I limiti di funzione: guida completa con 17 esercizi svolti

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1) «Limite» non vuol dire confine: si parte da quello che il limite non è
2) Il limite guarda intorno al punto, non nel punto
3) Destro e sinistro: quando il limite non esiste, e i punti di discontinuità
4) I teoremi sui limiti: quello che la regola permette e quello che no
5) Le sette forme indeterminate: perché ∞ − ∞ non fa 0
6) I limiti notevoli e la gerarchia degli infiniti
7) Quale metodo uso? L'albero decisionale che nessuno ti dà
8) Gli asintoti: il motivo per cui i limiti servono davvero
9) Diciassette esercizi svolti passo passo
10) Gli errori che fanno perdere punti in verifica
11) Domande frequenti

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«Limite» non vuol dire confine: si parte da quello che il limite non è

[Quarta]

Prima ancora di aprire il libro, la parola ce l'hai già in testa. In italiano «limite» significa confine invalicabile: il limite di velocità è quello che non devi superare, il limite di età è la soglia oltre la quale non entri, il limite di spesa è il tetto della carta. Tre contesti diversi, una sola idea di fondo: una linea che non si passa.

Poi arriva analisi e ti si chiede di usare quella stessa parola per una cosa che non è una linea, non è invalicabile e molto spesso viene raggiunta eccome. Non c'è un vuoto da riempire: c'è una casella già occupata da scalzare. È il motivo per cui questo capitolo sembra ostico dalla prima riga, prima ancora dei conti.

E non è del tutto colpa tua: le definizioni che trovi in giro si prestano a essere lette male. Una pagina di didattica italiana molto frequentata, per esempio, scrive che «il limite di una funzione in un punto è il valore al quale tendono i valori della funzione quando gli input si avvicinano sempre di più a quel punto, senza mai raggiungerlo» (ilprofchecipiace.com). Presa alla lettera la frase è corretta: quel «senza mai raggiungerlo» si riferisce agli input, cioè alla x che si avvicina a x₀ senza toccarlo, ed è esattamente quello che diremo anche noi fra due paragrafi. Il guaio è che quasi nessuno la legge così: la mente aggancia «raggiungerlo» al valore del limite, e da lì nasce la formula orale che gira in mezza Italia, «il valore verso cui la funzione tende senza mai raggiungerlo». Quella versione, quella sì, è falsa, ed è la sorgente di metà degli errori che vedrai nella sezione 10.

Tre controesempi, in ordine di durezza

Primo, la funzione costante. Prendi f(x) = 3. Il suo grafico è una retta orizzontale. Il limite per x → 2 vale 3, e la funzione vale 3 in x = 2, in x = 1,9999 e in ogni altro punto della retta reale. Il limite non è "quasi raggiunto": è raggiunto sempre. Se ti sembra un cavillo da regolamento, i due che seguono non lo sono.

Secondo, f(x) = x · sen(1/x). Per x → 0 il limite è 0 (nella sezione 4 lo dimostriamo con il teorema del confronto, qui ci basta il fatto). Ora guarda dove la funzione vale zero esatto: succede ogni volta che sen(1/x) = 0, cioè quando 1/x è un multiplo di π, cioè per x = 1/(kπ). Per k = 3 ottieni x = 1/(3π) ≈ 0,106, e lì f vale 0 spaccato. Per k = 100 ottieni x ≈ 0,00318, e vale ancora 0. Ci sono infiniti punti in cui la funzione tocca il valore del limite, e stanno vicino a 0 quanto ti pare.

Terzo, sen x / x per x → +∞. Il limite è 0, e la funzione vale 0 in ogni x = π, 2π, 3π e così via: lo tocca infinite volte proprio mentre ci si avvicina. Se la funzione seno non ti è freschissima, il ripasso è nella guida su seno, coseno e tangente.

Il paletto da piantare adesso, e da rileggere ogni volta che ti blocchi:

«Tende a» descrive il movimento della x verso il punto, non un divieto imposto alla funzione. Che poi la funzione tocchi quel valore, lo superi, ci passi sopra mille volte o non ci arrivi mai, al limite non interessa.

Come leggere questa guida

Lo stesso argomento torna a due profondità diverse, e i blocchi sono marcati in testa a ogni sezione:

• [Quarta] — che cos'è un limite, intorni, definizione, verifica con la definizione, limite destro e sinistro, teoremi. Sono le sezioni 1, 2, 3 e 4.
• [Quinta] — calcolo, forme indeterminate, limiti notevoli, gerarchia degli infiniti, De l'Hôpital, asintoti. Sono le sezioni 5, 6, 7 e 8.
• Le ultime due, esercizi (sezione 9) ed errori tipici (sezione 10), servono a tutti e due gli anni: lì l'etichetta è voce per voce, cioè ciascuno dei diciassette esercizi e ciascuno degli otto errori porta scritto sotto il titolo a quale anno appartiene.

Il momento in cui li incontri dipende dalla scuola, e conviene saperlo. Nei licei i limiti sono materia di quinto anno: le Indicazioni Nazionali (decreto interministeriale 7 ottobre 2010 n. 211) mettono al quinto anno la frase «acquisirà il concetto di limite di una successione e di una funzione e apprenderà a calcolare i limiti in casi semplici». Il testo è lo stesso per scientifico, classico, linguistico e scienze umane, ma le ore no: il D.P.R. 89/2010 assegna in quinta 132 ore annue di matematica allo scientifico, cioè 4 alla settimana, e 66 al classico e al linguistico, cioè 2. Stesso programma, metà del tempo.

Negli istituti tecnici i limiti stanno nel secondo biennio, cioè in terza e quarta: le Linee guida (Direttiva MIUR 16 gennaio 2012 n. 4, pubblicate nel supplemento ordinario n. 60 alla Gazzetta Ufficiale del 30 marzo 2012) elencano fra le conoscenze del secondo biennio «Continuità e limite di una funzione. Limiti notevoli di successioni e di funzioni. Il numero e», e nell'elenco delle conoscenze del quinto anno i limiti non compaiono più.

Adesso la domanda legittima, che a questo punto viene da sola: se nei licei i limiti sono di quinta, perché questa guida ha un livello «quarta»? Perché il programma ministeriale e la pratica delle classi non coincidono. Moltissimi licei anticipano in quarta la parte introduttiva — intorni, definizione, verifica, limiti laterali — per liberare la quinta e dedicarla a derivate e integrali. Se il tuo prof sta facendo epsilon e delta a marzo di quarta, non sta sbagliando anno: sta anticipando, ed è la scelta più diffusa.

Un aggiornamento normativo, perché in questi mesi se ne parla parecchio: nell'aprile 2026 il Ministero ha messo in consultazione la bozza delle nuove Indicazioni per i licei, e sullo schema di regolamento il CSPI si è espresso a metà luglio 2026. L'entrata in vigore è prevista in modo graduale, a partire dalle classi prime, dall'anno scolastico 2027/2028: vuol dire che il programma del quinto anno — cioè proprio quello in cui stanno i limiti — continuerà a essere quello del 2010 ancora per parecchi anni. Per te, in pratica, non cambia niente.

Un prerequisito, detto senza giri: se dominio, funzione composta, funzione inversa e grafici delle funzioni elementari ti sono scivolati via, i limiti non entreranno. Dieci minuti sulla guida le funzioni in matematica ti fanno risparmiare un pomeriggio. E se ti stai chiedendo a cosa servano: i limiti sono l'attrezzo con cui si costruiscono le derivate, che arrivano subito dopo.

Tre note di notazione, da leggere adesso

sen x è sin x, e tg x è tan x. Le edizioni recenti Zanichelli (Bergamini-Barozzi-Trifone) scrivono sin x e tan x, alla maniera internazionale — la Mappa dei fondamentali del capitolo 23, edizione 2022, usa proprio sin x; la tradizione italiana e quasi tutti i formulari scrivono sen x e tg x. Sono le stesse identiche funzioni, e in giro troverai entrambe. Qui usiamo sen e tg.

Gli intervalli si scrivono con le quadre rovesciate e il punto e virgola, come ]a; b[ e ]−∞; −1[ ∪ ]1; +∞[. Se hai visto (a, b) è la convenzione anglosassone, vuol dire la stessa cosa.

Il valore assoluto, quello che i libri italiani chiamano anche modulo e stampano fra due barrette verticali, qui lo scriviamo a parole: le barrette in mezzo a un rapporto si confondono troppo facilmente con le parentesi.

Ultima riga, e poi si comincia: qui teoria ed esercizi stanno nella stessa pagina. È esattamente quello che manca in giro, dove i siti che spiegano bene non risolvono un limite e quelli pieni di limiti risolti non spiegano niente.

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Il limite guarda intorno al punto, non nel punto

[Quarta]

Seconda convinzione da scalzare, ed è la più radicata di tutte: limite uguale sostituzione. Sostituisci il numero, esce un risultato, hai finito.

Il guaio è che funziona. Negli esercizi dei primi giorni le funzioni sono continue, la sostituzione dà il risultato giusto ogni volta, e tu concludi che il limite sia il valore nel punto. Quando poi arriva la forma 0/0 non hai un metodo da correggere: hai una convinzione da smontare, che è molto più faticoso.

La tabella che la smonta

Prendi la funzione g(x) = (x² + 4x − 12)/(x² − 2x). Prima cosa, e la facciamo subito perché sarà la regola di sopravvivenza di tutto il capitolo: si scrive il dominio. Il denominatore è x(x − 2), che si annulla in x = 0 e in x = 2, quindi g è definita per x ≠ 0 e x ≠ 2. Adesso imponiamo a parte g(2) = 6. È legittimo: una funzione la definisci come vuoi, e il valore 6 lo scegliamo noi.


I valori si stringono attorno a 4, da destra e da sinistra. Il 6 non compare, non si affaccia, non c'entra niente: sta lì da solo, in un punto isolato che nessun avvicinamento riesce a vedere.

Il motivo si vede scomponendo: x² + 4x − 12 = (x + 6)(x − 2) e x² − 2x = x(x − 2). Per x ≠ 2 puoi semplificare il fattore (x − 2), e resta (x + 6)/x, che in 2 vale 8/2 = 4. Se le scomposizioni ti fanno tribolare, il ripasso è su prodotti notevoli e equazioni di secondo grado.

Ora il caso speculare, che chiude la tenaglia. Il limite per x → 0 di sen x / x vale 1, e in x = 0 quella funzione non è definita: 0/0 non è un numero. Stessa storia per (x² − 1)/(x − 1), che per x → 1 tende a 2 mentre in x = 1 non esiste.

Chi le fonde ha memorizzato un fatto — "di solito basta sostituire" — invece di un meccanismo. Ecco le quattro combinazioni, tutte reali:


I nomi delle ultime tre righe sono per ora solo etichette: eliminabile, prima specie, seconda specie, e la differenza fra discontinuità e singolarità — che dipende da una cosa sola, se il punto sta o no nel dominio — li smontiamo uno per uno nella sezione 3. Se adesso non ti dicono niente, va bene così: qui serve solo vedere che le quattro combinazioni esistono davvero tutte.

Gli intorni: l'attrezzo con cui si dice «vicino»

Per parlare di "vicino" senza gesticolare serve una parola sola. Fissato un raggio δ > 0:

Guarda bene la seconda riga, perché è l'anello che quasi tutte le spiegazioni saltano. L'intorno completo x₀ ce l'ha dentro: è un intervallo aperto centrato in x₀, punto compreso. Ma il limite non deve sapere niente di quello che succede nel punto, e allora nella definizione si usa l'intorno bucato, cioè l'intorno completo a cui è stato tolto x₀. È questa, e non altro, la traduzione formale di "guardo attorno al punto, non nel punto". Se nel tuo libro la definizione dice «per ogni x dell'intorno di x₀, escluso x₀», quel "escluso x₀" non è una precisazione da avvocati: sta bucando l'intorno. Anche gli intorni destro e sinistro sono già bucati per costruzione, perché x₀ non appartiene a nessuno dei due.

Da qui i quattro casi che il tuo libro tratta uno per volta, e che è utile vedere subito insieme al loro significato grafico — il ponte fra limite e disegno è la cosa che nessuna guida italiana chiude, e qui la chiudiamo.


