notevoli

Servono le formule di addizione, sin(x + h) = sin x · cos h + cos x · sin h:

[sin(x + h) − sin x] / h = [sin x · cos h + cos x · sin h − sin x] / h
                         = sin x · (cos h − 1)/h + cos x · (sin h)/h
                         →  sin x · 0 + cos x · 1 = cos x

perché (sin h)/h → 1 e (cos h − 1)/h → 0.

Per il coseno conviene farlo per esteso, perché è lì che nasce il segno meno che quasi tutti perdono. Serve l'altra formula di addizione, cos(x + h) = cos x · cos h − sin x · sin h:

[cos(x + h) − cos x] / h = [cos x · cos h − sin x · sin h − cos x] / h
                         = cos x · (cos h − 1)/h  −  sin x · (sin h)/h
                         →  cos x · 0 − sin x · 1 = −sin x

Il meno non è una convenzione da ricordare: è il meno che sta già dentro la formula di addizione del coseno.

Esponenziale: si raccoglie eˣ

[e^(x+h) − eˣ] / h = eˣ · (e^h − 1) / h  →  eˣ · 1 = eˣ

Una riga. Ed è il motivo profondo per cui e è "la" base naturale: e è l'unico numero per cui quel limite vale esattamente 1. Con un'altra base compare un fattore ln a che non se ne va.

Logaritmo: proprietà dei logaritmi e sostituzione

[ln(x + h) − ln x] / h = (1/h) · ln[(x + h)/x] = (1/h) · ln(1 + h/x)

pongo t = h/x, quindi h = x·t e t → 0 quando h → 0:

  = 1/(x·t) · ln(1 + t) = (1/x) · [ln(1 + t)/t]  →  (1/x) · 1 = 1/x

La radice comune: sono sei limiti, non venti formule

La tavola intera non è un elenco da memorizzare a caso. È generata da sei limiti notevoli, e tutto il resto si ottiene applicandoci sopra le regole delle sezioni 7 e 8. I sei limiti li diamo qui per acquisiti: si dimostrano nel capitolo sui limiti, e se ti sono rimasti indietro è quello il posto dove tornare.


Sei radici da riconoscere, invece di venti formule scollegate. Le ultime due righe non le abbiamo svolte qui: D[a^x] si ricava riscrivendo a^x = e^(x·ln a) e applicando la regola della catena della sezione 8, D[x^α] con lo stesso trucco su x^α = e^(α·ln x).

Controlli numerici

Ogni risultato si può verificare con la calcolatrice, calcolando il rapporto incrementale con h piccolo e confrontandolo con la formula. Questi sono i valori esatti:

Uno da rifare a mano adesso

f(x) = 2x² + 3x, calcola f′(2) dalla definizione. Fermati qui e fallo davvero: lo svolgimento è nel blocco qui sotto, e serve a poco leggerlo prima di averci provato.

f(2)     = 8 + 6 = 14
f(2 + h) = 2(2 + h)² + 3(2 + h) = 2(4 + 4h + h²) + 6 + 3h
         = 8 + 8h + 2h² + 6 + 3h = 14 + 11h + 2h²

R(h) = (14 + 11h + 2h² − 14) / h = (11h + 2h²) / h = 11 + 2h

f′(2) = 11

Controllo con la tavola: f′(x) = 4x + 3, e 4·2 + 3 = 11. Coincide.

Quello che nessuno ti dice

Che la tavola è generata da sei limiti notevoli e basta. Qui il calcolo dalla definizione è svolto per tutte le righe di base, non per una o due, e poi si vede la catena completa: razionalizzazione per la radice, formule di addizione per seno e coseno, limiti notevoli per esponenziale e logaritmo. Serve a questo: una tavola di cui sai da dove viene ogni riga è molto più difficile da dimenticare di una tavola ricevuta come dato di fatto.

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La tavola delle derivate elementari, con la colonna dei domini

Qui c'è la tavola completa. La colonna che nelle tavole nude non c'è, e che vale punti in verifica, è la terza: dove quella formula è valida.

Potenze e radici

Due righe da guardare bene. D[xⁿ] con n intero positivo vale su tutto ℝ, negativi compresi, perché la si dimostra col binomio di Newton e non serve alcuna condizione. La riga di x^α con α reale è scritta per x > 0, perché è lì che x^α è definita per ogni α reale: è la condizione prudente che copre tutti i casi in un colpo solo. Non vuol dire che fuori non ci sia niente. Se α è una frazione con denominatore dispari — 1/3, 2/3, 4/3 — la funzione si estende anche a x < 0, e lì la formula regge: sono le righe di ⁿ√x e ∛x qui sopra, e infatti D[∛(x²)] = 2/(3·∛x) funziona benissimo in x = −2, dove vale −0,529133684. E D[√x] esiste solo per x > 0, anche se √x è definita anche in 0.

Goniometriche

Le due scritture della derivata della tangente sono la stessa cosa, per l'identità fondamentale: in x = 0,7 danno entrambe 1,70944971586.

Esponenziali e logaritmi

La riga D[ln∣x∣] = 1/x per x ≠ 0 è quella che molti formulari omettono, e qui c'è perché serve in metà degli integrali e in tutti gli studi di funzione con logaritmi il cui argomento cambia segno. Controllo numerico: in x = −2,3 la formula dà 1/(−2,3) = −0,434782608696, e il rapporto incrementale conferma. La formula vale anche a sinistra dello zero.

Se vuoi ripassare le proprietà che stanno dietro a queste righe, sono nella guida su logaritmi ed esponenziali.

Inverse delle goniometriche (e le iperboliche, fuori programma)

Arcoseno e arcocoseno hanno la stessa derivata col segno opposto: in x = 0,4 valgono 1,09108945118 e −1,09108945118. Non è un caso, è che arcsin x + arccos x è costante e vale π/2, e la derivata di una costante è zero. (Nella sezione 8 le ricaviamo tutte e due da capo con la regola della funzione inversa, che è il modo per non doverne ricordare il segno.)

Le ultime tre righe — seno, coseno e tangente iperbolici — sono qui solo per completezza: di norma al liceo non si fanno, non le usiamo da nessuna parte in questa guida e non c'è niente da ricavare. Se il tuo insegnante non le ha nominate, saltale.

Il controllo da cinque secondi

Le due formule che si sbagliano più spesso sono quelle con ln a. Il controllo è questo: poni a = e, e devi ritrovare le formule base.


Come vedi, il controllo con a = e non smaschera l'inversione: tornano anche le versioni sbagliate. Serve a ricordare la struttura, non a scoprire l'errore. Per scoprirlo devi rifarlo con un'altra base, per esempio a = 3: D[3^x] deve crescere rispetto a 3^x (ln 3 = 1,10 > 1, quindi si moltiplica), mentre D[log₁₀ x] deve venire più piccola di 1/x (si divide per 2,30).

Ma la regola da portarsi dietro è quella sul fattore, non sulla grandezza: nell'esponenziale il ln a moltiplica, nel logaritmo il ln a divide. Se ragioni su "più grande" o "più piccolo" devi guardare anche la base, perché ln a supera 1 solo quando a supera e = 2,718: con a = 2 il ln vale 0,693, e allora D[log₂ x] viene più grande di 1/x e D[2^x] più piccola di 2^x, senza che nessuno abbia sbagliato niente.

Verifica numerica, tenendo la base costante fra regola ed esempio: D[3^x] in x = 1,1 vale 3,67855990398, che è 3^1,1 · ln 3 (moltiplicato, e maggiore di 3^1,1 perché ln 3 > 1). D[log₁₀ x] in x = 3 vale 1/(3 · ln 10) = 0,144764827301, che è più piccolo di 1/3 = 0,333333333333 (diviso, e minore perché ln 10 > 1). Con base 2, invece, D[log₂ x] in x = 3 vale 0,480898346963, che è maggiore di 1/3: la formula è la stessa, cambia solo che ln 2 è minore di 1.

Le costanti travestite

Questo errore lo fanno tutti almeno una volta: vedi un simbolo di funzione e derivi per riflesso condizionato. Ma se dentro non c'è la x, quello è un numero.


Quindi D[3x² + ln 5] = 6x, e basta.

