Forze ed equilibrio: vettori, attrito, piano inclinato, momento e leve

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1) «Il tavolo non fa forza, sta lì e basta»
2) Se è roba del tuo anno, e come si leggono i simboli
3) La forza è un vettore: sommarne due, scomporne una
4) Le forze che incontri davvero, e il diagramma di corpo libero fatto sul serio
5) Equilibrio del punto materiale: ΣF = 0, da fermo e in movimento
6) L'attrito: prima lo usi, poi ne dubiti
7) Il piano inclinato: dove l'angolo si sposta
8) Il momento di una forza: il braccio non è la distanza dalla forza
9) Il corpo rigido: due condizioni, il polo scelto bene, leve e ribaltamento
10) I quindici esercizi svolti, in fila
11) Gli errori che fanno perdere punti in verifica
12) Dove si va da qui
13) Domande frequenti

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«Il tavolo non fa forza, sta lì e basta»

Metti un libro sul tavolo. Chiediti chi lo tiene su.

La risposta che viene in mente a quasi tutti è: nessuno. Il tavolo non fa niente, il tavolo sta lì. È un ostacolo, un pezzo di legno fermo. La forza la fa chi spinge, chi tira, chi si muove. Un mobile no.

Questa idea non è una tua distrazione. È talmente diffusa che i ricercatori l'hanno catalogata come categoria a sé nel Force Concept Inventory, il test con cui si misura che cosa gli studenti pensano davvero delle forze. La voce si chiama «Ob. Obstacles exert no force», cioè «gli ostacoli non esercitano forze». E il commento degli autori è quasi divertito:

Nel mondo del senso comune sedie e muri non esercitano forze: si limitano a mettersi in mezzo.

Perché il senso comune qui sbaglia

Il contro-argomento sta in una riga sola.

Se il tavolo non spingesse in su, il libro accelererebbe verso il basso. Il peso c'è, il peso tira in giù, e una forza non equilibrata produce accelerazione. Ma il libro sta fermo, e resta fermo. Quindi qualcosa sta cancellando il peso.

Quel qualcosa è il tavolo. La forza con cui il piano d'appoggio spinge il libro si chiama forza normale. «Normale» qui non vuol dire «solita»: in geometria normale significa perpendicolare. È la forza perpendicolare alla superficie di appoggio. Il tavolo spinge il libro dritto verso l'alto, ad angolo retto rispetto al piano.

Da qui in avanti, in tutta la guida, la forza normale si scrive F_N. Mai N da sola: N è già il simbolo del newton, e scrivere «N = 49 N» è il modo più rapido per confondersi durante una verifica.

                    F_N
                     ^
                     |
              +------|------+
              |    LIBRO    |
              +------|------+
                     |
                     v
                     P

Due frecce, stessa lunghezza, versi opposti. Somma zero. Il libro non si muove.

Il tavolo è una molla rigidissima

«Va bene, ma da dove la tira fuori questa spinta un tavolo? Non ha muscoli, non ha motore.»

Pensa al tavolo come a una molla durissima.

Appoggia una mano su un materasso: il materasso si schiaccia parecchio e ti spinge indietro poco. Appoggia la mano su un divano: si schiaccia meno e spinge di più. Appoggia la mano su un asse di legno posata fra due sedie: si incurva appena, e ti regge. Continua ad accorciare la lista fino al pavimento: si deforma di una quantità che non riesci a vedere, e ti regge tutto.

È sempre lo stesso meccanismo. Il piano si schiaccia, e proprio perché si schiaccia spinge indietro. Più lo carichi, più si schiaccia, più spinge — finché la spinta pareggia il carico. Il tavolo non «decide» quanto spingere: si deforma finché i conti tornano.

La deformazione del legno sotto un libro è troppo piccola perché tu la veda. Ma se il tavolo fosse davvero indeformabile, la spinta non avresti idea da dove arrivi. È la deformazione minuscola che rende la forza normale una forza vera e non un trucco contabile.

Ed è anche il motivo per cui la forza normale non ha un valore fisso: dipende da quanto la carichi. Sotto un libro vale poco. Sotto una pila di libri vale di più. Sotto la stessa pila su un piano inclinato vale meno che in piano, e vedrai nella sezione 7 perché.