Se le coordinate e le rette ti servono da ripassare, ci sono il piano cartesiano e la retta; gli asintoti li smontiamo per bene nella sezione 8.

Avvertenza sui libri, perché qui si generano parecchi «non capisco». I manuali italiani impostano questi quattro casi in due modi diversi, e la differenza è di struttura, non di matematica. Alcuni li presentano come quattro paragrafi separati, ciascuno con la sua definizione e la sua verifica: prima limite finito per x che tende a un numero, poi limite infinito, poi limite finito all'infinito, poi limite infinito all'infinito. Altri danno una definizione generale unica, formulata con gli intorni, e ne fanno discendere i quattro casi come specializzazioni. Il primo impianto è più operativo, il secondo più economico; se quello che leggi online non somiglia al tuo libro, prima di concludere che uno dei due sbaglia controlla se non sia semplicemente l'altro impianto.

ε e δ, spiegati al contrario di come li scrivono i manuali

Sui forum di studenti la lamentela ricorrente su questo punto è sempre la stessa: più si leggono le definizioni dei limiti e meno si capiscono, perché sembrano tutte contorte. È la fotografia del problema. Il punto è che la definizione va letta in ordine inverso rispetto a come è stampata.

Nel caso del limite finito l per x → x₀, la definizione dice: comunque venga fissato ε > 0, deve esistere un δ > 0 tale che per ogni x dell'intorno bucato ]x₀ − δ; x₀ + δ[ privato di x₀ valga

Il nodo vero è che ε ha un doppio ruolo: nei conti lo tratti come un numero, ma la definizione parla di tutti i numeri positivi. È lì che ci si blocca, e non è un tuo difetto: la ricerca didattica lo segnala da decenni.

E adesso la mossa pratica che scioglie il nodo, perché diagnosticarlo e basta non serve a niente. Nei conti ε resta una lettera: non gli dai mai un valore. Porti avanti la disequazione con la lettera dentro, e alla fine ottieni un δ scritto in funzione di ε — per esempio δ = ε/3, come nell'esempio qui sotto. È proprio quella formula il punto di arrivo: siccome funziona qualunque numero positivo tu metta al posto di ε, hai dimostrato in un colpo solo l'enunciato «per ogni ε esiste un δ». Il doppio ruolo di ε non si risolve scegliendo: si risolve non scegliendo mai, e consegnando alla fine una ricetta δ = δ(ε).

Quanto ti serve davvero, detto onestamente. La definizione formale sta in tutti i manuali, ma nessun documento ministeriale la prescrive: le Indicazioni chiedono di «calcolare i limiti in casi semplici», e il Quadro di riferimento della seconda prova (D.M. 26 novembre 2018 n. 769) chiede di «discutere l'esistenza e determinare il valore del limite» — mai di verificarlo con la definizione. Le programmazioni d'istituto invece sì: la Programmazione didattica per competenze di Matematica classe 5ª Liceo Scientifico del Liceo Marconi di Colleferro elenca fra le abilità «Verificare i limiti, in casi semplici, applicando la definizione», e la programmazione di dipartimento del Liceo Copernico, approvata il 4 settembre 2025, mette fra le abilità «Verificare il limite di una funzione mediante la definizione». Tradotto: all'esame quasi certamente no, al compito in classe di quarta molto probabilmente sì.

La verifica come procedura, svolta per intero

Verificare un limite non è dimostrare niente: è risolvere una disequazione e controllare che fra le soluzioni ci sia un intorno di x₀. Il dubbio che riempie i forum è uno solo, quando si interseca e quando si unisce, e la risposta è meccanica:

• limite finito: la condizione è la doppia disequazione l − ε < f(x) < l + ε, cioè due disequazioni che devono valere insieme. Sistema, quindi intersezione.
• limite infinito senza segno: la condizione è f(x) > M oppure f(x) < −M, perché basta che il valore sia lontano da zero da una delle due parti. Quindi unione.

La regola generale è quella dei valori assoluti che conosci già: minore di un numero dà un sistema, maggiore di un numero dà un'unione. Se il meccanismo è arrugginito, sta nella guida sulle disequazioni di secondo grado.

E adesso la procedura svolta su un caso vero, perché una procedura raccontata e mai eseguita non è una procedura. Verifichiamo che il limite per x → 2 di 3x − 1 vale 5.

Passo 1 — si scrive la condizione. Deve valere 5 − ε < 3x − 1 < 5 + ε, per un ε > 0 fissato ma qualunque.

Passo 2 — si risolve la doppia disequazione. Sommo 1 dappertutto: 6 − ε < 3x < 6 + ε. Divido per 3, che è positivo e quindi non cambia i versi: 2 − ε/3 < x < 2 + ε/3.

Passo 3 — si legge il risultato. L'insieme delle soluzioni è esattamente l'intervallo ]2 − ε/3; 2 + ε/3[, cioè un intorno completo di 2 di raggio ε/3. Quindi δ = ε/3, e la verifica è finita: qualunque ε mi venga chiesto, so costruire il δ che lo soddisfa.

Prova col numero, per capire cosa hai appena scritto. Se l'avversario chiede ε = 0,03, tu rispondi δ = 0,01: per ogni x fra 1,99 e 2,01, il valore di 3x − 1 sta fra 4,97 e 5,03. Se chiede ε = 0,000003, tu rispondi δ = 0,000001. Non c'è un ε che ti metta in difficoltà, ed è questo il senso della formula.

Ultima accortezza, che vale un punto: alla fine l'insieme delle soluzioni deve contenere un intorno di x₀, non necessariamente coincidere con esso. Qui coincideva perché la funzione era una retta; con funzioni meno gentili ti ritrovi un insieme più grande, e va benissimo lo stesso — basta che dentro ci stia un intorno di x₀. Un esercizio completo di verifica lo trovi in fondo, è l'esercizio 17.

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Destro e sinistro: quando il limite non esiste, e i punti di discontinuità

[Quarta]

C'è una confusione che si vede in ogni compito corretto: «il limite non esiste» e «il limite è infinito» finiscono nella stessa casella mentale, perché in tutti e due i casi "non viene un numero". Sono due situazioni diverse, e tenerle separate è metà del lavoro di questa sezione.


Guarda la seconda e la terza riga, perché smontano due idee sbagliate opposte. 1/x non ha limite in 0 pur essendo illimitata: il valore assoluto scappa a +∞ da tutte e due le parti, ma i segni sono discordi e non c'è un unico comportamento. sen(1/x) non ha limite in 0 pur restando sempre compresa fra −1 e 1: non può essere infinita, semplicemente non si decide. Per e^(1/x) il conto è immediato se ricordi come si comporta l'esponenziale (guida su logaritmi ed esponenziali): da destra 1/x → +∞ e quindi e^(1/x) → +∞, da sinistra 1/x → −∞ e quindi e^(1/x) → 0.

Fissa adesso la seconda riga, perché è il caso che tornerà più spesso di tutti in questa guida — lo ritroverai nelle sezioni 4, 5, 7 e 8 e due volte fra gli errori della sezione 10 — e vale la metà dei punti persi sugli asintoti: il fatto che il valore assoluto di una funzione diverga non basta a dire che il limite è infinito. Se i due laterali divergono con lo stesso segno, il limite esiste e vale +∞ oppure −∞. Se divergono con segni opposti, come per 1/x in 0, il limite bilatero non esiste, e la risposta corretta al compito è scrivere i due laterali separatamente.

Nota di lessico, perché il tuo prof potrebbe insistere. Molti libri dicono che una funzione con limite infinito diverge, e riservano converge al caso del limite finito. Alcuni testi arrivano a dire che in quel caso il limite "non esiste finito". Non è una contraddizione: è una convenzione sulla parola esistere. Quello che conta è che +∞ è un comportamento determinato, mentre l'oscillazione di sen(1/x) non lo è.

Il teorema di raccordo

Tutti i libri lo danno identico, ed è l'unico criterio che serve:

"Se e solo se" va preso alla lettera in tutte e due le direzioni: se i due laterali coincidono il limite c'è, e se il limite c'è i due laterali coincidono. Quindi trovare due laterali diversi non è un mezzo indizio: è la prova conclusa che il limite non esiste.

L'esempio numerico completo

Calcoliamo, se esiste, il limite per x → 2 di (x² − 4) diviso il valore assoluto di (x − 2).

Il valore assoluto va spezzato secondo il segno di quello che ha dentro:

• per x > 2 vale x − 2
• per x < 2 vale −(x − 2), cioè 2 − x

E il numeratore si scompone: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Adesso i due conti separati, tenendo presente che in entrambi x ≠ 2, quindi il fattore (x − 2) si può semplificare.

Da destra, con x → 2⁺:

Da sinistra, con x → 2⁻:

Controllo numerico, quello che puoi rifare in dieci secondi: per x = 2,01 il rapporto vale (4,0401 − 4)/0,01 = 4,01; per x = 1,99 vale (3,9601 − 4)/0,01 = −3,99.

Risposta corretta: il limite non esiste. Esistono i due limiti laterali, che valgono 4 e −4. E attenzione a come lo scrivi: «il limite è ±4» non significa nulla, è la risposta che fa perdere il punto anche quando i due conti sono giusti. Un limite è un valore solo, per il teorema di unicità della sezione 4.

I punti di discontinuità si classificano proprio con i due laterali

Qui c'è la buona notizia del capitolo: non devi imparare una tassonomia nuova. Le specie di discontinuità sono i casi del teorema di raccordo, riletti.


Attenzione a una distinzione che in verifica si paga. Parecchi libri riservano la parola discontinuità ai punti che stanno nel dominio della funzione, e chiamano singolarità i punti in cui la funzione non è definita. È esattamente quello che fa la Mappa dei fondamentali del capitolo 23 di Zanichelli (edizione 2022, estensione online dei corsi Bergamini-Barozzi-Trifone), che dopo aver classificato le tre specie aggiunge: se le stesse condizioni sui limiti si applicano a un punto x₀ che non appartiene al dominio di f(x) ma è di accumulazione per esso, si parla di punto di singolarità.

Punto di accumulazione, visto che la parola serve qui e da nessun'altra parte: x₀ è di accumulazione per il dominio se in ogni intorno di x₀, per quanto stretto lo prendi, cadono punti del dominio diversi da x₀. Tradotto: la funzione, pur non esistendo in x₀, esiste arbitrariamente vicino a x₀, e quindi la domanda «dove si ammassano i valori quando mi avvicino?» ha senso. È la condizione minima perché si possa parlare di limite in quel punto: in x = 0 la funzione 1/x non c'è, ma c'è in tutti i punti attorno, quindi 0 è di accumulazione. Se invece prendi una funzione definita solo su ]3; +∞[, il punto x = 1 non è di accumulazione per quel dominio — attorno a 1 non c'è funzione — e chiedere il limite lì non è sbagliato, è una domanda vuota.

Con questa convenzione 1/x, sen(1/x) ed e^(1/x) in x = 0, e anche (x² − 1)/(x − 1) in x = 1, sono singolarità e non discontinuità, perché in quei punti la funzione proprio non c'è. La g(x) della sezione 2 invece è una vera discontinuità eliminabile, perché g(2) esiste e vale 6. Il comportamento dei due laterali non cambia, il nome sì: guarda come lo chiama il tuo libro e usa quella parola.

Anche il salto ha un'ampiezza — discontinuità di prima specie se il punto sta nel dominio, singolarità di prima specie se non ci sta — ed è la differenza fra i due laterali: nel caso di (x² − 4) diviso il valore assoluto di (x − 2), che in x = 2 non è definita e che quindi con la convenzione appena vista è una singolarità di prima specie, i laterali valgono 4 e −4 e il salto misura 4 − (−4) = 8. Nella specie eliminabile l'aggettivo è letterale: basta ridefinire la funzione nel punto, ponendo g(2) = 4 invece di 6, e la discontinuità sparisce. Nessuna ridefinizione può invece aggiustare un salto o un asintoto.

I nomi e la numerazione non sono uniformi fra i libri: qualcuno chiama la terza semplicemente "eliminabile" senza numerarla, qualcuno parla di "discontinuità di tipo salto". Non ti perdere dietro alla nomenclatura: quello che i due limiti laterali fanno non cambia da libro a libro, ed è l'unica cosa che ti viene chiesto di riconoscere.