Altri controlli numerici della tavola

Quello che nessuno ti dice

Due cose insieme: la colonna dei domini accanto a ogni formula, e la riga D[ln∣x∣] = 1/x, che molti formulari omettono. Davanti a una tavola di formule nude si scrive tranquillamente D[√x] in x = 0 senza che niente lo impedisca; con la colonna accanto, no.

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Somma, prodotto, quoziente: tre regole e l'errore che nasce dalla prima

Linearità: la somma, che è l'eccezione

Se f e g sono derivabili, allora

D[f + g] = f′ + g′ e più in generale D[α·f + β·g] = α·f′ + β·g′

con α e β costanti. La dimostrazione è di due righe e usa solo che il limite di una somma è la somma dei limiti:

[(f + g)(x + h) − (f + g)(x)] / h
   = [f(x + h) − f(x)] / h  +  [g(x + h) − g(x)] / h
   →  f′(x) + g′(x)

Esempio: D[3x⁵ − 7x² + 4x − 9] = 15x⁴ − 14x + 4. Il −9 sparisce, perché è una costante.

La diagnosi: da dove nasce l'errore del prodotto

Quasi nessuno sbaglia la somma, ed è proprio questo il problema. Hai appena imparato due cose — che la derivata "entra dentro" la somma e che le costanti moltiplicative escono — e il cervello ne ricava una regola implicita ragionevolissima: derivare vuol dire derivare pezzo per pezzo.

Il prodotto è il primo caso in cui quella regola implicita crolla, e crolla senza preavviso. Non è distrazione: è una generalizzazione sensata che si rivela falsa. Per questo la somma va imparata come eccezione, non come regola.

Il controesempio da dieci secondi

Prendi f(x) = x e g(x) = x. Allora f·g = x², la cui derivata è 2x. Ma f′·g′ = 1 · 1 = 1.

2x = 1 solo per x = 1/2. Per ogni altro valore i due numeri sono diversi: in x = 3 la derivata vera vale 6, la "regola" sbagliata dà 1. Non sono nemmeno lontanamente la stessa cosa.

La regola del prodotto, e perché è fatta così

Se f e g sono derivabili in x, allora f·g è derivabile in x e

D[f · g] = f′ · g + f · g′

A voce: derivata della prima per la seconda, più la prima per la derivata della seconda.

L'immagine del rettangolo. Immagina un rettangolo con base f e altezza g, entrambe che crescono nel tempo. L'area è f·g. Dopo un istante la base è cresciuta un po' e l'altezza pure: l'area guadagna una striscia verticale (larga quanto la crescita della base, alta g) e una striscia orizzontale (alta quanto la crescita dell'altezza, larga f), più un rettangolino d'angolo minuscolo che è trascurabile perché è "piccolo per piccolo". I due contributi si sommano, ed ecco f′g + fg′.

La dimostrazione, con il trucco somma-e-sottrai:

[f(x+h)g(x+h) − f(x)g(x)] / h

  aggiungo e tolgo f(x)·g(x+h):

= [f(x+h)g(x+h) − f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h) − f(x)g(x)] / h

= {[f(x+h) − f(x)] / h} · g(x+h)  +  f(x) · {[g(x+h) − g(x)] / h}

→ f′(x)·g(x) + f(x)·g′(x)

C'è un passaggio da segnalare, perché è il primo punto in cui il teorema "derivabile implica continua" non è una premessa da recitare ma serve a chiudere un conto. Nel primo pezzo compare g(x+h), non g(x). Per concludere serve che g(x+h) → g(x), cioè che g sia continua in x. E la si ha gratis, perché g è derivabile per ipotesi e le funzioni derivabili sono continue (lo dimostreremo nella sezione 10).

Lo stesso passaggio torna nella dimostrazione del quoziente e in quella della regola della catena: ogni volta che nel conto compare un valore della funzione calcolato in x+h, per farlo tornare a x serve la continuità. E fuori dalle dimostrazioni il teorema lavora tutti i giorni nella forma contronominale, come filtro davanti alle funzioni definite a tratti: è il passo 2 della procedura della sezione 10.

Esempi:

D[x² · eˣ] = 2x·eˣ + x²·eˣ = x·eˣ·(x + 2)        in x = 1:  3e = 8,15484548538
D[x · sin x] = sin x + x·cos x                   in x = 1,2: 1,36686839134
D[x³ · ln x] = 3x²·ln x + x³·(1/x) = x²·(3·ln x + 1)
D[√x · ln x] = (ln x)/(2√x) + √x/x = (ln x + 2)/(2√x)

Tre o più fattori

Si deriva un fattore alla volta tenendo fermi gli altri, e si sommano tutti i pezzi:

D[f · g · k] = f′·g·k + f·g′·k + f·g·k′

D[eˣ · sin x · ln x] = eˣ·sin x·ln x + eˣ·cos x·ln x + eˣ·sin x·(1/x)
                     = eˣ · (sin x·ln x + cos x·ln x + sin x / x)

in x = 2:  5,88519590463

Il conteggio va fatto sulla riga grezza, prima di raccogliere: lì gli addendi devono essere tanti quanti i fattori, e se sono di meno ne hai persi per strada. Dopo aver raccolto il conteggio non vale più, e infatti negli esempi qui sopra due o tre addendi diventano un prodotto solo.

La regola del quoziente

Se f e g sono derivabili in x e g(x) ≠ 0, allora

D[f / g] = (f′·g − f·g′) / g²

A parole, e conviene impararla proprio così: sotto, il quadrato del denominatore; sopra, derivata del numeratore per il denominatore, meno numeratore per derivata del denominatore.

Due avvertenze. Primo: nel prodotto l'ordine dei due addendi non conta, nel quoziente conta, perché c'è il meno. Se li inverti ottieni il risultato col segno sbagliato, e un segno sbagliato non si vede rileggendo. Secondo: la formula vale dove g(x) ≠ 0.

D[(x² + 1) / (x − 2)] = [2x·(x − 2) − (x² + 1)·1] / (x − 2)²
                      = (2x² − 4x − x² − 1) / (x − 2)²
                      = (x² − 4x − 1) / (x − 2)²

in x = 0:  (0 − 0 − 1) / 4 = −1/4 = −0,25

Tangente e cotangente non sono formule nuove

Escono dal quoziente in tre passaggi:

D[tan x] = D[sin x / cos x]
         = [cos x · cos x − sin x · (−sin x)] / cos²x
         = (cos²x + sin²x) / cos²x
         = 1 / cos²x

Stessa cosa per la cotangente, con il risultato −1/sin²x. Due righe della tavola in meno da memorizzare.

Quello che nessuno ti dice

Che l'errore sul prodotto nasce dal successo della somma, e va quindi anticipato invece che corretto dopo. E che nella dimostrazione del prodotto si usa la continuità di g: è il punto in cui ti accorgi che il teorema "derivabile implica continua" non è un ornamento da recitare a inizio capitolo, ma un pezzo di macchina. Lo stesso pezzo che nella sezione 10 diventa il filtro con cui liquidi in una riga metà degli esercizi sulle funzioni a tratti.

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La regola della catena: la derivata interna che tutti dimenticano

Prima cosa: riconoscere la buccia e il ripieno

Una funzione composta è una funzione dentro un'altra. Chiamiamo buccia quella esterna e ripieno quella interna. Prima di derivare, dilli ad alta voce.

L'enunciato

Se g è derivabile in x₀ e f è derivabile in g(x₀), allora la composta f(g(x)) è derivabile in x₀ e

D[f(g(x))] = f′(g(x)) · g′(x)

In parole: derivi la buccia lasciando il ripieno intatto dentro, poi moltiplichi per la derivata del ripieno. Quel secondo fattore è la famigerata "derivata interna", ed è quella che si dimentica.

Con la notazione di Leibniz, posto u = g(x):

dy/dx = (dy/du) · (du/dx)

che è facile da ricordare perché i du sembrano semplificarsi. Attenzione però all'avvertenza della sezione 4: sembra una frazione e si comporta come una frazione, ma questo è un teorema, non un'ovvietà.