Le due domande a cui risponde questa guida

Conviene dire subito che cosa ci fa questa guida, perché sta esattamente nel buco lasciato da quella sulle leggi di Newton.

Lì hai imparato che le forze cambiano il moto. Una forza non equilibrata accelera. Il carrello parte, la palla curva, il freno rallenta. Tutto vero, e tutto sul caso in cui qualcosa succede.

Restano scoperte due cose, e sono le due cose che servono qui.

Prima domanda: che cosa succede quando le forze ci sono e il moto NON cambia. Il libro sul tavolo ha due forze addosso e non fa niente. Il lampadario appeso a due catene ha tre forze addosso e non fa niente. La scala appoggiata al muro ne ha quattro e non fa niente. Non è un caso banale, è il caso più frequente in assoluto — quasi tutto quello che ti circonda in questo momento è fermo con delle forze addosso. Si chiama equilibrio, e ha una sua regola: la somma di tutte le forze deve fare zero.

Seconda domanda: come si sommano due forze che non stanno sulla stessa retta. Nella guida sulle leggi di Newton le forze si spingevano tutte lungo la stessa direzione, e sommarle voleva dire fare più e meno con dei numeri. Qui no. La catena di sinistra tira in su e a sinistra, quella di destra tira in su e a destra, il peso tira in giù. Tre direzioni diverse. Per sommarle serve trattare le forze per quello che sono davvero, cioè vettori — con un modulo, una direzione e un verso — e serve saperle scomporre. È il lavoro della sezione 3, e non a caso il tuo programma di matematica del biennio i vettori li prevede: prodotto scalare, prodotto vettoriale, tutto lì, dichiaratamente perché servono in fisica.

Il resto della guida discende da queste due. L'attrito (sezione 6) è una forza che compare solo in appoggio, e ha una stranezza sua: non è un numero, è un intervallo. Il piano inclinato (sezione 7) è il posto dove la scomposizione diventa obbligatoria e dove l'angolo si sposta da dove te lo aspetti. Il momento (sezione 8) è quello che serve quando il corpo non è più un punto e può girare invece di traslare. Le leve e il ribaltamento (sezione 9) sono il momento applicato a cose che vedi tutti i giorni.

Il malinteso gemello, da mettere via subito

C'è un secondo equivoco che va smontato adesso, perché altrimenti inquina tutto il resto. Torna con i suoi numeri nella sezione 11, quella degli errori che costano punti, ma la formulazione ti serve da subito.

Fermo non vuol dire senza forze. E senza forze non vuol dire fermo.

Sono due frasi separate e sbagliano tutte e due dalla stessa parte: confondono «il moto non cambia» con «non succede niente».

Il libro sul tavolo è fermo ed è pieno di forze: il peso e la forza normale, uguali in modulo e opposte in verso. Se togliessi il tavolo, di forze ne resterebbe una sola, e il libro cadrebbe. Fermo perché le forze si annullano, non perché non ci sono.

E al contrario: un'auto che va dritta in autostrada a 130 km/h con il tachimetro immobile è in equilibrio esattamente quanto il libro sul tavolo. Velocità costante, direzione costante, moto che non cambia. Somma delle forze uguale a zero. La spinta del motore pareggia l'attrito e la resistenza dell'aria; il peso pareggia la spinta dell'asfalto. Cinque forze, somma zero, 130 km/h. La ricerca ha un nome anche per l'errore opposto — «AF3. no motion implies no force», nessun moto implica nessuna forza — e per il suo gemello «AF2. motion implies active force», moto implica una forza attiva.

L'equilibrio, insomma, non è la stessa cosa dello stare fermi. È il fatto che il moto non cambia. Da fermo o a 130, per la fisica è lo stesso caso — e infatti nella sezione 5 li tratterai con la stessa identica equazione. Se questa cosa ti suona strana, è perché stai ancora pensando che una velocità richieda una causa continua; la guida sul moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato ti mostra la stessa idea dal lato della cinematica.

Prima di aprire il macchinario, però, vale la pena sapere se questa roba è del tuo anno o no — e mettere in fila i simboli, perché metà degli errori nasce da una lettera scambiata. Sono le prossime due sezioni.