Prima di tutto, però, si legge il dominio

Un limite laterale ha senso solo se da quella parte c'è funzione. Due casi che tornano ogni anno:

• il limite per x → 0 di √x esiste solo da destra, perché a sinistra di 0 la radice quadrata non è definita, e vale 0;
• il limite per x → 0 di ln x esiste solo da destra, e vale −∞: il logaritmo precipita, non tende a zero.

Chiedere il limite bilatero in questi punti non è sbagliare un conto, è porre una domanda senza senso. La regola operativa è quella che ti salva in verifica: scrivi il dominio prima di scrivere il primo limite, sempre. Nella sezione 7 è il primo nodo dell'albero decisionale; nella sezione 9 lo vedrai applicato all'esercizio 11, dove il dominio dice dove cercare gli asintoti verticali, e all'esercizio 16, che è un limite unilaterale imposto proprio dal dominio (sono due esercizi marcati [Quinta], perché ci si aggancia il discorso sugli asintoti: se sei in quarta guarda solo la prima mossa, quella del dominio).

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I teoremi sui limiti: quello che la regola permette e quello che no

[Quarta]

Cominciamo da un errore che sembra innocuo e non lo è, perché è lo stesso identico errore logico che più avanti farà sbagliare De l'Hôpital.

Considera la funzione h(x) = sen(1/x) − sen(1/x). È la differenza di due termini uguali, quindi vale 0 per ogni x ≠ 0, e il suo limite per x → 0 è 0. Fin qui niente di strano. Il problema è che nessuno dei due addendi ha limite per x → 0: sen(1/x) oscilla, come hai visto nella sezione 3. Quindi qui il limite della somma esiste mentre i limiti dei pezzi non esistono.

Ricordatelo, perché è la stessa struttura logica di De l'Hôpital nella sezione 7: un'implicazione in una direzione sola, che quasi tutti usano in tutte e due.

Unicità: il teorema che rende sensata la parola «il»

Sembra una formalità e invece è lo strumento con cui si dimostra che un limite non esiste: basta esibire due comportamenti diversi lungo l'avvicinamento, e l'unicità li dichiara incompatibili. È esattamente il ragionamento della sezione 3: il rapporto fra (x² − 4) e il valore assoluto di (x − 2) tende a −4 da sinistra e a 4 da destra, due numeri diversi, quindi un limite unico non può esserci e il limite non esiste. Ed è anche il motivo per cui «il limite è ±4» non è una risposta: la risposta corretta è che il limite non esiste, e che i laterali valgono 4 e −4.

Permanenza del segno, e il suo rovescio che vale meno di quanto sembra

Serve più di quanto si creda: è la garanzia teorica dietro a un gesto che farai in ogni esercizio sugli asintoti, cioè decidere il segno con cui il denominatore tende a zero. Se il numeratore tende a 3, in un intorno del punto è positivo, e questo ti autorizza a leggere il segno del rapporto guardando solo il denominatore (esercizio 11 della sezione 9).

E adesso il rovescio, che è il vero contenuto di questa sezione. Vale anche il teorema inverso, ma in forma indebolita: se f(x) > 0 in un intorno del punto e il limite esiste, allora il limite è maggiore o uguale a zero, non maggiore. Controesempio secco: f(x) = x² è strettamente positiva per ogni x ≠ 0, eppure il suo limite per x → 0 è 0. La disuguaglianza stretta non sopravvive al passaggio al limite. Chi la conserva sta applicando una regola che il teorema non concede.

Teorema del confronto, detto dei carabinieri

Quel "privato di x₀" non è pignoleria: senza di esso l'ipotesi sarebbe falsa proprio nell'esempio che stiamo per fare, dove la funzione in mezzo in x = 0 nemmeno esiste. Il nome dice il meccanismo: due funzioni che convergono allo stesso valore stringono in mezzo la terza e non le lasciano scampo. Applichiamolo alla funzione della sezione 1, così quell'esempio smette di essere un racconto e diventa un fatto dimostrato.

Per ogni x ≠ 0 si ha −1 ≤ sen(1/x) ≤ 1, perché il seno sta sempre lì dentro, qualunque cosa gli metti come argomento. Moltiplicando per x il verso delle disuguaglianze cambierebbe a seconda del segno di x, quindi si usa il valore assoluto e si scrive:

Le due funzioni ai lati tendono entrambe a 0 per x → 0. Il carabiniere di destra e quello di sinistra si chiudono sullo zero, e in mezzo x · sen(1/x) non può fare altro che tendere a 0. Lo stesso teorema, con la catena cos x < sen x / x < 1 valida per 0 < (valore assoluto di x) < π/2, è quello con cui nella sezione 6 dimostriamo per intero il primo limite notevole: non è uno strumento decorativo da orale, è il motore di mezzo capitolo.

La tabella delle operazioni: le righe che valgono sempre

Con l e m numeri finiti:


Due avvertenze sulle righe con lo zero. 0⁺ non è un numero: è l'abbreviazione per "tende a zero restando positivo". E il segno di quello zero è metà dell'informazione, perché è l'unica cosa che distingue +∞ da −∞ in un asintoto verticale. Seconda avvertenza: 5/0 non è una forma indeterminata. Le due righe della tabella con lo 0⁺ e lo 0⁻ lo dicono già: se sopra c'è un numero diverso da zero e sotto una quantità che tende a zero con segno noto, il risultato è un infinito con segno. Se il segno del denominatore non è lo stesso da destra e da sinistra, invece, i due laterali danno +∞ e −∞ e il limite bilatero non esiste: la tabella non ha una riga per quel caso perché non è un'operazione, è una risposta che devi comporre tu con i due laterali. Indeterminata è 0/0, dove entrambi si annullano e bisogna vedere chi dei due va a zero più in fretta.

Nota di notazione utile, e l'unica insidia che nasconde. La Mappa dei fondamentali del capitolo 23 di Zanichelli riassume con la scrittura x → a tutti e cinque i casi possibili (x → x₀, x → x₀⁺, x → x₀⁻, x → +∞, x → −∞): serve a non ripetere cinque volte la stessa tabella, ed è comodissima. Attenzione però a non estenderla al risultato: davanti a un limite infinito il segno va scritto. Qualche testo e qualche prof usa la scrittura senza segno, per esempio lim = ∞, come abbreviazione di "diverge", e in un contesto in cui il segno è irrilevante ci sta; ma è un'abbreviazione, non una risposta. Il caso che ti frega è sempre lo stesso, ed è il limite più frequente di tutto il capitolo: per lim x→0 di 1/x la risposta da dare in compito è quella della sezione 3, cioè che il limite bilatero non esiste, perché i due laterali sono −∞ e +∞. Se invece scrivi lim x→0 di 1/x² = +∞ sei a posto, perché lì i due laterali coincidono. Regola unica da portarsi via: il segno si scrive sempre, e se i due segni non coincidono la risposta è "non esiste".

Le caselle vuote sono contate

Nella tabella qui sopra le caselle vuote sono quattro: +∞ − ∞, 0 · ∞, 0/0, ∞/∞. Altre tre nascono dalle potenze, cioè dai limiti della forma f(x) elevato a g(x): 0⁰, ∞⁰ e 1^∞.

Sette in tutto. Non sono buchi lasciati per pigrizia degli autori: sono i casi in cui il teorema, onestamente, non può dire nulla conoscendo solo i due limiti separati, perché il risultato dipende da come i due pezzi vanno a zero o all'infinito. Hanno un nome — forme indeterminate, o forme di indecisione a seconda del libro — e sono l'argomento della sezione 5.

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Le sette forme indeterminate: perché ∞ − ∞ non fa 0

[Quinta]

Ci sono due domande che arrivano in ogni classe appena si mette il naso in questo capitolo, e arrivano sempre nella stessa forma: «infinito meno infinito quanto fa?» e «zero su zero quanto fa?». Spesso arrivano già con una risposta attaccata — «fa 0», «fa 1» — cioè da uno studente che cerca una conferma per qualcosa che ha già scritto sul quaderno.

Quelle domande sono mal poste, e conviene dire subito perché. «Quanto fa» presuppone un'operazione con un risultato. Ma ∞ − ∞ e 0/0 non sono operazioni: sono etichette di situazioni. Dicono una cosa sola, e la dicono su di te, non sulla funzione: con la sola sostituzione, da qui non concludi niente; servono altre informazioni. La prova è che la stessa etichetta copre risultati diversissimi.

Cinque limiti ∞ − ∞, cinque risposte diverse

Tutti per x → +∞, tutti differenze fra due quantità che tendono entrambe a +∞:

Solo il quarto richiede un conto, e lo facciamo per intero perché il passaggio che quasi tutti saltano è proprio quello finale. Si moltiplica e si divide per il coniugato √(x² + x) + x, che è la solita differenza di quadrati dei prodotti notevoli: sopra resta (x² + x) − x² = x, quindi il limite diventa

che però adesso è una forma ∞/∞: non hai finito, hai cambiato problema. Secondo passaggio: si raccoglie x. Sotto radice si raccoglie x², che uscendo dà x (siamo a +∞, quindi x è positiva e il valore assoluto non dà fastidio), e resta

Verifica numerica, per fidarsi: a x = 1 000 000 la differenza vale 0,500000. Lo stesso schema, con i numeri di un altro esempio, è svolto passo per passo nell'esercizio 7.

Cinque esiti: un numero, +∞, −∞, un altro numero, e un limite che non esiste. Se ∞ − ∞ fosse un'operazione dovrebbe dare sempre la stessa cosa. Non lo fa. Quindi non è un'operazione: è il nome di un problema ancora aperto.

Stessa raffica per 0/0

Tutti per x → 0, tutti rapporti in cui sopra e sotto tendono a zero:


L'ultimo, a x = 0,001, vale 0,500000. Cinque volte la stessa faccia, cinque risposte diverse: la forma non è il risultato, è la domanda.

L'aritmetica che chiude il discorso, e i due piani da non confondere

Scrivere 0/0 = q significherebbe q · 0 = 0. Quell'uguaglianza è vera per ogni q. Non c'è nessun risultato perché ce ne sono infiniti: ecco cosa vuol dire indeterminato, e nota bene che indeterminato non vuol dire impossibile.

Confronto utile: 6/0 = q vorrebbe dire q · 0 = 6, e nessun q funziona. Come operazione fra numeri, 6/0 non esiste: è indefinita, o impossibile, e lì non c'è proprio niente da determinare.

E qui va detta una volta sola la cosa che manda in cortocircuito mezza classe, perché sembra che il libro dica due cose opposte a due pagine di distanza. Sono due piani diversi.

Terzo punto, ed è quello che costa più punti: 5/0 non è affatto una forma indeterminata, ma non è nemmeno una risposta finita. Se sostituendo trovi un numero diverso da zero sopra e zero sotto, il limite non è dubbio, ma devi ancora fare un pezzo di lavoro: calcolare i due limiti laterali, studiando il segno del denominatore a destra e a sinistra del punto.

• Se i due laterali hanno lo stesso segno, il limite esiste e vale +∞ oppure −∞. Esempio: 1/x² in 0, che vale +∞ da entrambe le parti.
• Se hanno segno opposto, il limite bilatero non esiste, e la risposta corretta è scrivere separatamente i due laterali. Esempio: 1/x in 0, che dà −∞ da sinistra e +∞ da destra. È anche il caso dell'esercizio 11, dove nei punti x = 1 e x = 3 la funzione va a +∞ da un lato e a −∞ dall'altro.

In tutti e due i casi, comunque, la retta verticale è un asintoto (sezione 8): per dichiarare l'asintoto basta che almeno uno dei due laterali sia infinito. Chi scrive «forma indeterminata» davanti a 3/0 si ferma un passo prima; chi scrive «il limite è infinito» senza guardare i due lati si ferma un passo dopo il necessario, e sull'esercizio 11 sbaglia la risposta.