Se gli strati sono più di due si procede da fuori verso dentro, uno alla volta, moltiplicando ogni volta:

D[sin³(2x)]  =  3·sin²(2x) · D[sin(2x)]
             =  3·sin²(2x) · cos(2x) · D[2x]
             =  3·sin²(2x) · cos(2x) · 2
             =  6·sin²(2x)·cos(2x)

in x = 0,3:  1,57880656440

La tavola composta: la cura definitiva

Questa è la forma in cui conviene imparare la tavola dal primo giorno. È la stessa tavola della sezione 6 con la derivata interna già scritta dentro: così non si può più dimenticare, perché è già lì. Qui f = f(x) è una funzione qualsiasi.


Sono le stesse funzioni della tavola della sezione 6, meno tre gruppi: la costante e la x, che composte non vogliono dire niente, e le tre iperboliche, che lì sono segnalate come fuori programma. Se una riga della sezione 6 ti serve, la ritrovi qui con la derivata interna già al suo posto.

Esempi svolti con questa tavola, tutti verificati:

D[ln(cos x)]   = (−sin x) / cos x = −tan x       in x = 0,5:  −0,546302489844
D[√(x² + 1)]   = 2x / (2√(x²+1)) = x / √(x²+1)   in x = 1,7:   0,861934215158
D[arctan(x²)]  = 2x / (1 + x⁴)                   in x = 1,1:   0,892820908242
D[e^(−x²/2)]   = −x · e^(−x²/2)                  in x = 1,3:  −0,558424565674
D[ln(3x² + 1)] = 6x / (3x² + 1)                  in x = 1:     1,5

La derivata della funzione inversa

Se y = f(x) è invertibile e f′(x) ≠ 0, allora

(f⁻¹)′(y) = 1 / f′(x)

Serve a ricavare le derivate di arcoseno, arcocoseno e arcotangente invece di impararle a memoria — ed è il modo per non sbagliare mai il segno dell'arcocoseno. Le ricaviamo tutte e tre.

y = arctan x   ⟺   x = tan y

dx/dy = 1 / cos²y = 1 + tan²y = 1 + x²

dy/dx = 1 / (dx/dy) = 1 / (1 + x²)

y = arcsin x   ⟺   x = sin y,   con y fra −π/2 e π/2

dx/dy = cos y = √(1 − sin²y) = √(1 − x²)
        (la radice è positiva perché in quell'intervallo cos y ≥ 0)

dy/dx = 1 / √(1 − x²)

y = arccos x   ⟺   x = cos y,   con y fra 0 e π

dx/dy = −sin y = −√(1 − cos²y) = −√(1 − x²)
        (qui sin y ≥ 0, e il meno viene dalla derivata del coseno)

dy/dx = −1 / √(1 − x²)

Ecco da dove viene il segno meno dell'arcocoseno: non è una convenzione da ricordare, è il meno di D[cos] che si porta dietro l'inversione. In x = 0,4 i due valori sono 1,09108945118 e −1,09108945118.

Il caso che manda in tilt: x^x

Guarda bene x^x. Non è una potenza, perché l'esponente non è costante. Non è un esponenziale, perché la base non è costante. Nessuna delle due righe della tavola si applica, e infatti la risposta non è né x·x^(x−1) né x^x·ln x.


Si risolve in due modi equivalenti. Derivazione logaritmica:

y = x^x                (x > 0)
ln y = x · ln x
(1/y) · y′ = ln x + x·(1/x) = ln x + 1
y′ = y · (ln x + 1) = x^x · (ln x + 1)

in x = 2:  4 · (ln 2 + 1) = 4 · 1,693147180560 = 6,77258872224

oppure riscrivendo come esponenziale e usando la catena: x^x = e^(x·ln x), da cui D = e^(x ln x) · (ln x + 1) = x^x·(ln x + 1). Stesso risultato.

Per confronto, la formula sbagliata x·x^(x−1) darebbe in x = 2 il valore 2·2 = 4, che non c'entra niente con 6,77.

L'errore numero uno, e il controllo lampo

D[sin(2x)] non è cos(2x). È 2·cos(2x). Controllo in x = 0: la risposta giusta vale 2, la sbagliata vale 1.

Perché è così frequente? Perché quando il ripieno è semplicemente x, la derivata interna vale 1 e non si vede. Per anni hai derivato sin x ottenendo cos x, e sembrava che non ci fosse nessun fattore in più. C'era, valeva 1.

Quello che nessuno ti dice

Qui la tavola con la catena già incorporata è la tavola principale, non un'appendice. È una scelta, e il motivo è questo: quando la tavola nuda sta in una pagina e la regola della catena in un'altra, la derivata interna diventa un passo che ti devi ricordare di fare, ed è esattamente il passo che si dimentica. Scritta dentro la formula, non c'è niente da ricordare.

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La retta tangente (e perché la definizione che hai imparato in terza è sbagliata)

Adesso che sai calcolare, la derivata diventa uno strumento.

L'equazione della tangente

Se f è derivabile in x₀, la retta tangente al grafico nel punto (x₀, f(x₀)) è

y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀)

Non è una formula nuova: è la retta per un punto con coefficiente angolare noto, che sai dal biennio, con m = f′(x₀). Ti servono due numeri e basta: l'ordinata del punto e la derivata lì.

La retta normale è la perpendicolare alla tangente nello stesso punto:

y = f(x₀) − [1 / f′(x₀)]·(x − x₀)

con un caso a parte: se f′(x₀) = 0 la tangente è orizzontale e la normale è la retta verticale x = x₀ (che non ha coefficiente angolare, quindi la formula sopra non si può usare).

Il ponte con la trigonometria

Se α è l'angolo che la tangente forma con il verso positivo dell'asse x, allora

f′(x₀) = tan α

Da qui la lettura dei segni, che ti servirà in ogni studio di funzione:

Ora demoliamo la definizione di terza

In terza, con le coniche, hai imparato che la tangente è "la retta che tocca la curva in un solo punto". Sulla circonferenza funziona. Già sulla parabola no: le rette parallele all'asse la incontrano in un solo punto senza esserle tangenti, ed è il caso B della tabella qui sotto. Su una curva qualsiasi è falsa in tutte e due le direzioni.


Verifica del caso A, che si fa con Ruffini:

tangente a y = x³ in x₀ = 1:  f(1) = 1,  f′(x) = 3x²,  f′(1) = 3
                              y = 1 + 3(x − 1) = 3x − 2

intersezioni:  x³ = 3x − 2   →   x³ − 3x + 2 = 0   →   (x − 1)²(x + 2) = 0

soluzioni: x = 1 (doppia, è il punto di tangenza) e x = −2
in x = −2:  curva −8,  retta 3·(−2) − 2 = −8.  Si incontrano davvero.

La definizione corretta

La retta tangente al grafico in P è la posizione limite della retta secante PQ quando Q tende a P lungo la curva (se questa posizione limite esiste ed è la stessa da destra e da sinistra).

La conseguenza operativa da tenersi: la tangenza è una proprietà locale. Riguarda come si comporta la curva vicinissimo a P, non quante volte la retta interseca la curva nel resto del piano.

C'è anche una firma algebrica utile, e vale per le curve algebriche, cioè quelle la cui equazione è polinomiale: nel punto di tangenza l'equazione delle intersezioni ha in x₀ una radice di molteplicità almeno doppia. Per y = x² e la sua tangente y = 2x − 1 in x₀ = 1: x² = 2x − 1 dà (x − 1)² = 0, radice doppia. Nel caso della cubica sopra il fattore (x − 1)² c'è, e in più avanza (x + 2) che dà l'altra intersezione.

Attenzione a non trasformarla in un criterio rigido, perché sbaglierebbe proprio i casi interessanti. Nei flessi la molteplicità sale a tre: per y = x³ e la sua tangente y = 0 in x₀ = 0 l'equazione è x³ = 0, radice tripla — ed è tangente lo stesso, come dice il caso C della tabella. E per y = sin x non c'è nessuna equazione polinomiale da fattorizzare: lì di radici da contare non ce ne sono, il che non toglie che y = x sia la tangente in 0.

La tangente come migliore approssimazione

Se sostituisci alla curva la sua tangente vicino a x₀, ottieni

f(x₀ + h) ≈ f(x₀) + f′(x₀)·h

e l'errore è trascurabile rispetto a h. È il motivo per cui in fisica si linearizza tutto, e ti permette di stimare radici a mente.


Cinque stime fatte a mente, tutte con errore inferiore a 10⁻⁴.