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Se è roba del tuo anno, e come si leggono i simboli

Tre righe e passiamo oltre.

Se fai il liceo scientifico (anche l'opzione scienze applicate), l'equilibrio è materia del primo biennio: prima o seconda. Le Indicazioni nazionali mettono la statica addirittura prima della cinematica e della dinamica, come primo pezzo di meccanica che incontri.

Se fai classico, linguistico, artistico, musicale o scienze umane, lo stesso argomento arriva nel secondo biennio: terza. Non è un programma più facile, è solo spostato più avanti.

Se fai un istituto tecnico, l'equilibrio sta in «Scienze integrate (Fisica)», sempre nel primo biennio. E nel settore tecnologico il programma è addirittura più esplicito che al liceo: momento di una forza e di una coppia di forze, attrito, equilibrio statico da analizzare individuando forze e momenti.

Non è argomento di maturità. Nel quadro di riferimento della seconda prova di Fisica del liceo scientifico il corpo rigido compare solo come corpo in moto, e il nucleo «Forze e campi» parla di campi: gravitazionale, elettrico, magnetico. La statica non c'è. Se qualcuno ti dice che «al massimo esce all'esame», sappi che sta dicendo una cosa non vera.

Se invece ti servono il moto, la velocità e F = m·a, non stanno qui: stanno nelle altre due guide del sito, moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato e le leggi di Newton. Questa guida dà per scontato che una forza si sappia cos'è, e si occupa solo del caso in cui tutto sta fermo.

Una cosa onesta da dire subito

C'è un intoppo che quasi nessuno ti dice, e prima o poi ti fa arrabbiare: in Fisica il seno e il coseno ti servono da subito, in Matematica arrivano molto dopo.

Non è un errore tuo e non è colpa tua. Al primo biennio dello scientifico i vettori li fai davvero anche in Matematica — le Indicazioni chiedono esplicitamente vettore, dipendenza lineare, prodotto scalare e vettoriale, e dicono pure il perché: per il ruolo che l'algebra vettoriale ha nella fisica. Ma la trigonometria vera e propria, con le funzioni, la circonferenza goniometrica e le formule, arriva più avanti nel percorso di Matematica. Nel frattempo il piano inclinato ti chiede sen θ e cos θ.

Quindi si fa così: per stare in questa guida non ti serve sapere la trigonometria, ti servono due sole cose su un triangolo rettangolo. Te le do nel riquadro che apre la sezione 3, scritte per esteso, senza chiederti niente prima. Se poi la trigonometria l'hai già fatta, quel riquadro lo salti e via.

E se ti stai chiedendo dove stia scritto tutto questo — numeri di decreto, pagine di Gazzetta Ufficiale, quadri orario con le ore settimanali — sta in fondo all'articolo, nel blocco «Per genitori e insegnanti: dove sta scritto». Lì trovi i riferimenti puntuali, allegato per allegato. Non è materiale da studente: è roba per chi deve controllare, non per chi deve studiare.

Note di notazione

Adesso i simboli. Solo quelli che ti servono da qui in avanti, e soprattutto come si leggono ad alta voce, perché metà della paura di una formula se ne va quando sai pronunciarla.

• Le forze si misurano in newton, simbolo N. Mai in chilogrammi. Il chilogrammo è una massa, il newton è una forza: sono due cose diverse, e confonderle è il primo modo per perdere punti. Quando in un problema leggi «un corpo di 5 kg», quello è ciò che il corpo è, non la forza con cui viene tirato giù.

• La forza normale si scrive F_N, con la enne piccola in pedice. La enne in pedice sta per «normale», cioè perpendicolare alla superficie. Si scrive in pedice proprio per non confonderla con la N maiuscola dei newton: F_N è la forza, N è la sua unità di misura. Sono due enne che non c'entrano niente l'una con l'altra.