Le sette, nell'ordine in cui le trova il tuo libro

La Mappa dei fondamentali del capitolo 23 di Zanichelli (edizione 2022, estensione online dei corsi Bergamini-Barozzi-Trifone) le elenca così:

Sono sette, e fin qui lo dicono tutti. Quello che nessuno dice è che non pesano uguale, e sapere quanto pesano ti dice cosa studiare stasera:

• +∞ − ∞, 0 · ∞, ∞/∞, 0/0 si affrontano con l'algebra, prima ancora di aver visto le derivate: scomposizioni, raccoglimenti, coniugati, confronto dei gradi, limiti notevoli. Sono il grosso del programma e il grosso dei compiti in classe.
• 1^∞ non si attacca con una tecnica generale: si riporta al limite notevole di Nepero, quello che definisce il numero e (sezione 6).
• 0⁰ e ∞⁰ sono le più marginali. Arrivano solo dopo De l'Hôpital, si trattano passando ai logaritmi, e molte programmazioni si fermano prima: la programmazione di dipartimento del Liceo Copernico, approvata il 4 settembre 2025, prevede le regole di De l'Hospital per le forme del tipo [0/0] e [∞/∞], e basta.

Come le chiama il tuo libro (perché non le chiamano tutti allo stesso modo)

Qui la confusione è reale e cade proprio fra i due manuali più diffusi in Italia, che sono il Bergamini-Barozzi-Trifone di Zanichelli e il Sasso-Zanone di DeA-Petrini. Zanichelli intitola il paragrafo Forme indeterminate — è il titolo che compare anche nella Mappa dei fondamentali del capitolo 23. Sasso-Zanone le chiama forme di indecisione. In giro trovi anche forme di indeterminazione, e nelle programmazioni scolastiche la scrittura fra parentesi quadre: la programmazione del Liceo Copernico, per esempio, scrive «forme indeterminate del tipo [0/0] e [∞/∞]». Sono la stessa identica cosa. E la faglia non è nemmeno netta fra editori: le due espressioni convivono di frequente, anche nello stesso corso, perché indecisione si è diffusa soprattutto nei paragrafi su De l'Hospital mentre indeterminata resta nei titoli. Se all'orale ti chiedono le forme di indecisione, non ti stanno chiedendo niente di nuovo.

E infine 1^∞, la più subdola di tutte

Quasi tutti rispondono 1, ragionando così: la base tende a 1, e 1 elevato a qualunque cosa fa 1. Guarda i numeri:

Stessa base che tende a 1, stesso esponente che tende a +∞, risultati diversi. Il motivo è che la base non è 1: ci si avvicina, e resta uno scarto piccolissimo che l'esponente, crescendo, amplifica. Raddoppiare l'esponente non lascia il risultato dov'era, lo eleva al quadrato.

Regola operativa da portarsi via: quando la sostituzione produce una delle sette, non hai sbagliato niente. Hai solo finito il passo zero, e comincia il lavoro vero — che è scegliere la tecnica (sezione 7).

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I limiti notevoli e la gerarchia degli infiniti

[Quinta]

Prima cosa, perché il nome inganna: «notevole» non vuol dire difficile, vuol dire degno di nota, cioè che torna continuamente. Non sono limiti speciali per studenti bravi: sono i pochi mattoni con cui si costruiscono quasi tutti gli altri.

Gli otto della lista Zanichelli

La Mappa dei fondamentali del capitolo 23 (Zanichelli, 2022) li divide in due blocchi, e li riporto nella stessa divisione perché è quella che troverai sul libro.

Funzioni goniometriche, tutti per x → 0:

Funzioni esponenziali e logaritmiche:

Gli ultimi cinque hanno più senso se hai fresca la guida su logaritmi ed esponenziali, i primi tre se hai fresca quella su seno, coseno e tangente.

Nota di notazione, da leggere adesso. Le edizioni recenti Zanichelli scrivono sin x e tan x, all'internazionale; la tradizione italiana scrive sen x e tg x, e la trovi nei formulari e in molte lavagne. Sono la stessa funzione. Qui usiamo sen.

Otto formule o due? Dipende dal libro, e cambia cosa devi memorizzare

Questa differenza non è cosmetica ed è utile conoscerla. Zanichelli li presenta come elenco piatto di otto. Un'altra tradizione, quella che fa capo al corso di Sasso, parla invece dei «due limiti notevoli» — sen x / x e (1 + 1/x)^x — e considera tutti gli altri derivati da quei due; la trovi ripresa in alcuni documenti di scuola. Due esempi concreti, e sono due cose diverse, quindi vale la pena distinguerli: il programma svolto di una classe quinta dell'IIS Niccolò Machiavelli di Pioltello, anno scolastico 2019-2020 (testo in adozione: Sasso, La matematica a colori, DeA Petrini), elenca «I due limiti notevoli e limiti ad essi riconducibili»; la programmazione di dipartimento del Liceo Copernico, approvata il 4 settembre 2025, mette fra le conoscenze «I due limiti notevoli e le loro conseguenze» e fra le abilità «Saper dimostrare il primo limite notevole».

Tradotto in pratica: se il tuo prof segue il secondo impianto, imparare gli otto a memoria non basta, perché all'orale ti chiederà da dove escono. Se segue il primo, la lista è la lista.

E quali sono «i due» da sapere senza esitare? Attenzione, perché la domanda ha due risposte diverse a seconda di chi la fa, e non è una contraddizione:

• i due generatori dell'impianto Sasso, cioè quelli da cui si ricavano tutti gli altri, sono sen x / x e (1 + 1/x)^x;
• i due nominati dal Quadro di riferimento della seconda prova (D.M. 769/2018) sono sen x / x e (e^x − 1)/x.

Sono criteri che rispondono a domande diverse: il primo è "da quali due si deduce il resto", il secondo è "quali due ti vengono chiesti all'esame". Nella pratica: quelli da sapere a occhi chiusi sono tre, sen x / x, (1 + 1/x)^x e (e^x − 1)/x.

La dimostrazione del primo limite notevole

Il Copernico chiede di saperla dimostrare, e con l'impianto «due limiti notevoli» all'orale te la chiedono comunque. È corta, e usa solo il teorema del confronto della sezione 4.

Si lavora sulla circonferenza goniometrica di raggio 1, con x un angolo in radianti tale che 0 < x < π/2. Su quella figura ci sono tre aree in fila, una dentro l'altra:

Perché fra un attimo il minore-o-uguale diventa un minore stretto, e conviene dirlo prima che tu lo veda cambiare da solo. Le tre figure sono una dentro l'altra, e la scrittura con ≤ è quella prudente, che resta vera anche nel caso limite x = 0, dove le tre aree valgono tutte 0 e sono quindi uguali fra loro. Ma noi abbiamo chiesto 0 < x < π/2: lì il triangolo piccolo è una parte propria del settore e il settore una parte propria del triangolo grande, cioè ogni figura ne avanza un pezzo di area non nulla rispetto alla precedente. Con l'uguaglianza esclusa, le disuguaglianze sono strette, ed è la versione stretta che ci serve, perché fra due passaggi divideremo per sen x e passeremo ai reciproci.

Coi conti fatti, dunque (il settore di raggio 1 e ampiezza x ha area x/2):

Primo passaggio. Moltiplico tutto per 2: sen x < x < tg x.

Secondo passaggio. Divido tutto per sen x, che in quell'intervallo è positivo e quindi non cambia i versi: 1 < x/sen x < 1/cos x.

Terzo passaggio. Passo ai reciproci, che rovescia i versi: cos x < sen x / x < 1.

Ecco la catena. Adesso i carabinieri: per x → 0 il termine di sinistra tende a cos 0 = 1 e quello di destra è costantemente 1, quindi anche il termine in mezzo è costretto a tendere a 1.

Manca solo il lato negativo. Ma sen x / x è una funzione pari — sostituendo −x al posto di x si ottiene sen(−x)/(−x) = (−sen x)/(−x) = sen x / x — quindi il limite da sinistra è uguale a quello da destra, ed è ancora 1. Nota che la catena cos x < sen x / x < 1 vale per 0 < (valore assoluto di x) < π/2, non per ogni x: fuori da quell'intervallo scriverla è un errore.

Le tre condizioni d'uso, che sono il vero contenuto di questa sezione

Il limite notevole è uno strumento con il libretto di istruzioni, e i tre errori qui sotto sono i più costosi del capitolo.

1. L'argomento sopra e sotto deve essere lo stesso. Il limite dice sen(qualcosa)/(quello stesso qualcosa) → 1. Quindi:

perché sen(3x)/x = 3 · sen(3x)/(3x), e il secondo fattore tende a 1. Verifica numerica: a x = 0,001 il rapporto vale 2,999996. Chi risponde 1 ha memorizzato la faccia della formula, non il meccanismo.

2. Il punto deve essere quello giusto. sen x / x tende a 1 solo per x → 0. Per x → +∞ il numeratore resta compreso fra −1 e 1 mentre il denominatore esplode, quindi il limite è 0. È un errore comunissimo e ha una diagnosi semplice: prima di scrivere «notevole», guarda sotto la scritta lim e controlla dove tende la x.

3. La calcolatrice deve stare in radianti. In modalità DEG, sen x / x per x → 0 non tende a 1 ma a π/180 = 0,017453 (a x = 1 grado dà 0,017452). È l'errore peggiore di tutti, perché non ti fa sbagliare il conto: ti fa confermare un conto sbagliato. Se «verifichi col numerico» e ti esce 0,0174, non hai smentito il limite notevole, hai la calcolatrice in gradi.

Il set allargato, che potrebbe non essere sul tuo libro

Nei formulari italiani circolano altri limiti chiamati notevoli. Non sono nella mappa Zanichelli, quindi prima di usarli in verifica controlla che ci siano sul tuo testo:

Il quarto è il limite di Nepero riscritto con la sostituzione x = 1/t: stessa cosa, altra faccia.

La gerarchia degli infiniti

Serve quando in uno stesso limite convivono famiglie diverse di funzioni, e il confronto dei gradi non si applica più. Per x → +∞, dal più lento al più veloce:

Quindi lim per x → +∞ di (ln x)/x = 0, e lim per x → +∞ di x¹⁰⁰/e^x = 0: sì, anche con l'esponente 100, perché la potenza ha un grado fisso e l'esponenziale no. Per le successioni la catena continua: il fattoriale n! batte ogni esponenziale, e n^n batte il fattoriale. Un esercizio svolto su questa riga è l'esercizio 14.

Avvertenza che salva i compiti: per x → −∞ la gerarchia si ribalta, perché e^x non è più un infinito, è un infinitesimo, e per giunta più forte di quanto qualsiasi potenza sia infinito. Risultato: lim per x → −∞ di x² · e^x = 0. Applicare meccanicamente «l'esponenziale vince» senza guardare da che parte va la x è l'errore 6 della sezione 10.

Nota d'esame. Il Quadro di riferimento della seconda prova (D.M. 769/2018) non elenca otto limiti notevoli: fra gli obiettivi cita per nome soltanto quelli, per x che tende a 0, di sen(x)/x e (e^x − 1)/x, «e limiti ad essi riconducibili». Quelle tre parole finali sono tutto il lavoro: riconducibili vuol dire che l'adattamento dell'argomento è compito tuo.

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Quale metodo uso? L'albero decisionale che nessuno ti dà

[Quinta]

Questa è la domanda che nessuna guida italiana serve davvero. Ecco come suona, nelle parole di chi la fa — il post è del 2 giugno 2016 e sta nella sezione universitaria di forum.skuola.net, quella di Analisi matematica di base, quindi l'«esame» di cui parla è un esame di Analisi I e non la maturità; ma la domanda è identica parola per parola a quella che ti stai facendo tu in quarta o in quinta:

L'iter c'è. Non è esperienza mistica: è una decisione in due mosse.

Passo zero, sempre lo stesso: dominio, poi sostituisci

Prima ancora del limite, guarda il dominio: lim per x → 0 di ln x ha senso solo da destra, e lo stesso vale per la radice quadrata. Poi sostituisci il valore, e leggi cosa esce.

• Esce un numero → hai finito. La funzione è continua lì, il limite è quel numero. Nessuna tecnica.
• Esce (numero diverso da zero)/0 → non è una forma indeterminata: il valore assoluto della funzione diverge. Ma non hai ancora la risposta. Devi calcolare i due limiti laterali studiando il segno del denominatore (sezione 3): se i segni coincidono il limite è +∞ oppure −∞; se sono discordi il limite bilatero non esiste e scrivi separatamente i due laterali. È il caso di 1/x in 0, ed è il caso dell'esercizio 11 in tutti e due i suoi punti.
• Esce una delle sette forme → adesso, e solo adesso, si sceglie la tecnica. E si sceglie guardando che faccia ha il limite, non a caso.