Due righe sulle derivate successive

f′ è una funzione, quindi la si può derivare di nuovo: si ottiene f″, la derivata seconda, e poi f‴ e così via. In fisica f″ della posizione è l'accelerazione; in matematica il segno di f″ governa la concavità (verso l'alto se f″ > 0, verso il basso se f″ < 0). Ma questa è un'altra sezione di un'altra guida.

Quello che nessuno ti dice

Che la definizione di tangente imparata con le coniche va rottamata, e che qui la rottamiamo con i quattro controesempi in mano invece di lasciarla lì. Molte pagine si limitano a dire "coefficiente angolare della retta tangente" e non tornano mai sulla definizione: chi le legge tiene in piedi quella vecchia, poi trova una tangente che attraversa la curva in un flesso e pensa di aver sbagliato il conto.

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Continua o derivabile? I punti dove la derivata non c'è

Questa è la sezione che decide il voto, perché è l'unica in cui la tavola non serve.

Il teorema, con la dimostrazione

Se f è derivabile in x₀, allora f è continua in x₀.

Bisogna far vedere che f(x) → f(x₀). Per x ≠ x₀ si può moltiplicare e dividere per (x − x₀), che è lecito perché non è zero:

f(x) − f(x₀) = { [f(x) − f(x₀)] / (x − x₀) } · (x − x₀)

per x → x₀:      il primo fattore  →  f′(x₀)   (numero FINITO, per ipotesi)
                 il secondo fattore →  0

prodotto:  f′(x₀) · 0 = 0

quindi f(x) − f(x₀) → 0, cioè f(x) → f(x₀): f è continua in x₀.

Tre righe e un trucco che conosci già dai limiti. Nota dove serve l'ipotesi che la derivata sia finita: proprio nell'ultimo passaggio. Se f′(x₀) fosse infinita avremmo la forma indeterminata ∞ · 0 e non potremmo concludere niente. Ecco perché la definizione pretende un limite finito.

Come si usa davvero: al contrario

Nella pratica il teorema serve nella forma contronominale, che è un filtro:

se f non è continua in x₀, allora f non è derivabile in x₀.

Quindi davanti a una funzione definita a tratti la prima cosa da controllare è la continuità. Se c'è un salto, hai finito: scrivi "non derivabile" e vai avanti. Calcolare derivate laterali in un punto di salto è tempo buttato, e i numeri che ottieni non significano niente.

Il viceversa è falso: il conto su ∣x∣

f(x) = ∣x∣ è continua su tutto ℝ. In 0 non è derivabile.

R(h) = [ ∣0 + h∣ − ∣0∣ ] / h = ∣h∣ / h

da destra   (h > 0, quindi ∣h∣ = h):    h/h  = +1   →   f′₊(0) = +1
da sinistra (h < 0, quindi ∣h∣ = −h):  −h/h  = −1   →   f′₋(0) = −1

I due limiti laterali esistono, sono finiti, ma sono diversi. Quindi il limite del rapporto incrementale non esiste e la funzione non è derivabile in 0. Il punto (0, 0) si chiama punto angoloso.

In termini logici, e conviene saperlo dire così all'orale:

• la continuità è condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità;
• la derivabilità è condizione sufficiente ma non necessaria per la continuità.

Derivate laterali, e l'avvertenza più importante del capitolo

derivata destra:    f′₊(x₀) = lim (h→0⁺) [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h
derivata sinistra:  f′₋(x₀) = lim (h→0⁻) [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h

f è derivabile in x₀ se e solo se f′₊(x₀) e f′₋(x₀) esistono, sono finite e sono uguali.

Ora l'avvertenza che in questa sezione costa più punti di ogni altra:

derivata laterale (limite del rapporto incrementale da un lato) non è la stessa cosa di limite laterale della derivata (limite di f′(x)).

La scorciatoia che ti hanno insegnato — "calcolo f′(x) con le regole, poi faccio i limiti laterali di f′" — è legittima, ma perché è un teorema, non perché sia la definizione. Il teorema si chiama teorema del limite della derivata ed è un corollario di Lagrange:

Teorema del limite della derivata. Se f è continua in x₀, è derivabile in un intorno bucato di x₀, ed esiste finito lim (x→x₀) f′(x) = L, allora f è derivabile in x₀ e f′(x₀) = L. Lo stesso vale da un lato solo, con i limiti laterali.

Le ipotesi contano tutte, e la parola finito conta quanto le altre: è la stessa clausola che abbiamo smontato nella sezione 3, e qui è nell'ipotesi, non nella tesi. Se il limite di f′ esiste ma vale ±∞, il teorema non si applica e non dice niente. La risposta però si sa, e arriva da un'altra strada: per il teorema di Lagrange il rapporto incrementale fra x₀ e x è uguale a f′(ξ) per qualche ξ in mezzo ai due, quindi se f′ va a ±∞ ci va anche il rapporto incrementale. Conclusione: f non è derivabile in x₀, e il grafico ha lì una tangente verticale. È il caso di ∛x in 0, che troverai qui sotto classificato come flesso a tangente verticale: lim f′(x) = +∞, e "derivabile con derivata +∞" non esiste.

Secondo avvertimento: se il limite di f′ non esiste, il teorema non dice niente — e in particolare non ti autorizza a concludere che f non sia derivabile. In quel caso si torna alla definizione. Il controesempio è più sotto.

La classificazione completa: quattro casi, non tre

Si suppone f continua in x₀ (se non lo è, si è già chiuso). Si calcolano le due derivate laterali.


Questi quattro casi non sono da imparare a memoria: sono i modi di violare le tre richieste della sezione 3, contati bene. Il caso 4 viola la prima: il limite non esiste proprio. Il caso 3 viola solo la terza: il limite c'è, è lo stesso da entrambe le parti, ma non è finito. I casi 1 e 2 violano la seconda, perché i due limiti laterali non coincidono, e possono violare anche la terza quando uno dei due è infinito — nella cuspide lo sono tutti e due. Non è una corrispondenza uno a uno, ed è giusto che non lo sia: le richieste possono cadere anche insieme. Ma la tabella si ricostruisce da qui, invece di impararla a memoria.

Il caso 4 è quello che nelle classificazioni a tre voci non compare, e la sua assenza produce una regola falsa: "se non è angoloso, né cuspide, né flesso verticale, allora è derivabile". Non è vero, e qui il caso 4 c'è apposta.

Sui casi 2 e 3 conviene fermarsi un momento, perché è il punto in cui si annida un equivoco. In tutti e due la posizione limite della secante esiste ed è la stessa da destra e da sinistra: la tangente c'è, ed è la retta verticale x = x₀. La funzione non è derivabile non perché manchi la tangente, ma perché una retta verticale non ha coefficiente angolare — sono due affermazioni diverse, e tenerle separate toglie l'impressione di contraddizione con la sezione 3. Quello che distingue la cuspide dal flesso verticale non è dunque l'esistenza della tangente, ma il verso dei due rami: in ∛(x²) entrambi i rami salgono, quindi le due semitangenti puntano nello stesso verso e si sovrappongono (ecco la punta); in ∛x uno sale e l'altro scende, le semitangenti sono opposte e insieme ricostruiscono la retta intera, con la concavità che cambia. Se il tuo manuale scrive che nella cuspide "la tangente non esiste", sta dicendo che non esiste una tangente con coefficiente angolare: è la stessa cosa detta con parole più strette.