• Σ si legge «sigma» e vuol dire «somma di tutte le». È solo un'abbreviazione: al posto di scrivere una fila di addendi con i puntini, si mette una sigma davanti. Scriviamolo per esteso una volta sola, poi non lo rifacciamo più:

  ΣF_x = 0        si legge: "somma di tutte le componenti lungo x, uguale a zero"

  e per esteso vuol dire:

  F_1x + F_2x + F_3x + ... = 0

Cioè: prendi ogni forza, guardane la componente lungo l'asse x, sommale tutte con il loro segno, e il totale deve venire zero. Nient'altro. La sigma non è un'operazione nuova che devi imparare: è un modo corto di scrivere un'addizione lunga.

• μ si legge «mi». È il coefficiente d'attrito. Non ha unità di misura: è un numero puro, tipo 0,4. Se in un compito ti ritrovi un μ con dei newton attaccati, hai sbagliato qualcosa prima.

• θ si legge «teta». In tutta questa guida è sempre l'inclinazione del piano. Quando vedi θ, pensa alla salita.

• α si legge «alfa». È l'angolo fra una forza e l'asse x.

• φ si legge «fi». È l'angolo fra r e la forza — dove r è la distanza dal polo al punto in cui la forza è applicata, come nella sezione 8 — e serve solo quando si calcolano i momenti.

Tre lettere greche, tre angoli diversi. Non si scambiano mai. È una scelta di questa guida e la teniamo fino in fondo, perché la confusione fra angoli è uno dei modi più stupidi di sbagliare un esercizio che avevi capito.

• Il momento di una forza si misura in N·m, newton per metro. Mai in N/m. Quel puntino è una moltiplicazione: forza per lunghezza. La barra sarebbe una divisione, e indicherebbe tutt'altra cosa (la costante elastica di una molla, per esempio). Un carattere di differenza, due grandezze che non c'entrano nulla.

Tre parole che non metto qui — braccio, distanza dal polo e polo — le trovi spiegate in apertura della sezione 8. Non è una dimenticanza: sono i tre termini su cui i siti di scuola fanno più confusione, e per raddrizzarli serve una figura e un po' di spazio. Metterli in un elenco di notazione servirebbe solo a farteli dimenticare prima di arrivare al punto in cui servono davvero.

Questa sezione non contiene esercizi svolti: da qui in poi si lavora.

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La forza è un vettore: sommarne due, scomporne una

Questa è la sezione che le altre guide del sito danno per scontata. Qui no. Prima di parlare di attrito, di piani inclinati o di momenti, devi saper fare due cose sole: mettere insieme due forze, e spezzarne una in due pezzi. Tutto il resto della guida poggia qui.

C'è anche una ragione normativa. Al liceo scientifico i vettori non sono un extra: le Indicazioni nazionali li mettono in Matematica già nel primo biennio, e lo dicono in chiaro, «il ruolo fondamentale che i concetti dell'algebra vettoriale e matriciale hanno nella fisica». Fisica e Matematica del primo biennio sono sincronizzate sui vettori per disposizione di legge. Se ti sembra che il professore di fisica corra, non è che corre: dà per fatto quello che l'altro sta facendo.

Ti serve solo questo di trigonometria

Prima di ogni formula, il minimo indispensabile. Disegna un triangolo rettangolo e marca l'angolo che ti interessa:

            |\
            | \
   opposta  |  \  ipotenusa
  all'angolo|   \
            |____\ angolo
          adiacente all'angolo

seno dell'angolo = opposta diviso ipotenusa

coseno dell'angolo = adiacente diviso ipotenusa

tangente dell'angolo = opposta diviso adiacente, cioè seno diviso coseno

L'arcotangente è il tasto che fa il viaggio all'indietro: tu conosci il rapporto, lui ti restituisce l'angolo. Sulla calcolatrice è il tasto tan con sopra scritto meno uno.

Tre valori che conviene avere in testa, perché tornano in mezzo esercizio su due: sen 30 gradi = 0,5000, cos 30 gradi = 0,8660, e sen 45 gradi = cos 45 gradi = 0,7071.

Perché la somma non è una somma di numeri

Due forze di 30 N e 40 N, applicate allo stesso corpo, possono dare 70 N, oppure 10 N, oppure 50 N. Dipende solo dall'angolo fra loro.