La tabella decisionale

Due avvertenze sulla riga dei gradi, perché è quella che si usa con più leggerezza. Vale solo per rapporti di polinomi: appena entra una radice, un esponenziale o un logaritmo, il grado non è più il criterio giusto. E per x → −∞ il segno va sorvegliato, perché la radice di x² non è x, è il valore assoluto di x, che per x negativo vale −x. È l'errore che ricompare identico anno dopo anno, sempre sugli asintoti obliqui delle funzioni irrazionali, ed è svolto per intero nell'esercizio 13.

La sostituzione degli infinitesimi, e dove smette di valere

Prima di De l'Hôpital conviene mettere a posto una scorciatoia che tutti usano e quasi nessuno delimita. Vicino a 0, sen x e x si somigliano molto: il loro rapporto tende a 1, e lo stesso vale per coppie come e^x − 1 e x, oppure ln(1 + x) e x. Da qui la mossa: dentro un prodotto o un quoziente, uno dei due si può sostituire con l'altro senza cambiare il limite.

La condizione d'uso è tutta qui: prodotti e quozienti, mai dentro una somma o una differenza. Il motivo è semplice: in una differenza i due termini principali si cancellano, e a decidere il limite è quello che resta dopo — proprio il pezzo che la sostituzione butta via. Se sostituisci sen x con x in (x − sen x)/x³ ottieni 0/x³ = 0, che è sbagliato: il limite vale 1/6. È l'errore 7 della sezione 10, dove lo smontiamo con i numeri.

E De l'Hôpital?

Arriva dopo, e va detto chiaramente: presuppone le derivate. In quarta e a inizio quinta tutto quello che c'è nella tabella si fa a mano, ed è giusto così, perché è quel lavoro algebrico che ti insegna a riconoscere le facce dei limiti.

Nome, prima di tutto: lo trovi scritto De l'Hôpital o De l'Hospital (è la grafia usata da Zanichelli e da parecchie programmazioni scolastiche). Stesso teorema, stesso marchese.

L'enunciato, in versione utilizzabile: se f e g sono derivabili in un intorno del punto (tranne al più il punto stesso), se g′ non si annulla lì, se il rapporto f/g dà la forma 0/0 oppure ∞/∞, e se esiste il limite di f′/g′, allora quel limite è anche il limite di f/g. Quattro condizioni, e le trappole tipiche sono tre: due nascono dall'ignorare un'ipotesi, la terza è un errore di esecuzione. Le chiamo trappole e non errori per una ragione pratica: gli errori numerati da 1 a 8 sono quelli della sezione 10, e sono altra roba. Qui siamo dentro De l'Hôpital, e quando più avanti leggerai «errore 3» senza altre parole si tratta sempre di quello della sezione 10.

Trappola 1 — applicarlo senza forma indeterminata (ipotesi ignorata: la terza). lim per x → 0 di (x + 1)/(x² + 2) vale semplicemente 1/2, per sostituzione. Derivando sopra e sotto si ottiene 1/(2x), il cui limite per x → 0 non esiste: fa −∞ da sinistra e +∞ da destra, esattamente come 1/x in 0 (sezione 3). E guarda che disastro: il limite vero è 1/2, un numero pulito, mentre derivando si arriva a un'espressione che in 0 un limite non ce l'ha proprio. Tutto prodotto da un teorema usato fuori dalle sue ipotesi.

Trappola 2 — derivare con la regola del quoziente (non è un'ipotesi ignorata, è un conto sbagliato). De l'Hôpital dice di derivare separatamente numeratore e denominatore e poi rifare il rapporto. Non dice di derivare la frazione. Sono due conti diversi e danno risultati diversi.

Trappola 3 — concludere che il limite non esiste (ipotesi ignorata: la quarta). lim per x → +∞ di (x + sen x)/x vale 1, e si vede in una riga: (x + sen x)/x = 1 + (sen x)/x, e (sen x)/x → 0 per x → +∞. Ma il rapporto delle derivate è (1 + cos x)/1, che oscilla fra 0 e 2 e non ha limite. Non significa che il limite di partenza non esista: significa che il teorema non si applica, perché una delle ipotesi (l'esistenza del limite di f′/g′) non è verificata. Un teorema che non si applica non dice niente, né sì né no.

Nota d'esame, ridimensionata coi testi alla mano. Alla seconda prova del liceo scientifico i limiti compaiono quasi sempre come strumento dentro uno studio di funzione, non come oggetto di un quesito a sé — è quello che vedrai documentato in apertura della sezione 8. Quando invece compaiono come quesito autonomo, la veste tipica è proprio la forma 0/0 attaccata con De l'Hôpital: è successo per esempio nella sessione ordinaria del 2023, quesito 6, dove si chiedevano i parametri a e b perché il limite per x → 0 di [sen x − (ax³ + bx)]/x³ valesse 1. Ma è un caso isolato, non la norma: nelle altre sessioni ordinarie recenti (2019, 2024, 2025, 2026) non c'è nessun quesito di questo tipo, e nel 2019 l'unico limite del questionario era una forma ∞/∞ che si risolve con la gerarchia degli infiniti. Conclusione pratica: De l'Hôpital è l'ultimo anello, non il primo. Se la tabella qui sopra non ti è automatica, diventa un martello con cui provare a girare le viti.

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Gli asintoti: il motivo per cui i limiti servono davvero

[Quinta]

Domanda legittima, e la risposta sta nelle tracce ministeriali: alla maturità i limiti non sono quasi mai l'oggetto esplicito della domanda, sono lo strumento. Nella seconda prova 2026 (codice A002), il problema 1 chiede di studiare una funzione definita a tratti e tracciarne il grafico «dopo aver verificato la continuità, studiato la derivabilità e determinato i punti di estremo relativo»; e fra i quesiti, il quinto chiede i parametri di una curva logaritmica perché abbia le rette x = −3 e x = 3 come asintoti verticali, mentre il sesto chiede di determinare un polinomio perché il grafico abbia per asintoto obliquo la retta y = 3x − 2. Nel Quadro di riferimento del 2018 la voce «limiti» non è nemmeno un nucleo tematico autonomo: compare fra gli obiettivi, come mezzo — «discutere l'esistenza e determinare il valore del limite di una funzione». Il limite serve a capire dove va a finire il grafico dove non lo puoi disegnare punto per punto.

La convinzione da scalzare, e stavolta te l'ha insegnata la scuola

La definizione che quasi tutti hanno in testa è: «l'asintoto è una retta a cui la curva si avvicina indefinitamente senza mai toccarla». La prima metà è giusta, la seconda è falsa per gli asintoti orizzontali e obliqui. E la smentita più autorevole possibile sta dentro una traccia ministeriale: nel problema 2 della sessione ordinaria 2023, sulla famiglia di funzioni fₐ(x) = (x² − ax)/(x² − a), si chiede di mostrare che per a ≠ 1 tutti i grafici della famiglia intersecano il proprio asintoto orizzontale, e per giunta nello stesso punto. La condizione a ≠ 1 va tenuta, perché è l'eccezione che rende interessante la richiesta: per a = 1 la funzione si semplifica in x/(x + 1), che è un'omografica, e il suo asintoto orizzontale y = 1 non viene mai intersecato. Insomma: toccare l'asintoto non è né vietato né obbligatorio, dipende dalla funzione — ed è esattamente il punto.

Tre controesempi, in ordine di durezza:

• f(x) = sen x / x. Per x → ±∞ tende a 0, quindi ha asintoto orizzontale y = 0. Ma vale esattamente 0 in ogni x = kπ: lo interseca infinite volte, e continua a farlo per quanto tu vada avanti.
• f(x) = (x² − 2x)/(x² + 1). Gradi uguali, quindi asintoto orizzontale y = 1. Dove lo tocca? Imponi f(x) = 1, cioè x² − 2x = x² + 1, da cui −2x = 1 e x = −1/2. Controllo: f(−1/2) = (0,25 + 1)/(0,25 + 1) = 1 esatto. Il grafico non lo sfiora, ci passa attraverso.
• f(x) = x + (sen x)/x, e le parentesi qui sono obbligatorie: si legge «x più il rapporto sen x fratto x», non (x + sen x)/x, che è tutta un'altra funzione — quella tende a 1 e ha un asintoto orizzontale y = 1, ed è quella che trovi nella sezione 7. Per la nostra: m = lim di f(x)/x = lim [1 + (sen x)/x²] = 1, e q = lim [f(x) − x] = lim (sen x)/x = 0, quindi l'asintoto obliquo è y = x. È toccato in ogni x = kπ, perché lì f(x) − x = (sen x)/x vale esattamente 0.

L'unica eccezione vera è l'asintoto verticale, che non può essere attraversato. Attenzione però al motivo: non è una proprietà dei limiti, è la definizione di funzione. A ogni x corrisponde un solo valore, quindi il grafico non può stare a destra e a sinistra della retta x = c contemporaneamente. Sapere perché vale l'eccezione è la differenza fra aver capito e aver imparato la frase.

Le tre ricerche, in ordine operativo

Verticali. Si cercano solo nei punti esclusi dal dominio e agli estremi finiti degli intervalli di definizione. Per ognuno si calcolano i limiti laterali: tutti e due dove la funzione esiste da entrambe le parti; uno solo agli estremi del dominio, quello dal lato in cui c'è funzione. Per ln(x − 3), per esempio, si calcola soltanto il limite per x → 3⁺, perché a sinistra di 3 la funzione non c'è (esercizio 16). Se almeno uno dei limiti calcolati è infinito, quella retta è asintoto verticale.

Tre regole di sopravvivenza. Primo: non scrivere mai «= ∞» senza segno, perché il segno dice da che parte fugge il grafico ed è metà dell'informazione; il segno si trova studiando il segno del denominatore appena prima e appena dopo il punto, con lo stesso metodo delle disequazioni di secondo grado. Secondo: l'asintoto c'è anche quando il limite bilatero non esiste. Se da un lato viene +∞ e dall'altro −∞, come nell'esercizio 11, la retta è asintoto verticale lo stesso — solo che alla domanda «quanto vale il limite in quel punto» la risposta corretta è «non esiste, i laterali valgono +∞ e −∞». Terzo: non ogni zero del denominatore è un asintoto. In (x² − 9)/(x − 3) il punto x = 3 annulla anche il numeratore, il limite vale 6 e lì c'è un buco, non un asintoto.

Orizzontali. Si guarda cosa succede all'infinito:

I due lati vanno calcolati separatamente: possono dare rette diverse, o esserci da una parte sola. Il caso classico è l'arcotangente.

Obliqui. Si cercano solo se il limite all'infinito è infinito, cioè solo se l'orizzontale non c'è:

Sono il coefficiente angolare e il termine noto della retta: se quella formula ti dice qualcosa, questa non è una formula nuova. Tre avvertenze misurate sui compiti: orizzontale e obliquo si escludono a vicenda (se il limite è finito, cercare m dà 0 e hai perso dieci minuti); q non è lim [f(x) − x], la m ci va moltiplicata; e m e q vanno calcolati due volte, per +∞ e per −∞, perché con le radici vengono spesso diversi — è lì che la radice di x², che vale il valore assoluto di x, cambia segno e si porta via il risultato.

Per i rapporti di polinomi c'è una scorciatoia che vale come controllo, e va usata solo sulla frazione già ridotta ai minimi termini:

• grado del numeratore uguale a quello del denominatore → asintoto orizzontale, e vale il rapporto dei coefficienti dei termini di grado massimo;
• grado del numeratore maggiore di esattamente uno → asintoto obliquo;
• grado del numeratore che supera l'altro di due o più → nessuna retta asintoto: il grafico sale più ripido di qualsiasi retta;
• grado del numeratore minore → asintoto orizzontale y = 0.

Perché la frazione va semplificata prima: (x² − 1)/(x − 1) ha differenza di grado 1, ma dopo la semplificazione è la retta y = x + 1, e una retta non ha un asintoto obliquo, è una retta.