I numeri, uno per uno

∣x∣ in 0            R(h) = ∣h∣/h        →  +1 da destra,  −1 da sinistra   ANGOLOSO

∣x² − 4∣ in 2       h = 10⁻⁶  →  +4,000001
                    h = −10⁻⁶ →  −3,999999                                 ANGOLOSO (+4 e −4)

∣x² − 1∣ in 1       +2 e −2                                                ANGOLOSO
∣x² − 1∣ in −1      destra +2, sinistra −2                                 ANGOLOSO

√(1 − cos x) in 0   +√2/2 = +0,707106781187  e  −0,707106781187            ANGOLOSO
                    perché √(1 − cos x) = √(2·sin²(x/2)) = √2 · ∣sin(x/2)∣
                    cioè è un valore assoluto travestito da radice

∛(x²) in 0          R(h) = ∛(h²)/h;  h = 10⁻⁶ → +100,  h = −10⁻⁶ → −100    CUSPIDE

∛x in 0             R(h) = ∛h/h;  h = ±10⁻⁶ → +10 000 da entrambe le parti FLESSO VERTICALE

x·sin(1/x) in 0     con f(0) = 0;  R(h) = sin(1/h):
                      h = 10⁻³ → +0,826880      h = 10⁻⁴ → −0,305614
                      h = 10⁻⁵ → +0,035749      h = 10⁻⁶ → −0,349994       IL LIMITE NON ESISTE

Il secondo caso è anche l'occasione buona per usare la forma con x del rapporto incrementale, quella della sezione 2, che qui è davvero più comoda perché "x che arriva da 2" si legge direttamente sulla funzione senza modulo:

f(x) = ∣x² − 4∣ in x₀ = 2,  f(2) = 0

da destra (x > 2, dove ∣x² − 4∣ = x² − 4):
   [f(x) − f(2)] / (x − 2) = (x² − 4)/(x − 2) = x + 2   →   4

da sinistra (x < 2, dove ∣x² − 4∣ = 4 − x²):
   [f(x) − f(2)] / (x − 2) = (4 − x²)/(x − 2) = −(x + 2)  →  −4

Nessuno sviluppo di binomio, due semplificazioni e via: è per questo che sulle funzioni a tratti conviene quella scrittura.

Quel √(1 − cos x) è una trappola d'esame classica: c'è una radice, quindi molti scrivono "cuspide" a occhio. È un punto angoloso, e le derivate laterali sono finite.

La procedura in cinque passi

Sembra non derivabile, e invece lo è

Se ti resta in testa "c'è una radice o un valore assoluto, quindi non è derivabile", perdi punti a ogni compito. La derivabilità si verifica, non si indovina dall'aspetto.


C'è una regola dietro le potenze con radice cubica, e conviene ricordarla: decide l'esponente rispetto a 1. x^(1/3) ha tangente verticale, x^(2/3) ha una cuspide, x^(4/3) è derivabile. Sotto 1 si rompe, sopra 1 tiene.

Fermat: i candidati a massimo e minimo sono tre, non uno

Il teorema di Fermat dice: se x₀ è un punto di massimo o minimo relativo interno al dominio e f è derivabile in x₀, allora f′(x₀) = 0.

L'ipotesi di derivabilità non è decorativa. f(x) = ∣x∣ ha in 0 un minimo assoluto evidentissimo, il punto è interno al dominio, e f′(0) non esiste: nessuna tangente orizzontale, nessuno zero della derivata. Se cerchi il minimo risolvendo f′(x) = 0, non lo trovi.

Quindi, quando cerchi massimi e minimi, i candidati sono tre categorie:

1) i punti stazionari, dove f′(x) = 0;
2) i punti di non derivabilità: angolosi, cuspidi, tangenti verticali e anche i punti in cui il limite del rapporto incrementale non esiste — tutti e quattro i casi della tabella qui sopra, non tre;
3) gli estremi del dominio.

E il viceversa di Fermat è falso: f′(x₀) = 0 non implica massimo o minimo. Controesempio: f(x) = x³ in 0 ha f′(0) = 0, ma f(−0,1) = −0,001 < 0 < 0,001 = f(0,1). La funzione cresce attraversando lo zero: è un flesso a tangente orizzontale.

Tre approfondimenti da leggere, non da saper fare

Uno. Le due funzioni x·sin(1/x) e x²·sin(1/x) (entrambe poste uguali a 0 in x = 0, altrimenti in 0 non sarebbero nemmeno definite e la domanda non avrebbe senso) si somigliano moltissimo e si comportano in modo opposto. La prima ha R(h) = sin(1/h), che oscilla e non tende a niente: non derivabile. La seconda ha R(h) = h·sin(1/h), che è schiacciato fra −∣h∣ e ∣h∣ e quindi tende a 0: derivabile, con f′(0) = 0. Un solo esponente di differenza. Ma c'è di più: per x ≠ 0 la derivata della seconda è f′(x) = 2x·sin(1/x) − cos(1/x), e per x → 0 questa non ha limite (vale −0,5607 in x = 0,001, poi +0,9801 in x = 0,00095, poi −0,5311 in x = 0,0009). Quindi f è derivabile ovunque ma f′ non è continua in 0. Chi qui applicasse la scorciatoia dei limiti di f′ concluderebbe "non derivabile", e direbbe il falso: f′(0) = 0.

Due. Perché allora la scorciatoia funziona negli esercizi normali? Per il teorema di Darboux: la derivata di una funzione derivabile su un intervallo, anche se discontinua, non può mai avere una discontinuità di salto. Quindi se f è continua in x₀ e i limiti di f′ da destra e da sinistra esistono finiti e diversi, la funzione non può essere derivabile in x₀ (se lo fosse, f′ avrebbe un salto, che è vietato): è un punto angoloso. Le uniche discontinuità che una derivata può avere sono quelle selvagge di tipo oscillatorio, mai i salti tranquilli.

Tre. Esiste una funzione continua su tutto ℝ e derivabile in nessun punto: la funzione di Weierstrass, presentata all'Accademia di Berlino il 18 luglio 1872 e comparsa a stampa nel 1875, pubblicata da Paul du Bois-Reymond.

f(x) = somma per n da 0 a ∞ di  aⁿ · cos(bⁿ · π · x)

condizioni di Weierstrass:  0 < a < 1,  b intero positivo DISPARI,  a·b > 1 + 3π/2

1 + 3π/2 = 5,712389…   quindi il più piccolo b dispari possibile è 7
                       (serve a > 5,712389/7 = 0,816056; per esempio a = 0,9, con ab = 6,3)
                       con a = 1/2 serve b > 11,4248, cioè b = 13, con ab = 6,5

È continua perché la serie converge totalmente (i termini sono maggiorati da aⁿ, e la serie geometrica di ragione a converge). Non è derivabile da nessuna parte perché ogni termine successivo aggiunge oscillazioni b volte più fitte ma solo a volte più basse: siccome ab > 1, le pendenze crescono senza limite e zoomando non si arriva mai a una retta. Con a = 0,9 e b = 7 il rapporto incrementale in 0, cioè [f(h) − f(0)]/h con f(0) = 10, vale:

h = 10⁻¹  →  −97,7
h = 10⁻²  →  −492,8
h = 10⁻³  →  −7 664,9
h = 10⁻⁴  →  −66 057
h = 10⁻⁵  →  −591 710

Diverge, e in fretta.

Attenzione a un esempio che gira spesso: "a = 1/2 e b = 3". Quella coppia non soddisfa le condizioni originali di Weierstrass (ab = 1,5, mentre lì serve ab > 5,712…), quindi non citarla come se le soddisfacesse. La funzione, però, resta non derivabile in nessun punto lo stesso: lo garantisce un risultato successivo di G. H. Hardy (1916), che abbassa la richiesta a 0 < a < 1 e ab ≥ 1. Non soddisfare una condizione sufficiente non vuol dire che la conclusione sia falsa — è lo stesso errore di logica che questa sezione ti insegna a non fare con le ipotesi dei teoremi. Se citi le condizioni di Weierstrass, usa una coppia che le rispetti: a = 0,9 e b = 7.

Un'ultima precisazione storica: Bolzano ne aveva costruita una intorno al 1830, ma il manoscritto fu riscoperto solo nel 1921-22 e pubblicato nel 1930; Cellérier intorno al 1860, pubblicato postumo nel 1890. Quella di Weierstrass è la prima a diventare pubblica, ed è per questo che porta il suo nome.

La gerarchia completa

Una nota di vocabolario: in una variabile derivabile e differenziabile sono la stessa cosa. Le due parole esistono perché in più variabili le due proprietà si separano, ma per te, adesso, sono sinonimi.

Quello che nessuno ti dice

Il quarto caso. Le classificazioni si fermano quasi sempre a tre tipi di punto di non derivabilità, e da tre tipi si deduce la regola falsa "se non è nessuno dei tre, allora è derivabile": qui il quarto c'è, e c'è per quello. La seconda cosa che diciamo qui e che di solito resta implicita: sia nel flesso a tangente verticale sia nella cuspide la tangente esiste, ed è la retta x = x₀; la funzione non è derivabile soltanto perché una retta verticale non ha coefficiente angolare. Detta così, la classificazione smette di sembrare in contraddizione con la definizione di tangente della sezione 9.