• Stessa direzione, stesso verso: 30 + 40 = 70 N. È l'unico caso in cui i moduli si sommano come numeri.
• Stessa direzione, versi opposti: 40 − 30 = 10 N, nel verso della più grande.
• Perpendicolari: 50 N, e non sta né a metà strada né da nessuna parte di ovvio.

Il modulo di un vettore non è un numero che vive da solo: porta con sé una direzione, e la direzione entra nel conto.

Metodo punta-coda. Disegni la prima freccia. Poi attacchi la coda della seconda alla punta della prima, senza cambiarne né lunghezza né inclinazione. La risultante è la freccia che va dalla coda della prima alla punta della seconda.

                    punta di F_1
                        o------->  F_2
                       /:
                      / :
              R      /  :
                    /   :
                   /    :
                  o.....'
             coda di F_1
      ------->
         F_1

Regola del parallelogramma. Stessa cosa vista in un altro modo: disegni le due forze con la coda nello stesso punto, completi il parallelogramma tirando le parallele, e la risultante è la diagonale che parte dal punto comune.

        F_2
         ^- - - - - - - -+
         |             ,'|
         |          ,'   |
         |       ,'  R   |
         |    ,'         |
         | ,'            |
         o---------------+---> F_1

Le due costruzioni danno sempre lo stesso vettore. Usa quella che ti viene meglio a mano; punta-coda è più comoda con tre o più forze, il parallelogramma è più chiaro con due.

Quando le due forze sono perpendicolari il parallelogramma diventa un rettangolo, la diagonale è l'ipotenusa e il modulo si trova con Pitagora. È il caso dell'esercizio 1 qui sotto. Quando non lo sono, non ci si arrangia a occhio: si scompone tutto sugli assi e si sommano le componenti, che è il mestiere del pezzo successivo.

Scomporre una forza

Adesso il viaggio all'indietro: prendi una forza sola e chiedi quanto vale il suo effetto lungo due direzioni perpendicolari. La forza e le sue due componenti formano un triangolo rettangolo, quello disegnato sopra. La forza è l'ipotenusa. Le componenti sono i due cateti.

Quindi non c'è niente da imparare a memoria, c'è da leggere il triangolo. Il cateto adiacente all'angolo sta all'ipotenusa come il coseno; il cateto opposto sta all'ipotenusa come il seno. Fine.

La regola, in parole: il coseno va con la componente adiacente all'angolo, il seno con quella opposta.

F_adiacente = F · cos(angolo)
F_opposta   = F · sen(angolo)
F = radice quadrata di (F_adiacente al quadrato + F_opposta al quadrato)

E adesso in chiaro, perché è il punto che nessuno ti dice: x e y dipendono da dove hai messo l'angolo. Nel riquadro non compaiono le lettere x e y apposta. Non esiste nessuna legge di natura per cui la componente orizzontale vada col coseno. Esiste solo il triangolo.

Mini-caso, per far vedere che non è pedanteria. Una forza di 200 N che forma 30 gradi con l'orizzontale ha componente orizzontale 173,2 N e componente verticale 100,0 N. La stessa forza di 200 N che forma 30 gradi con la verticale ha componente verticale 173,2 N e componente orizzontale 100,0 N. Stessa forza, stesso angolo, i due numeri si scambiano di posto. Chi ha imparato a memoria «F_x uguale F per coseno» sbaglia il secondo caso e non capisce nemmeno perché. Chi guarda il triangolo non sbaglia mai, perché ogni volta si chiede solo una cosa: quale cateto è attaccato all'angolo?

Un controllo che costa due secondi e ti salva: la componente più grande è sempre quella adiacente all'angolo, finché l'angolo è minore di 45 gradi. Se ti viene più grande l'altra, hai scambiato seno e coseno.

La disciplina degli assi

Le componenti hanno un segno, e il segno dipende da una scelta tua. Quindi la scelta va scritta, non tenuta in testa.