Il ponte al grafico probabile, che è il pezzo che manca ovunque

Sui forum la domanda arriva sempre in questa forma: come si fa a ricavare dai limiti informazioni utili a disegnare la funzione. Ecco il ponte, ed è più corto di quanto sembri. Con quattro informazioni, tutte ottenibili prima di aver studiato le derivate, lo scheletro del disegno c'è già:

1) Dominio — dove la funzione esiste, e quindi dove il grafico può stare (le funzioni).
2) Limiti agli estremi del dominio — a ogni estremo, incluso ±∞, uno per lato dove i lati ci sono.
3) Asintoti — che sono la lettura geometrica di quei limiti, non un capitolo a parte.
4) Segno e intersezioni con gli assi — dove il grafico sta sopra e dove sotto l'asse x, sul piano cartesiano.

A questo punto hai le zone proibite, i binari all'infinito e la fascia in cui la curva deve passare. Le derivate aggiungeranno massimi, minimi e concavità, cioè la forma fine. Ma il grafico probabile — che è una voce esplicita dei programmi scolastici, non un'invenzione: la programmazione di quinta del Liceo Marconi di Colleferro, per dirne una, chiede di «condurre una ricerca preliminare sulle caratteristiche di una funzione e saperne tracciare un probabile grafico approssimativo» — si costruisce con i limiti, e da solo vale già mezzo esercizio di studio di funzione.

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Diciassette esercizi svolti passo passo

[Quarta e Quinta] — ogni esercizio porta la sua etichetta sotto il titolo, così puoi fare solo quelli del tuo anno. Sono [Quarta] gli esercizi 1, 2, 3, 4, 5, 10 e 17; sono [Quinta] gli esercizi 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15 e 16. Nessuno sta in tutte e due le liste.

Stesso schema per tutti: testo, la mossa che sblocca, i passaggi, il Risultato in grassetto, l'errore tipico. Dove leggi 0⁺ o 0⁻ la quantità tende a zero restando positiva o negativa, e quel segno decide fra +∞ e −∞. L'albero per scegliere la tecnica è nella sezione 7.

Esercizio 1 — Sostituzione diretta

[Quarta]

lim x→2 di (x³−4x+5)/(x²+1).

La mossa. Si sostituisce sempre per prima cosa, ma prima ancora si guarda il denominatore: x²+1 non si annulla mai, quindi il dominio è tutto R e in x = 2 la funzione è continua. Sopra 8−8+5 = 5, sotto 4+1 = 5. Risultato: 1.

Errore tipico. Sostituire senza aver controllato che il denominatore non si annulli. Qui va bene, ma è l'abitudine che due esercizi più in là fa scrivere "risultato 0/0 = 0". Secondo errore, più sottile: gridare «forma indeterminata» solo perché sopra e sotto viene lo stesso numero. 5/5 non è 0/0, è 1.

Esercizio 2 — Forma 0/0, differenza di quadrati

[Quarta]

lim x→3 di (x²−9)/(x²−5x+6).

La mossa. Esce 0/0, quindi sopra e sotto contengono (x−3): differenza di quadrati (x−3)(x+3) sopra, (x−2)(x−3) sotto (secondo grado). Semplifico (x−3), lecito perché x→3 vuol dire x ≠ 3, e resta (x+3)/(x−2) → 6/1. Risultato: 6.

Errore tipico. Semplificare addendi invece che fattori, il 9 con il 6.

Esercizio 3 — Forma 0/0, raccoglimento

[Quarta]

lim x→0 di (x²+3x)/(2x²−5x).

La mossa. Si raccoglie la potenza minima di x: x(x+3) sopra, x(2x−5) sotto, e resta (x+3)/(2x−5) → 3/(−5). Risultato: −3/5.

Errore tipico. Rispondere +3/5: il denominatore semplificato in x = 0 vale −5.

Esercizio 4 — Forma 0/0, Ruffini

[Quarta]

lim x→1 di (x³−2x²+2x−1)/(x³−1).

La mossa. Entrambi si annullano in x = 1, quindi entrambi contengono (x−1). Sopra serve Ruffini con la radice 1: dai coefficienti 1, −2, 2, −1 escono 1, −1, 1 e resto 0, cioè (x−1)(x²−x+1). Sotto, differenza di cubi: (x−1)(x²+x+1). Resta (1−1+1)/(1+1+1). Risultato: 1/3.

Errore tipico. Scrivere x³−1 = (x−1)³, che vale invece x³−3x²+3x−1; la formula è a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²).

Esercizio 5 — Forma 0/0, razionalizzazione

[Quarta]

(a) lim x→0 di (√(x+4)−2)/x. (b) lim x→3 di (x−3)/(√(x+1)−2).

La mossa. Si moltiplica sopra e sotto per il coniugato, e (a−b)(a+b) = a²−b² fa sparire la radice (radicali). In (a) sopra resta x, che si semplifica: 1/(√(x+4)+2) → 1/4. In (b) sotto resta x−3, che si semplifica: √(x+1)+2 → 4.

Risultato: (a) 1/4; (b) 4.

Errore tipico. Spezzare la radice, cioè √(x+4) = √x+2; oppure mettere il coniugato da un lato solo.

Esercizio 6 — Forma ∞/∞, i tre casi dei polinomi

[Quinta]

Per x→+∞: (a) (3x³−2x+1)/(x²+5); (b) (4x²−x+7)/(2x²+3x); (c) (5x+1)/(x³−2x).

La mossa. Si raccoglie il grado massimo, e ogni pezzo del tipo k/xⁿ tende a 0. In (a) resta x·(3−2/x²+1/x³)/(1+5/x²), cioè 3 per un fattore che diverge: +∞. In (b), diviso x², (4−1/x+7/x²)/(2+3/x) → 2. In (c) resta (1/x²)·(5+1/x)/(1−2/x²) → 0.

Risultato: (a) +∞; (b) 2; (c) 0.

La regola dei gradi, solo per rapporti di polinomi: sopra maggiore → infinito; gradi uguali → rapporto dei coefficienti dei termini di grado massimo, i coefficienti direttivi; sopra minore → 0.

Errore tipico. Applicarla a radici, esponenziali e logaritmi, dove comanda la gerarchia della sezione 6.

Esercizio 7 — Forma ∞ − ∞

[Quinta]

lim x→+∞ di (√(x²+3x)−x).

La mossa. Il coniugato trasforma la differenza in un rapporto, cioè ∞−∞ in ∞/∞. Sopra resta (x²+3x)−x² = 3x, quindi 3x/(√(x²+3x)+x); per x→+∞ vale √(x²) = x, cioè √(x²+3x) = x·√(1+3/x), e dividendo sopra e sotto per x resta 3/(√(1+3/x)+1) → 3/2. A x = 1000: 1001,4989−1000 = 1,4989. Risultato: 3/2.

Errore tipico. Ripetere il conto a −∞, dove non c'è indeterminazione (due quantità positive che divergono) e dove comunque √(x²) = −x.

Esercizio 8 — I notevoli goniometrici

[Quinta]

(a) lim x→0 di sen5x/sen3x. (b) lim x→0 di (1−cos x)/(x·sen x).

La mossa. Il notevole vale con lo stesso argomento sopra e sotto, quindi si ricostruisce (seno e coseno). In (a): [sen5x/(5x)]·[(3x)/sen3x]·(5x)/(3x), dove i primi due fattori → 1 e resta 5/3 (a x = 0,001 viene 1,66666). In (b) moltiplico sopra e sotto per (1+cos x) e uso 1−cos²x = sen²x (identità): resta [sen x/x]·1/(1+cos x) → 1/2.

Risultato: (a) 5/3; (b) 1/2.

Errore tipico. Scrivere sen5x/x = 1, mentre vale 5.

Esercizio 9 — Il notevole di Nepero, forma 1^∞

[Quinta]

lim x→+∞ di [(x+2)/(x−1)]^x.

La mossa. È una 1^∞: si riscrive la base come 1 più qualcosa che tende a 0, e si sostituisce perché quel qualcosa diventi esattamente 1/t (esponenziali). Base: [(x−1)+3]/(x−1) = 1+3/(x−1); pongo t = (x−1)/3, cioè x = 3t+1, e per x→+∞ anche t→+∞. Resta (1+1/t)^(3t+1) = [(1+1/t)^t]³·(1+1/t) → e³. A x = 1000 viene circa 20,06. Risultato: e³ ≈ 20,0855.

Errore tipico. Rispondere 1 perché la base tende a 1, o rispondere e perdendo il 3 dell'esponente.

Esercizio 10 — Quando il limite non esiste

[Quarta]

lim x→2 di (x²−4) diviso il valore assoluto di (x−2) — sul libro, fra due barrette verticali.

La mossa. Il valore assoluto si spezza secondo il segno di ciò che contiene: vale x−2 se x > 2, vale 2−x se x < 2. Quindi il limite si calcola due volte (sezione 3). Con x²−4 = (x−2)(x+2), da destra resta x+2 → 4, da sinistra −(x+2) → −4.

Risultato: il limite non esiste. Esistono i laterali, 4 e −4: salto di ampiezza 8.

Errore tipico. Rispondere "il limite è ±4", che non significa nulla.

Esercizio 11 — Gli asintoti verticali

[Quinta]

Data f(x) = (x+2)/(x²−4x+3), trovarne gli asintoti verticali e dire quanto valgono i limiti in quei punti.

La mossa. Annullare il denominatore, controllare che il numeratore lì non si annulli, poi studiare il segno, che è quello a distinguere +∞ da −∞. Il denominatore è (x−1)(x−3), quindi il dominio è x ≠ 1 e x ≠ 3; il numeratore vale 3 e 5, mai zero: sono infiniti, non forme 0/0.


Controllo: f(0,9) ≈ 13,8 e f(1,1) ≈ −16,3.

Risultato: asintoti verticali x = 1 e x = 3. E attenzione alla seconda parte della domanda, che è quella che divide i compiti: in tutti e due i punti i laterali hanno segno opposto, quindi il limite bilatero non esiste né in 1 né in 3. La retta è asintoto lo stesso, perché per dichiararlo basta che almeno un laterale sia infinito, ma se il testo chiede «quanto vale il limite» la risposta è «non esiste» seguita dai due laterali.

Errore tipico. Due, e vanno insieme. Primo: chiamare 5/0 una forma indeterminata — non lo è, il valore assoluto della funzione diverge (sezione 5); ma non è nemmeno una risposta finita finché non hai i due segni. Secondo: credere che ogni zero del denominatore dia un asintoto — in (x²−9)/(x−3) il limite vale 6, e lì c'è un buco.

Esercizio 12 — L'asintoto obliquo

[Quinta]

Data f(x) = (2x²−3x+1)/(x−2), trovarne l'asintoto obliquo.

La mossa. Prima si esclude l'orizzontale: grado 2 su grado 1, con la frazione già ridotta ai minimi termini, quindi f → ±∞. Poi le due formule, che devono dare valori finiti con m ≠ 0 (la retta): m = lim f(x)/x = lim (2x²−3x+1)/(x²−2x) = 2, gradi uguali e coefficienti direttivi 2 e 1; q = lim [f(x)−2x] = lim (x+1)/(x−2) = 1. Controprova con la divisione: f(x) = 2x+1+3/(x−2), e quel resto → 0. Risultato: y = 2x+1, a +∞ e a −∞.

Confronto. g(x) = (3x²+1)/(x²−4) ha gradi uguali e limite 3 all'infinito: asintoto orizzontale y = 3, nessun obliquo. I due casi si escludono a vicenda.

Errore tipico. Calcolare q come lim [f(x)−x], dimenticando la m. Attenzione anche a non confondere due «m» diverse: qui m è il coefficiente angolare dell'asintoto, mentre nella regola dei gradi il numero che conta è il rapporto dei coefficienti direttivi, cioè dei coefficienti dei termini di grado massimo.

Esercizio 13 — La radice a meno infinito, il classico da verifica

[Quinta]

lim x→−∞ di (2x − √(9x²−4))/(8x+3).

La mossa. Sotto radice si raccoglie x² e lo si porta fuori, ma fuori dalla radice esce il valore assoluto di x, non x: √(x²) vale x se x ≥ 0 e −x se x < 0. Qui x → −∞, quindi x è negativa e si scrive √(9x²−4) = √(x²)·√(9−4/x²) = −x·√(9−4/x²).

Sostituisco: il numeratore diventa 2x − (−x)·√(9−4/x²) = 2x + x·√(9−4/x²) = x·[2 + √(9−4/x²)]. Il denominatore, raccogliendo x, è x·(8 + 3/x). La x si semplifica e resta

Risultato: 5/8. Controllo numerico a x = −1000: numeratore −4999,99933, denominatore −7997, rapporto 0,6252, e 5/8 = 0,625.