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Domande frequenti

Che differenza c'è fra f′(x₀) e f′(x)?
f′(x₀) è un numero, f′ è una funzione. Se f(x) = x², allora f′(3) = 6 (il numero sei) mentre f′(x) = 2x è la funzione che a ogni x associa la sua derivata. La distinzione conta perché il dominio di f′ può essere più piccolo di quello di f: √x è definita in [0, +∞) ma la sua derivata 1/(2√x) esiste solo per x > 0. La richiesta "determina il dominio della funzione derivata" ricorre negli studi di funzione, in verifica come all'esame, e si perde facilmente proprio perché la si scambia per il dominio di f.

Perché la derivata di una costante è zero?
Perché una costante non cambia, e la derivata misura quanto una grandezza cambia. Sul rapporto incrementale si vede subito: per f(x) = k viene (k − k)/h = 0/h = 0 per ogni h diverso da zero, quindi il limite è 0. Attenzione alle costanti travestite: ln 5, e², sin 3, arctan 2 e π sono numeri, non funzioni di x, e la loro derivata è 0. Quindi D[3x² + ln 5] = 6x.

Qual è la derivata di ∣x∣?
Vale x/∣x∣, cioè +1 per x > 0 e −1 per x < 0, e in x = 0 non esiste. Il conto è di due righe: il rapporto incrementale in 0 è ∣h∣/h, che da destra dà +1 e da sinistra dà −1. Due limiti laterali finiti ma diversi, quindi niente derivata: quello è un punto angoloso. Il dominio di f è ℝ, il dominio di f′ è ℝ senza lo zero.

Se f′(x₀) = 0, allora x₀ è un massimo o un minimo?
No, non necessariamente. Il controesempio è f(x) = x³ in x₀ = 0: f′(0) = 0, la tangente è orizzontale (l'asse x), ma f(−0,1) = −0,001 e f(0,1) = +0,001, quindi la funzione sta crescendo mentre attraversa lo zero. È un flesso a tangente orizzontale. Vale anche il contrario: ∣x∣ ha un minimo assoluto in 0 dove la derivata non esiste, e quel minimo l'equazione f′(x) = 0 non lo trova. Cercare gli estremi solo con f′(x) = 0 può quindi farne perdere: non sempre — su una funzione derivabile ovunque e senza frontiera li trova tutti — ma ogni volta che l'estremo cade in un punto di non derivabilità o su un estremo del dominio.

dy/dx è una frazione, sì o no?
Formalmente no: è un simbolo unico che denota un limite. Però si comporta come una frazione, e non per caso. Il motivo è duplice: la regola della catena dice dy/dx = (dy/du)·(du/dx), dove i du sembrano semplificarsi ed è vero perché c'è un teorema dietro; e il differenziale dy = f′(x)·dx definisce dy e dx come quantità vere, così che il rapporto torna a essere autentico. Ecco perché in fisica da dv/dt = −kv si passa tranquillamente a dv/v = −k dt.

Perché la derivata di x^x non è x·x^(x−1)?
Perché quella è la formula delle potenze, e vale solo se l'esponente è costante. In x^x variano sia la base sia l'esponente, quindi non si applica né la regola delle potenze né quella degli esponenziali. Si usa la derivazione logaritmica: da ln y = x·ln x si ottiene y′/y = ln x + 1, cioè D[x^x] = x^x·(ln x + 1). In x = 2 il valore giusto è 4·(ln 2 + 1) = 6,77258872224, mentre la formula sbagliata darebbe 2·2 = 4.

Che differenza c'è fra punto angoloso e cuspide?
Nel punto angoloso le due derivate laterali sono diverse e almeno una è finita: ∣x∣ in 0 dà +1 e −1. Nella cuspide sono entrambe infinite e di segno opposto: ∛(x²) in 0 dà +∞ da destra e −∞ da sinistra (col rapporto incrementale, h = 10⁻⁶ dà +100 e −100). Se invece sono entrambe infinite e dello stesso segno si chiama flesso a tangente verticale, come ∛x in 0. In tutti e due questi casi la tangente c'è ed è la retta verticale x = x₀, e la funzione non è derivabile solo perché una retta verticale non ha coefficiente angolare: la differenza è che nella cuspide i due rami vanno dalla stessa parte e le semitangenti si sovrappongono, nel flesso vanno da parti opposte e la curva attraversa. Trappola classica: √(1 − cos x) in 0 sembra una cuspide ma è un punto angoloso, perché equivale a √2·∣sin(x/2)∣ e le derivate laterali valgono ±0,707106781187.

Come faccio a controllare da solo se ho derivato bene?
Con la calcolatrice, in trenta secondi. Scegli un x₀ qualsiasi del dominio e calcola [f(x₀ + 0,001) − f(x₀ − 0,001)]/0,002: deve venire quasi uguale al valore della tua f′(x₀). Su f(x) = x³ in x₀ = 2 il conto dà 12,000001 e la formula f′(x) = 3x² dà 12: coincidono. Se i due numeri sono diversi già alla seconda cifra, hai sbagliato un segno o dimenticato una derivata interna, e lo scopri prima di consegnare invece che dopo.

Che differenza c'è fra derivata e limite?
Il limite è lo strumento, la derivata è il risultato. La derivata è un limite: quello del rapporto incrementale per h che tende a 0. Il rapporto è calcolabile per ogni h ≠ 0, e il limite serve solo perché in h = 0 verrebbe 0/0. Vedi la sezione 3.

A che serve la derivata fuori dalla scuola?
A qualunque cosa in cui conti la velocità di un cambiamento, non il cambiamento totale. Un tachimetro calcola una derivata. In economia il costo marginale è la derivata del costo totale rispetto alla quantità: se da 100 a 101 pezzi la spesa passa da 4 000 a 4 012 euro, quei 12 euro/pezzo sono il rapporto incrementale con h = 1 pezzo, cioè la stima pratica di quella derivata. In epidemiologia la "curva che si appiattisce" è una frase sulla derivata, non sul numero di casi. In ingegneria dei controlli la derivata dell'errore è il termine "D" dei regolatori PID e serve ad anticipare la correzione; non tutti i regolatori la usano, i più diffusi in fabbrica sono i PI, cioè quelli senza termine derivativo.

Perché la derivata di eˣ è proprio eˣ?
Perché il rapporto incrementale si fattorizza: [e^(x+h) − eˣ]/h = eˣ · (e^h − 1)/h, e il limite di (e^h − 1)/h vale esattamente 1. Il numero e è definito, in sostanza, come l'unica base per cui quel limite fa 1. Con un'altra base resta un fattore ln a: D[3^x] = 3^x · ln 3, che in x = 1,1 vale 3,67855990398 e non 3^1,1. Vedi la sezione 5.

Una funzione non continua può essere derivabile?
No, mai. Derivabile implica continua, quindi non continua implica non derivabile. È il filtro del passo 2 della procedura: se in x₀ c'è un salto, hai finito, e non devi calcolare nessuna derivata laterale. Il viceversa invece è falso: ∣x∣ è continua ovunque e non è derivabile in 0.

Derivata destra e limite destro della derivata sono la stessa cosa?
No. La derivata destra è il limite del rapporto incrementale da destra; il limite destro della derivata è il limite di f′(x). Coincidono sotto le ipotesi del teorema del limite della derivata, e negli esercizi di scuola le ipotesi ci sono quasi sempre — per questo la scorciatoia funziona. Ma non è la definizione: x²·sin(1/x), posta uguale a 0 in x = 0, è derivabile in 0 con f′(0) = 0, mentre il limite di f′ in 0 non esiste.

Quante derivate si possono fare di una funzione?
Dipende dalla funzione. Alcune si derivano infinite volte (eˣ dà sempre eˣ; sin x torna su se stessa ogni quattro derivate). Altre si fermano: x·∣x∣ è derivabile una volta sola in 0, ∣x∣³ due volte. Un polinomio di grado n dà 0 dalla derivata (n+1)-esima in poi.