L'ordine è questo, e non si inverte:

1) Disegni la freccia dell'asse.
2) Scrivi accanto alla freccia qual è il verso positivo.
3) Solo dopo scrivi le equazioni.

        y
        ^  positivo verso l'alto
        |
        |
        o---------> x   positivo verso destra

Se giri la freccia, tutti i segni si ribaltano: quello che era +40 N diventa −40 N. Ma la fisica resta quella: il corpo va dove andava prima, l'equilibrio resta equilibrio. Il segno non è una proprietà della forza, è il modo in cui la tua freccia legge quella forza. Studenti che si perdono qui ne ho visti tanti, e si perdono sempre allo stesso modo: scrivono le equazioni prima di aver deciso il verso, poi cercano di aggiustare i segni a risultato ottenuto.

Dato utile per non sentirsi soli: su 1313 studenti universitari, dopo l'istruzione ordinaria, solo il 20 per cento calcola correttamente la componente del peso su un piano inclinato. Con un allenamento dedicato si arriva al 50 per cento, e non oltre. Non è una cosa che si capisce al volo perché si è svegli: è una cosa che si impara facendola, e chi salta questo passaggio se lo ritrova addosso in sezione 7, dove l'angolo si sposta e le componenti si complicano davvero.

Esercizio 1 — Due forze perpendicolari, e quella che tiene fermo tutto

Testo. Su un disco appoggiato su un piano orizzontale liscio (pensa al ghiaccio) agiscono due forze orizzontali: F_1 = 30 N verso est e F_2 = 40 N verso nord. Quanto vale la forza risultante e in che direzione punta? E quale terza forza terrebbe fermo il disco?

La mossa che sblocca. Le due forze sono perpendicolari, quindi il parallelogramma è un rettangolo e la risultante è l'ipotenusa.

R = radice di (30^2 + 40^2) = radice di 2500 = 50 N
tan(alfa) = 40 / 30 = 1,3333  ->  alfa = 53,13 gradi

Quindi 50 N in direzione 53,13 gradi a nord dell'est. La terza forza che tiene fermo il disco è uguale in modulo, 50 N, e opposta in verso: punta a 53,13 gradi a sud dell'ovest.

Perché proprio opposta? Perché equilibrio vuol dire che la somma di tutte le frecce fa zero: lo vedi per bene nella sezione 5, qui ti basta sapere che la terza freccia deve annullare la risultante delle prime due.

Verifica. È il triangolo 3-4-5 moltiplicato per 10: 30, 40, 50.

Errore tipico. Sommare i moduli e scrivere 30 + 40 = 70 N. La risultante di due forze perpendicolari non è mai la loro somma: 70 N sarebbe il risultato solo se le due forze fossero sulla stessa retta e nello stesso verso. Altro errore vicino: dare la direzione come 45 gradi «perché sta in mezzo».

Esercizio 2 — La stessa fune, lo stesso angolo, due risposte diverse

Testo. Tiri una slitta con una fune che forma 30 gradi con l'orizzontale, esercitando 200 N. Quanto vale la componente che la fa avanzare e quanto quella che la solleva? E se la stessa fune di 200 N formasse invece 30 gradi con la verticale?

La mossa che sblocca. L'angolo è dato dall'orizzontale, quindi la componente ADIACENTE all'angolo è quella orizzontale e va con il coseno; quella OPPOSTA è la verticale e va con il seno.

F_orizzontale = 200 · cos 30 gradi = 200 · 0,8660 = 173,2 N
F_verticale   = 200 · sen 30 gradi = 200 · 0,5000 = 100,0 N

Secondo caso, angolo di 30 gradi con la verticale. Adesso l'adiacente è la componente verticale:

F_verticale   = 200 · cos 30 gradi = 173,2 N
F_orizzontale = 200 · sen 30 gradi = 100,0 N

Stessa forza, stesso angolo, numeri scambiati di posto. È la ragione per cui il riquadro della sezione 3 parla di adiacente e opposta e non di x e y.

Verifica. In tutti e due i casi 173,2 al quadrato più 100 al quadrato fa 40000, cioè 200 al quadrato: le due componenti ricompongono sempre la forza di partenza.

Errore tipico. Scrivere F_orizzontale = 100 N «perché 30 gradi è mezzo angolo retto». Mezzo angolo retto è 45 gradi, e comunque il valore di un angolo non si divide come una torta: passi dal coseno, o dal seno, e basta. L'altro errore classico è usare sempre il coseno per la x, qualunque sia l'angolo dato dal testo.