Il confronto che chiude il discorso. Lo stesso limite per x → +∞ vale −1/8: lì √(9x²−4) = +3x, il numeratore diventa 2x − 3x = −x e il rapporto tende a −1/8 (a x = 1000 viene −0,12495). Due lati, due risultati: ecco perché m e q dell'asintoto obliquo vanno sempre calcolati due volte (sezione 8).

Errore tipico. Portare fuori x invece di −x e rispondere −1/8 anche a −∞. È l'errore 3 della sezione 10, ed è quello che fa sbagliare l'asintoto obliquo da un solo lato del grafico.

Esercizio 14 — La gerarchia degli infiniti, nei due versi

[Quinta]

(a) lim x→+∞ di x¹⁰⁰/e^x. (b) lim x→−∞ di x²·e^x.

La mossa. Qui non c'è niente da scomporre: convivono una potenza e un esponenziale, e il confronto dei gradi non si applica. Comanda la gerarchia (sezione 6), a patto di guardare verso quale infinito si va.

(a) Siamo a +∞, dove l'esponenziale batte ogni potenza, esponente 100 compreso, perché la potenza ha un grado fisso e l'esponenziale no. Il denominatore vince: il limite è 0. Per farti un'idea dell'ordine di grandezza: già a x = 1000 il numeratore vale 10³⁰⁰, il denominatore e¹⁰⁰⁰ è dell'ordine di 10⁴³⁴, e il rapporto è dell'ordine di 10⁻¹³⁴.

(b) Siamo a −∞, e qui la gerarchia si ribalta: e^x non è più un infinito, è un infinitesimo, e va a zero più in fretta di quanto x² vada all'infinito. Il prodotto è una forma ∞ · 0, e vince l'esponenziale: il limite è 0. Controllo a x = −20: 400 · e⁻²⁰ ≈ 8,2 · 10⁻⁷, già quasi zero.

Risultato: (a) 0; (b) 0.

Errore tipico. Ripetere a −∞ la frase «l'esponenziale vince sempre» pensando che vinca facendo diventare tutto infinito. A −∞ l'esponenziale vince ancora, ma vince schiacciando a zero: lim x→−∞ di x/e^x, per esempio, vale −∞ proprio perché e^x sta al denominatore.

Esercizio 15 — De l'Hôpital in forma 0/0

[Quinta]

lim x→0 di (e^x − 1 − x)/x².

La mossa. Prima si controlla l'ipotesi, sempre: sostituendo, sopra viene 1 − 1 − 0 = 0 e sotto 0. È davvero una forma 0/0, quindi De l'Hôpital si può usare (sezione 7). Si derivano separatamente numeratore e denominatore, non la frazione:

Sostituisco di nuovo: 0/0 un'altra volta. L'ipotesi regge ancora, quindi si ripete:

Risultato: 1/2. Controllo numerico a x = 0,01: sopra 1,010050167 − 1 − 0,01 = 0,000050167, sotto 0,0001, rapporto 0,50167.

Nota d'esame. È esattamente la struttura del quesito 6 della seconda prova 2023, dove si chiedevano i parametri a e b perché il limite per x → 0 di [sen x − (ax³+bx)]/x³ valesse 1: stessa forma 0/0, stesso teorema applicato più volte di seguito.

Errore tipico. Derivare con la regola del quoziente invece che sopra e sotto separatamente. E fermarsi al primo passaggio scrivendo «viene ancora 0/0, quindi non si può fare»: si può, basta ricontrollare le ipotesi e ripetere.

Esercizio 16 — Quando il dominio impone un limite solo

[Quinta]

Data f(x) = ln(x−3), scrivere il dominio, calcolare i limiti agli estremi e trovare gli asintoti verticali.

La mossa. Prima il dominio, come sempre: il logaritmo vuole argomento strettamente positivo, quindi x − 3 > 0, cioè x > 3. Il dominio è ]3; +∞[.

Gli estremi del dominio sono due, il 3 e il +∞, e a ciascuno corrisponde un limite solo:

Risultato: asintoto verticale x = 3, nessun asintoto orizzontale. E nessun asintoto obliquo, nonostante f → +∞: il rapporto ln(x−3)/x tende a 0 per la gerarchia degli infiniti, quindi m = 0 e la retta non esiste.

Errore tipico. Calcolare, o anche solo scrivere, il limite per x → 3⁻. A sinistra di 3 la funzione non esiste, quindi quel limite non è sbagliato: è una domanda senza senso (sezione 3). Secondo errore: rispondere che per x → 3⁺ il logaritmo «tende a 0» perché ci tende il suo argomento. È l'argomento che va a 0⁺, il logaritmo va a −∞.

Esercizio 17 — Verifica con la definizione

[Quarta]

Verificare, applicando la definizione, che lim x→1 di (2x+3) = 5.

La mossa. Verificare non è calcolare: il risultato ce l'hai già, devi mostrare che regge. Si scrive la condizione della definizione con un ε > 0 fissato ma qualunque, si risolve la disequazione e si controlla che fra le soluzioni ci sia un intorno di 1 (sezione 2).

Passo 1. La condizione è 5 − ε < 2x + 3 < 5 + ε. È una doppia disequazione, cioè un sistema: intersezione, non unione.

Passo 2. Sottraggo 3 dappertutto: 2 − ε < 2x < 2 + ε. Divido per 2, che è positivo e non cambia i versi: 1 − ε/2 < x < 1 + ε/2.

Passo 3. Le soluzioni sono l'intervallo ]1 − ε/2; 1 + ε/2[, cioè un intorno completo di 1 di raggio ε/2. Risultato: δ = ε/2, e la verifica è conclusa.

Prova col numero. Con ε = 0,1 viene δ = 0,05: per ogni x fra 0,95 e 1,05 il valore di 2x+3 sta fra 4,9 e 5,1. Con ε = 0,001 viene δ = 0,0005. Non esiste un ε che ti metta in difficoltà, ed è questo che la definizione chiede di far vedere.

Errore tipico. Dare un valore numerico a ε all'inizio e verificare solo quel caso: così hai controllato un ε, non tutti. ε deve restare una lettera fino alla fine, e il δ va consegnato come formula in ε.

Riepilogo per la correzione rapida

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Gli errori che fanno perdere punti in verifica

[Quarta e Quinta] — anche qui l'etichetta è sotto ogni titolo. Sono [Quarta] gli errori 1, 5 e 8, che riguardano la scrittura, i limiti laterali e l'uso del simbolo di infinito, cioè roba delle sezioni 2, 3 e 4. Sono [Quinta] gli errori 2, 3, 4, 6 e 7, perché poggiano su limiti notevoli, forma 1^∞, gerarchia degli infiniti e radici all'infinito, cioè sulle sezioni 5-8.

Prima una notizia che toglie ansia, e la diamo con la fonte in chiaro perché sappia quanto pesa. Uno studio pubblicato sul Journal of Research in Science, Mathematics and Technology Education ha analizzato con la teoria APOS 51 matricole di matematica di un'università dello Zimbabwe, e ha trovato che più della metà, dopo l'insegnamento tradizionale, non arriva a concepire il limite come un oggetto: resta all'idea di processo, la x che si avvicina. È un campione piccolo e di un solo ateneo, quindi non è un dato sugli studenti italiani di liceo; ma va nella stessa direzione di un risultato molto più solido e molto più citato, quello di Tall e Vinner (1981), che hanno mostrato come a governare le risposte sia l'immagine mentale del concetto e non la sua definizione: si può recitare la definizione a memoria e continuare a rispondere secondo l'immagine, senza accorgersi che le due cose non vanno d'accordo.

Conseguenza pratica: rileggere la definizione, da sola, serve poco. Serve un controesempio che la faccia sbattere contro l'immagine. Ogni errore qui sotto è smontato in quattro mosse: come lo pensano quasi tutti → perché sembra giusto → cosa succede davvero → come te ne accorgi.

Errore 1 — Perdere il simbolo di limite lungo i passaggi

[Quarta]

Come lo pensano quasi tutti: si scrive lim x→3 di (x²−9)/(x−3) = (x−3)(x+3)/(x−3) = x+3 = 6. Perché sembra giusto: il "lim" sembra un'etichetta da mettere una volta all'inizio. Cosa succede davvero: è una catena di uguaglianze false, perché x+3 non è uguale a 6: lo diventa solo al limite. Il simbolo va riscritto a ogni riga e sparisce in quella del risultato. Come te ne accorgi: se in una riga c'è ancora la x e a destra dell'uguale un numero, manca il "lim".

Errore 2 — Calcolare il limite di un pezzo solo

[Quinta]

Come lo pensano quasi tutti: si manda al limite la parte comoda e si ricopia il resto. Perché sembra giusto: è quello che si fa con la sostituzione diretta. Cosa succede davvero: è la matrice di "1^∞ = 1". A x = 1000, (1+1/x)^x vale 2,716924 e (1+1/x)^(2x) vale 7,3817, cioè e ed e²: stessa base che tende a 1, stesso esponente infinito, risultati diversi. Come te ne accorgi: se hai congelato una parte mentre l'altra andava al limite, rifai il conto.

Errore 3 — Scrivere √(x²) = x anche con x negativo

[Quinta]

Come lo pensano quasi tutti: radice e quadrato si annullano a vicenda. Perché sembra giusto: per x positivo è vero, e i primi esercizi sono tutti a +∞. Cosa succede davvero: √(x²) vale x se x ≥ 0, ma −x se x < 0. Quindi lim x→−∞ di √(x²+1)/x = −1 (a x = −1000 il rapporto vale −1,0000005, che è già praticamente −1 e soprattutto è negativo). Il classico da verifica è lim x→−∞ di (2x−√(9x²−4))/(8x+3) = 5/8: la radice dà −3x, il numeratore diventa 5x, e chi perde il segno risponde −1/8, che è invece il valore del limite a +∞. Il conto per intero è nell'esercizio 13. Come te ne accorgi: quando porti una x fuori da una radice quadrata, chiediti che segno ha.

Errore 4 — Limiti notevoli applicati fuori posto

[Quinta]

Come lo pensano quasi tutti: visto un seno diviso una x, si scrive 1. Perché sembra giusto: il notevole si memorizza come coppia di simboli, non come struttura. Cosa succede davvero: servono due condizioni. Il punto: sen x/x → 1 solo per x→0, mentre per x→+∞ vale 0. E l'argomento, identico sopra e sotto: sen3x/x → 3 (a x = 0,001 dà 2,999996), (1−cos x)/x² → 1/2, (1+2/x)^x → e². Come te ne accorgi: riscrivi il notevole col quadratino e controlla che sopra e sotto ci sia la stessa cosa.

Errore 5 — Dichiarare un asintoto verticale senza il segno

[Quarta] — il nocciolo, cioè scrivere i due laterali col loro segno, è materia della sezione 3; la lettura geometrica arriva poi nella sezione 8.

Come lo pensano quasi tutti: si scrive "il limite è ∞" e si passa oltre. Perché sembra giusto: la domanda chiedeva l'asintoto, e l'asintoto è la retta. Cosa succede davvero: lì il segno è metà dell'informazione, perché dice da che parte il grafico scappa, e senza il disegno della sezione 8 non si fa. E c'è un caso in cui la scrittura senza segno non è solo incompleta, è sbagliata: quando i due laterali hanno segno opposto, come per 1/x in 0 o nei due punti dell'esercizio 11, il limite bilatero non esiste affatto, e la risposta corretta è scrivere i due laterali. Come te ne accorgi: se non hai scritto due limiti laterali per ogni punto escluso dal dominio, non hai finito.

Errore 6 — Usare la gerarchia degli infiniti a −∞ senza ribaltarla

[Quinta]

Come lo pensano quasi tutti: l'esponenziale vince sempre sulla potenza. Perché sembra giusto: a +∞ è vero, ed è la frase con cui la gerarchia viene insegnata. Cosa succede davvero: a −∞ l'esponenziale non cresce, tende a 0, e il rapporto si capovolge: lim x→+∞ di x/eˣ = 0, ma lim x→−∞ di x/eˣ = −∞ (a x = −10 vale già circa −220 000). Il prodotto invece si schiaccia: lim x→−∞ di x²·eˣ = 0 (esercizio 14). Come te ne accorgi: controlla sempre verso quale infinito stai andando prima di applicarla.