Che differenza c'è fra derivabile e differenziabile?
Per le funzioni di una variabile, nessuna: sono sinonimi. Differenziabile significa che vicino a x₀ la funzione si può sostituire con una retta commettendo un errore trascurabile rispetto a h, e in una variabile questo equivale esattamente all'esistenza della derivata. Le due parole restano distinte perché in più variabili le due proprietà si separano.

Come si scrive l'equazione della retta tangente in un punto?
y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀). Ti servono due numeri: f(x₀) e f′(x₀). Esempio: f(x) = x³ − 3x in x₀ = 2 dà f(2) = 2 e f′(2) = 9, quindi y = 2 + 9(x − 2) = 9x − 16.

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Sedici esercizi svolti e riepilogo operativo

In ordine di argomento: prima la definizione, poi le regole, poi i casi che si sbagliano. Ogni risultato è verificato.

Esercizio 1 — dalla definizione

Calcola f′(2) per f(x) = 2x² − 5x + 1 usando la definizione.

f(2)     = 8 − 10 + 1 = −1
f(2 + h) = 2(2 + h)² − 5(2 + h) + 1
         = 2(4 + 4h + h²) − 10 − 5h + 1
         = 8 + 8h + 2h² − 9 − 5h = −1 + 3h + 2h²

R(h) = (−1 + 3h + 2h² + 1) / h = 3 + 2h

f′(2) = lim (h→0) (3 + 2h) = 3

Controllo con la tavola: f′(x) = 4x − 5, quindi f′(2) = 8 − 5 = 3.

Esercizio 2 — linearità e costanti travestite

Deriva f(x) = 2x⁴ − 5x³ + x − 6 + e².

D[2x⁴]  = 2 · 4x³ = 8x³
D[−5x³] = −5 · 3x² = −15x²
D[x]    = 1
D[−6]   = 0
D[e²]   = 0        (e² è il numero 7,3890561…, non una funzione di x)

f′(x) = 8x³ − 15x² + 1

in x = 2:  64 − 60 + 1 = 5

Esercizio 3 — prodotto

Deriva f(x) = (2x³ − x)·eˣ e calcola f′(1).

prima funzione:   u = 2x³ − x     u′ = 6x² − 1
seconda funzione: v = eˣ          v′ = eˣ

f′ = u′v + uv′ = (6x² − 1)eˣ + (2x³ − x)eˣ
                = eˣ · (6x² − 1 + 2x³ − x)
                = eˣ · (2x³ + 6x² − x − 1)

in x = 1:  e · (2 + 6 − 1 − 1) = 6e = 16,3096909708

Esercizio 4 — quoziente

Deriva f(x) = (x² + 3) / (x − 1) e calcola f′(0).

numeratore:   u = x² + 3    u′ = 2x
denominatore: v = x − 1     v′ = 1

f′ = (u′v − uv′) / v²
   = [2x(x − 1) − (x² + 3)·1] / (x − 1)²
   = (2x² − 2x − x² − 3) / (x − 1)²
   = (x² − 2x − 3) / (x − 1)²

in x = 0:  (0 − 0 − 3) / (−1)² = −3

Attenzione all'ordine al numeratore: se scrivi uv′ − u′v ottieni tutto col segno opposto, e in x = 0 troveresti +3.

Esercizio 5 — logaritmo in base qualsiasi, con la catena

Deriva f(x) = log₃(x² + 2) e calcola f′(1).

riga della tavola composta:  D[log_a f] = f′ / (f · ln a)

buccia: logaritmo in base 3    ripieno: x² + 2    derivata del ripieno: 2x

f′(x) = 2x / [(x² + 2) · ln 3]

in x = 1:  2 / (3 · ln 3) = 2 / (3 · 1,098612288668) = 0,606826151085

Dove si sbaglia: scrivere 2x·(ln 3)/(x² + 2), cioè moltiplicare per ln 3 invece di dividere. Nel logaritmo il ln a divide, nell'esponenziale moltiplica. Controllo lampo: con base 3 il ln vale 1,0986, appena più di 1, quindi il risultato deve venire appena più piccolo di 2x/(x² + 2) = 0,666…, e infatti viene 0,6068.

Esercizio 6 — logaritmo di un valore assoluto, con il dominio

Deriva f(x) = ln∣x² − 9∣, dì dove la formula vale, e calcola f′(1).

riga della tavola composta:  D[ln∣f∣] = f′ / f        (dove f ≠ 0)

f′(x) = 2x / (x² − 9)

dominio di f:   x² − 9 ≠ 0,  cioè x ≠ −3 e x ≠ 3
dominio di f′:  lo stesso

in x = 1:  2 / (1 − 9) = 2 / (−8) = −0,25

Nota il punto per cui questa riga esiste: in x = 1 l'argomento del logaritmo è negativo (1 − 9 = −8) e ln(x² − 9) non sarebbe nemmeno definita, mentre ln∣x² − 9∣ vale ln 8 = 2,079441541680 e la sua derivata è quella lì. La formula f′/f non cambia forma da una parte e dall'altra dello zero: è tutto il vantaggio del valore assoluto.

Esercizio 7 — catena a tre strati

Deriva f(x) = sin²(3x + 1) e calcola f′(0).

si procede da fuori verso dentro:

strato 1 (potenza seconda):  2·sin(3x + 1) · D[sin(3x + 1)]
strato 2 (seno):             2·sin(3x + 1) · cos(3x + 1) · D[3x + 1]
strato 3 (3x + 1):           2·sin(3x + 1) · cos(3x + 1) · 3

f′(x) = 6·sin(3x + 1)·cos(3x + 1)

in x = 0:  sin 1 = 0,841470984808   cos 1 = 0,540302305868
           6 · 0,841470984808 · 0,540302305868 = 2,72789228048

Esercizio 8 — prodotto più catena

Deriva f(x) = x²·√(x² + 1) e calcola f′(1).

prodotto:  u = x²          u′ = 2x
           v = √(x² + 1)   v′ = 2x / (2√(x²+1)) = x / √(x²+1)

f′ = 2x·√(x²+1) + x² · x/√(x²+1)

metto tutto sullo stesso denominatore √(x²+1):

f′ = [2x(x² + 1) + x³] / √(x² + 1)
   = (2x³ + 2x + x³) / √(x² + 1)
   = (3x³ + 2x) / √(x² + 1)

in x = 1:  5 / √2 = 3,53553390593

Esercizio 9 — derivazione logaritmica

Deriva f(x) = x^x per x > 0 e calcola f′(2).

non è una potenza (l'esponente non è costante)
non è un esponenziale (la base non è costante)

y = x^x
ln y = x · ln x
derivo entrambi i membri rispetto a x:
(1/y)·y′ = 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1
y′ = y·(ln x + 1) = x^x · (ln x + 1)

in x = 2:  4 · (ln 2 + 1) = 4 · 1,693147180560 = 6,77258872224

La formula sbagliata x·x^(x−1) darebbe 2·2 = 4. Non è nemmeno vicino.

Esercizio 10 — retta tangente, con sorpresa

Scrivi la tangente a y = x³ − 3x in x₀ = 3 e trova tutte le sue intersezioni con la curva.

f(3)  = 27 − 9 = 18                  punto di tangenza (3, 18)
f′(x) = 3x² − 3     f′(3) = 27 − 3 = 24

tangente:  y = 18 + 24(x − 3) = 24x − 54

intersezioni:  x³ − 3x = 24x − 54
               x³ − 27x + 54 = 0
               (x − 3)²(x + 6) = 0

verifica della fattorizzazione:
   (x² − 6x + 9)(x + 6) = x³ + 6x² − 6x² − 36x + 9x + 54 = x³ − 27x + 54   ✓

soluzioni: x = 3 (doppia, il punto di tangenza) e x = −6
in x = −6:  curva  (−216) + 18 = −198
            retta  24·(−6) − 54 = −198        si incontrano davvero

La tangente tocca la curva in (3, 18) e la incontra di nuovo in (−6, −198). È tangente lo stesso: la tangenza è locale.