Errore 7 — Sostituire sen x con x dentro una differenza

[Quinta]

Come lo pensano quasi tutti: siccome sen x/x → 1, vicino a zero sen x "è" x, quindi in (x−sen x)/x³ il numeratore fa 0 e il limite è 0. Perché sembra giusto: la sostituzione degli infinitesimi funziona davvero, ma solo dentro prodotti e quozienti, come detto nella sezione 7. Cosa succede davvero: in una differenza i due termini principali si cancellano, e a decidere è quello che viene dopo. Il limite vale 1/6, non 0.

Due modi per convincerti, e il primo non richiede niente di nuovo. Coi numeri: a x = 0,01 il seno vale 0,0099998333, la differenza x − sen x vale 1,666658·10⁻⁷ e diviso x³ = 10⁻⁶ dà 0,1666658, cioè 1/6 = 0,1666667 sbagliato di meno di un milionesimo. Non è zero, è un sesto. Se la sostituzione fosse lecita qui, quel numero dovrebbe scendere verso 0 rimpicciolendo la x: prova con x = 0,001 e resterà inchiodato su 0,1666667. Con la formula: l'approssimazione di sen x non si ferma al primo termine, il termine successivo è di grado tre e vale sen x ≈ x − x³/6 (è il polinomio di Taylor, che incontrerai con le derivate). Sostituendo, il numeratore x − sen x diventa x³/6, e diviso x³ resta esattamente 1/6. Ecco cosa aveva buttato via la sostituzione: proprio il termine che decideva tutto.

Come te ne accorgi: se una sostituzione ti fa uscire 0 dentro una sottrazione, hai buttato via l'informazione utile. Rifai il conto senza sostituire, oppure controlla col numerico.

Errore 8 — Trattare ∞ come un numero

[Quarta]

Come lo pensano quasi tutti: si scrive 1/∞ = 0 e 1/0 = ∞. Perché sembra giusto: l'uguale davanti a ∞ lo trasforma in un oggetto su cui fare aritmetica, ed è lo stesso passo che porta a ∞−∞ = 0 — che nella tabella delle operazioni della sezione 4 è una casella vuota, non uno zero. Cosa succede davvero: ∞ non è un numero e non sta in nessuna divisione. Le scritture corrette sono lim x→+∞ di 1/x = 0, lim x→0⁺ di 1/x = +∞, lim x→0⁻ di 1/x = −∞ — e, di conseguenza, che lim x→0 di 1/x non esiste. Come te ne accorgi: se ∞ compare a sinistra di un uguale senza un "lim" davanti, cancella e riscrivi.

La disciplina lessicale, che vale mezzo voto all'orale

• Si dice "tende a", non "arriva a", e nemmeno "si avvicina senza mai raggiungerlo" riferito al valore del limite: quella formula, nella versione che gira a voce nelle classi, è falsa. La costante f(x) = 3 ha limite 3 e vale 3 sempre; e sen x/x per x→+∞ ha limite 0 e vale esattamente 0 in ogni x = kπ. È corretto invece dire che la x si avvicina a x₀ senza raggiungerlo: quello è il senso della sezione 1.
• "Il limite non esiste" non è sinonimo di "il limite è infinito". lim x→0 di 1/x² = +∞ è un comportamento perfettamente determinato; lim x→0 di sen(1/x) invece non esiste, e la funzione resta chiusa fra −1 e 1: non può essere infinita, oscilla soltanto. E lim x→0 di 1/x non esiste pur essendo la funzione illimitata, perché i due laterali hanno segno opposto: sono tre casi diversi, e vanno scritti in tre modi diversi.
• 0,999… non è minore di 1: è uguale a 1. Perché 1/3 = 0,333… e moltiplicando per 3 esce proprio quella scrittura. E soprattutto perché 0,999… non è una successione, è il limite di una successione: i suoi termini sono tutti minori di 1, il limite no. Trasferire al limite una proprietà valida per tutti i termini è l'errore descritto da Tall e Vinner, lo stesso che l'anno dopo rende difficile la derivata, che è a sua volta un limite.

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Domande frequenti

Zero su zero quanto fa, e cinque diviso zero è impossibile o è infinito?
Sono due situazioni diverse. 0/0 è indeterminata: per x che tende a 0, 2x/x fa 2, x²/x fa 0, x/x² da destra fa +∞, sen x/x fa 1, (1 − cos x)/x² fa 1/2. Scrivere 0/0 = q vorrebbe dire q · 0 = 0, vero per qualunque q: infiniti candidati, nessuna risposta. 5/0 non è indeterminata, e qui servono due piani. Come operazione fra numeri, 5/0 non esiste: nessun numero moltiplicato per 0 dà 5. Come forma di un limite, il denominatore non vale zero, ci tende, quindi il valore assoluto della funzione diverge. Ma non hai finito: calcola i due limiti laterali studiando il segno del denominatore.

Sen x fratto x fa sempre 1?
No: fa 1 solo per x che tende a 0 e solo se sotto c'è lo stesso argomento che sta dentro il seno. Tre controlli rapidi. Primo: sen(3x)/x per x che tende a 0 fa 3, non 1, perché sen(3x)/x = 3 · sen(3x)/(3x) e il secondo fattore tende a 1; a x = 0,001 il rapporto vale 2,999996. Secondo: sen x/x per x che tende a +∞ fa 0, perché il numeratore resta sempre fra −1 e 1 mentre il denominatore esplode. Terzo, se controlli con la calcolatrice: in modalità DEG il rapporto tende a pi greco/180 = 0,017453, non a 1. Non sbaglia la matematica, sbagli l'unità: servono i radianti.

Quando un limite non esiste? È come dire che fa infinito?
Sono due cose diverse. Il limite non esiste quando i due laterali sono diversi: è il caso di (x² − 4) diviso il valore assoluto di (x − 2) per x che tende a 2, che dà 4 da destra e −4 da sinistra. Non esiste nemmeno quando la funzione oscilla senza decidersi, come sen(1/x) per x che tende a 0, che resta fra −1 e 1 e quindi non può neanche essere infinita. Il limite è infinito quando il comportamento è determinato ma il valore non è un numero: 1/x² per x che tende a 0 fa +∞, e quel limite esiste. Caso misto: 1/x in 0 non ha limite bilatero, perché i laterali valgono −∞ e +∞.

Ma il grafico può toccare l'asintoto o no?
Sì: un asintoto orizzontale o obliquo può essere toccato e perfino attraversato, anche infinite volte. La formula scolastica "retta a cui la curva si avvicina senza mai toccarla" vale per 1/x e per l'esponenziale, non in generale. Due controesempi: sen x/x ha asintoto orizzontale y = 0 e lo taglia in ogni x = kπ; (x² − 2x)/(x² + 1) ha asintoto y = 1 e ci passa attraverso in x = −1/2, dove vale esattamente 1. Lo dice anche una traccia ministeriale: il problema 2 del 2023 chiede di mostrare che, per a ≠ 1, tutti i grafici della famiglia intersecano il proprio asintoto orizzontale nello stesso punto. Non attraversabile è solo l'asintoto verticale, perché a una x la funzione associa un solo valore.

Come faccio a sapere quale metodo usare davanti a un limite?
Un ordine c'è, non è questione di intuito. Passo zero: scrivi il dominio, poi sostituisci. Se esce un numero hai finito. Se esce un numero diverso da zero diviso zero non è una forma indeterminata, il valore assoluto della funzione diverge, ma devi ancora calcolare i due laterali studiando il segno del denominatore: segni uguali, il limite vale +∞ oppure −∞; segni discordi, il limite bilatero non esiste. Solo se esce una delle sette forme si sceglie la tecnica: 0/0 fra polinomi si scompone, con Ruffini se serve; con le radici si moltiplica sopra e sotto per il coniugato; ∞/∞ fra polinomi si risolve coi gradi; seno, coseno, esponenziali e logaritmi vicino a 0 chiamano i notevoli. De l'Hôpital per ultimo, e solo su 0/0 o ∞/∞.

Perché con le radici a meno infinito mi viene sempre il segno sbagliato?
Perché la radice quadrata di x² non è x: è il valore assoluto di x, cioè x se x è positivo e −x se x è negativo. Quando raccogli x² sotto radice e lo porti fuori con x che tende a −∞, davanti va messo −x. Due prove. Il limite di radice(x² + 1)/x per x che tende a −∞ vale −1, non +1: a x = −1000 il rapporto vale −1,0000005. E il limite di (2x − radice(9x² − 4))/(8x + 3) per x che tende a −∞ vale 5/8, perché la radice diventa −3x e sopra resta 5x; lo stesso limite per x che tende a +∞ vale invece −1/8. È l'errore che fa sbagliare l'asintoto obliquo da un solo lato del grafico.

Se imparo a memoria la definizione con epsilon e delta, riesco a fare i limiti del compito?
No, perché sono due esercizi diversi. La definizione serve a verificare un limite che già conosci: parti dal risultato e mostri che regge. Calcolarlo è un'altra faccenda: scomponi, razionalizzi, confronti i gradi, applichi i notevoli. Epsilon e delta a memoria non ti fanno avanzare di un passaggio su (x² − 9)/(x² − 5x + 6), che per x che tende a 3 vale 6. Conferma istituzionale: il Quadro di riferimento della seconda prova (D.M. 769 del 2018) chiede di "discutere l'esistenza e determinare il valore del limite", non di verificarlo con la definizione, e le Indicazioni Nazionali del 2010 dicono "apprenderà a calcolare i limiti in casi semplici". Al compito in classe di quarta, però, la verifica te la chiedono eccome.

Nella verifica di un limite alla fine devo mettere l'unione o l'intersezione?
Dipende dal verso della disequazione, e la regola è meccanica. Limite finito: la condizione è la doppia disequazione l − epsilon < f(x) < l + epsilon, cioè due disequazioni che devono valere insieme, quindi sistema e intersezione. Limite infinito senza segno: la condizione è f(x) > M oppure f(x) < −M, quindi unione. Esempio completo: per verificare che il limite di 3x − 1 per x che tende a 2 vale 5, imponi 5 − epsilon < 3x − 1 < 5 + epsilon, ottieni 2 − epsilon/3 < x < 2 + epsilon/3 e leggi delta = epsilon/3. Ultima accortezza che vale un punto: le soluzioni devono contenere un intorno del punto, non per forza coincidere con esso.

Il mio libro dice "forme di indecisione" e la prof dice "forme indeterminate": sono la stessa cosa?
Sì, stessa identica cosa, e la differenza è del libro, non tua. "Forme indeterminate" è il titolo di paragrafo del Bergamini-Barozzi-Trifone di Zanichelli, "forme di indecisione" quello di Sasso-Zanone per DeA-Petrini; in giro trovi anche "forme di indeterminazione" e, nelle programmazioni scolastiche, la scrittura fra quadre, del tipo [0/0] e [∞/∞]. Le due espressioni convivono spesso perfino dentro lo stesso corso. In ogni caso sono sette: +∞ − ∞, 0 · ∞, ∞/∞, 0/0, 0⁰, ∞⁰ e 1^∞. Stessa storia per sen x e sin x, che sono la stessa funzione, e per tg x e tan x. Se all'orale ti chiedono le forme di indecisione, non ti stanno chiedendo niente di nuovo.

In che anno si fanno i limiti, e servono davvero alla maturità?
Nei licei sono materia del quinto anno: le Indicazioni Nazionali del 2010 collocano lì il concetto di limite e il calcolo "in casi semplici". Moltissimi licei però anticipano in quarta la parte introduttiva, cioè intorni, definizione, verifica e limiti laterali. Negli istituti tecnici stanno nel secondo biennio, terza e quarta, secondo le Linee guida del 2012. Alla seconda prova, che riguarda solo lo scientifico, i limiti sono quasi sempre uno strumento dentro lo studio di funzione: nella traccia 2026 servivano per due asintoti verticali e per un asintoto obliquo. Come quesito autonomo compaiono di rado, in genere in forma 0/0: è successo nel 2023, quesito 6. Il Quadro nomina per nome sen x/x e (e^x − 1)/x.