Esercizio 11 — tangente parallela a una retta data

Trova il punto in cui la tangente a f(x) = ln x è parallela alla retta y = x/2 + 3, e scrivi quella tangente.

parallela  ⟺  stesso coefficiente angolare  ⟺  f′(x) = 1/2

f′(x) = 1/x = 1/2   →   x = 2
f(2) = ln 2 = 0,693147180560           punto (2; 0,693147180560)

tangente:  y = ln 2 + (1/2)(x − 2) = x/2 + ln 2 − 1

           ln 2 − 1 = −0,306852819440

y = x/2 − 0,306852819440

Esercizio 12 — retta tangente e retta normale

Scrivi la tangente e la normale a f(x) = √x nel punto di ascissa x₀ = 4.

f(4)  = 2                       punto (4, 2)
f′(x) = 1/(2√x)     f′(4) = 1/(2·2) = 0,25

tangente:  y = 2 + 0,25(x − 4) = x/4 + 1

la normale è perpendicolare, quindi ha coefficiente angolare −1/f′(4):
           −1 / 0,25 = −4

normale:   y = 2 − 4(x − 4) = −4x + 18

Due controlli che costano dieci secondi. Primo: entrambe devono passare per (4, 2), e infatti 4/4 + 1 = 2 e −16 + 18 = 2. Secondo: il prodotto dei due coefficienti angolari deve fare −1, e 0,25 · (−4) = −1. Se f′(x₀) fosse stata 0 la normale sarebbe stata la retta verticale x = x₀, e la formula con −1/f′(x₀) non si sarebbe potuta usare.

Esercizio 13 — segno della derivata e massimo

Trova il massimo di f(x) = x·e^(−x) per x ≥ 0.

prodotto:  u = x           u′ = 1
           v = e^(−x)      v′ = −e^(−x)      (catena: derivata interna −1)

f′(x) = 1·e^(−x) + x·(−e^(−x)) = e^(−x)·(1 − x)

e^(−x) è sempre positivo, quindi il segno di f′ è il segno di (1 − x):

   f′(x) > 0  per x < 1     la funzione cresce
   f′(x) = 0  per x = 1     punto stazionario
   f′(x) < 0  per x > 1     la funzione decresce

massimo in x = 1,  f(1) = e⁻¹ = 0,367879441171

Esercizio 14 — cuspide o flesso verticale? Due funzioni che si somigliano

Classifica il punto x₀ = 0 per f(x) = ∛(x²) e per g(x) = ∛x. Sono le due funzioni che a occhio si confondono e che il conto separa subito.

f(x) = ∛(x²)

passo 1, dominio:  ℝ (la radice cubica accetta i negativi), e 0 è interno.
passo 2, continuità:  f(0) = 0 e da entrambe le parti f → 0.  Continua.
passo 3, derivate laterali, dalla definizione:
   R(h) = ∛(h²)/h = 1/∛h
   h = +10⁻⁶  →  +100        h = −10⁻⁶  →  −100
   f′₊(0) = +∞               f′₋(0) = −∞
passo 4, confronto:  entrambe infinite e DISCORDI  →  CUSPIDE
passo 5, conclusione:  tangente verticale x = 0, con le due semitangenti
   sovrapposte (verso l'alto tutte e due: ∛(h²) è positiva da entrambe le parti).


g(x) = ∛x

passo 1, dominio:  ℝ, e 0 è interno.
passo 2, continuità:  g(0) = 0 e da entrambe le parti g → 0.  Continua.
passo 3, derivate laterali, dalla definizione:
   R(h) = ∛h/h = 1/∛(h²)
   h = +10⁻⁶  →  +10 000     h = −10⁻⁶  →  +10 000
   g′₊(0) = +∞               g′₋(0) = +∞
passo 4, confronto:  entrambe infinite e CONCORDI  →  FLESSO A TANGENTE VERTICALE
passo 5, conclusione:  stessa tangente verticale x = 0, ma qui le semitangenti
   sono opposte: ∛h è positiva a destra e negativa a sinistra, la curva
   attraversa e la concavità cambia.

In tutti e due i casi la tangente c'è ed è la retta x = 0; in tutti e due la funzione non è derivabile, perché una retta verticale non ha coefficiente angolare. La differenza sta nel verso dei due rami, non nella tangente. Un modo veloce per non confonderle: decide l'esponente rispetto a 1. x^(1/3) sta sotto 1 con numeratore dispari e dà il flesso verticale, x^(2/3) sta sotto 1 con numeratore pari e dà la cuspide, x^(4/3) sta sopra 1 ed è derivabile.

Esercizio 15 — funzione a tratti, trova i parametri

Determina a e b in modo che f sia derivabile in x = 1, dove f(x) = x² per x ≤ 1 e f(x) = ax + b per x > 1.

condizione 1, CONTINUITÀ (se manca questa, la derivabilità è già persa):
   limite da sinistra:  1² = 1
   limite da destra:    a + b
   valore in 1:         1
   →   a + b = 1

condizione 2, DERIVABILITÀ (derivate laterali uguali):
   da sinistra:  D[x²] = 2x,  in x = 1 vale 2
   da destra:    D[ax + b] = a
   →   a = 2

sostituendo nella prima:  2 + b = 1   →   b = −1

f(x) = x² per x ≤ 1,   f(x) = 2x − 1 per x > 1,   e f′(1) = 2

Nota che 2x − 1 è proprio la tangente a x² in x = 1: era inevitabile, perché per raccordarsi in modo derivabile la retta deve essere la tangente.

Esercizio 16 — i tre candidati a estremo in un colpo solo

Trova massimi e minimi assoluti di f(x) = ∣x² − 1∣ nell'intervallo [−2, 2].

la funzione si riscrive senza modulo:
   f(x) = x² − 1   dove x² − 1 ≥ 0, cioè per ∣x∣ ≥ 1
   f(x) = 1 − x²   dove x² − 1 < 0, cioè per −1 < x < 1

candidati di categoria 1 (stazionari):
   per −1 < x < 1:  f′(x) = −2x = 0  →  x = 0,  f(0) = 1
   per ∣x∣ > 1:     f′(x) = 2x = 0   →  x = 0, ma non appartiene a quel tratto: scartato

candidati di categoria 2 (non derivabilità):
   x = 1 e x = −1, dove il modulo si annulla.  f(1) = f(−1) = 0
   (derivate laterali in 1: +2 e −2, punti angolosi)

candidati di categoria 3 (estremi del dominio):
   x = −2 e x = 2.  f(−2) = f(2) = ∣4 − 1∣ = 3

confronto dei valori:  0,  0,  1,  3,  3

MINIMI assoluti:  f = 0 in x = −1 e x = 1   (punti di NON derivabilità)
MASSIMO relativo: f = 1 in x = 0            (punto stazionario)
MASSIMI assoluti: f = 3 in x = −2 e x = 2   (estremi del dominio)

Se avessi cercato gli estremi risolvendo solo f′(x) = 0, avresti trovato il massimo relativo in 0 e avresti perso sia i minimi sia i massimi assoluti. Tutte e tre le categorie servono.

Che cosa faccio quando vedo…

I cinque errori che costano più punti

Il metodo di autoverifica numerica

Questa è la cosa più utile dell'intera guida, e ti permette di scoprire un errore prima di consegnare, invece che dopo.

Preso un x₀ qualsiasi del dominio, calcola con la calcolatrice

[f(x₀ + 0,001) − f(x₀ − 0,001)] / 0,002

e confrontalo con il valore che la tua f′(x₀) restituisce. Se i due numeri non coincidono nelle prime cifre, c'è un errore da qualche parte.

esempio 1:  f(x) = x³ in x₀ = 2
   (2,001³ − 1,999³) / 0,002 = (8,012006001 − 7,988005999) / 0,002 = 12,000001
   la tua formula f′(x) = 3x² dà f′(2) = 12                  coincide

esempio 2:  f(x) = sin x in x₀ = 1
   (sin 1,001 − sin 0,999) / 0,002 = 0,540302215818
   la tua formula f′(x) = cos x dà cos 1 = 0,540302305868    coincide fino alla sesta cifra

Costa trenta secondi. Un segno invertito non si vede rileggendo il proprio foglio: si vede solo così.

Riepilogo in una pagina

Quello che nessuno ti dice

Il metodo di autoverifica numerica. Qui c'è, e raramente lo si trova insegnato, eppure è l'unica cosa che ti permette di trovare l'errore mentre sei ancora in tempo. E l'esercizio 16 mette insieme le tre categorie di candidati a massimo o minimo in un unico conto: la ricerca degli estremi ridotta a "poni f′(x) = 0" è proprio quella che ne fa perdere due su tre.