Con questi due strumenti in mano — sommare due frecce, spezzarne una — puoi affrontare le forze vere. Nella sezione 4 vediamo quali sono, e come si disegnano tutte insieme su un corpo solo senza dimenticarne nessuna e senza inventarne di finte. Se invece vuoi ripassare come si muove un corpo quando la risultante non è zero, il posto giusto è la guida sulle leggi di Newton.

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Le forze che incontri davvero, e il diagramma di corpo libero fatto sul serio

Nella guida sulle leggi di Newton il diagramma di corpo libero compare in mezza riga: «disegna le forze che agiscono sul corpo». Detto così non serve a niente. Qui diventa una procedura, con dei passi che si fanno in ordine e una checklist per controllare di non aver messo frecce inventate.

Non è un vezzo. Hestenes e colleghi, nel lavoro del 1992 che ha inaugurato il Force Concept Inventory, hanno intervistato sedici matricole di dottorato in fisica: tre di loro non capivano la terza legge, e di quei tre scrivono che

Isolare il sistema, separare gli agenti esterni dal corpo, capire quali forze agiscono dove. Tre cose, ed è esattamente quello che fanno i sei passi qui sotto.

I sei passi, con la checklist

1) Scegli UN corpo e cerchialo. Uno solo. Se nel problema ci sono due casse legate da una fune, o fai due diagrammi separati o non ne fai nessuno.
2) Il corpo può anche essere un nodo. Il punto in cui si incontrano tre funi è un corpo legittimo: non avendo massa, la somma delle forze su di lui è zero comunque. È la mossa che sblocca il problema del semaforo appeso a due cavi (sezione 5), e senza questo passo la procedura non te lo autorizzerebbe.
3) Elenca solo le forze che qualcosa esercita su di lui. Per ogni freccia devi saper dire chi la esercita: la Terra, il piano, la fune, la molla, la tua mano. Se non sai dirlo, quella forza non esiste. Sparisce così tutta la fauna immaginaria: la «forza del moto», la «spinta che il corpo ha addosso», la «forza centrifuga» sul corpo che gira.
4) Disegna le frecce dal corpo verso fuori, con la coda sul corpo. Serve a non confondere una forza applicata al corpo con una che il corpo esercita su qualcos'altro.
5) Scegli gli assi e scrivi il verso positivo sul disegno. Se il piano è inclinato, inclina gli assi con lui (sezione 7): ti risparmia metà dei conti.
6) Scrivi un'equazione per asse. Una per la x, una per la y. Non due frasi in italiano: due equazioni.

Regola d'oro, e vale più di tutto il resto: in un diagramma di corpo libero non si mettono MAI tutte e due le forze di una coppia azione-reazione. Agiscono su corpi diversi, quindi non compaiono mai nella stessa somma. La cassa preme sul tavolo e il tavolo preme sulla cassa: nel diagramma della cassa entra solo la seconda. È la confusione che Hestenes ha trovato perfino nei dottorandi — l'equilibrio di più forze su un corpo scambiato per la coppia azione-reazione su due corpi — e si evita con una regola meccanica, non con un ragionamento profondo.

Il peso

Due righe, non di più. La massa si misura in chilogrammi, il peso è una forza e si misura in newton:

P = m · g

con g uguale a 9,8 m/s2 quando il problema non ti dà altro. «Questa cassa pesa 6 kg» in italiano corrente si dice; in fisica è sbagliato. Sei chilogrammi sono la massa, il peso è 58,8 N.

La forza normale F_N: esiste, ma non ha una formula sua

È la forza che una superficie esercita sul corpo appoggiato, ed è perpendicolare alla superficie. Sempre, comunque sia inclinata la superficie: «normale», in geometria, vuol dire proprio perpendicolare.

E qui c'è il punto centrale della sezione, quello per cui vale la pena leggerla: il valore di F_N non è dato da una formula, si ricava ogni volta dall'equilibrio nella direzione perpendicolare alla superficie. Su un piano orizzontale, con sopra solo il peso, viene m·g. Ma basta una fune obliqua che tira in su, o un piano inclinato, e cambia. Quei due casi li calcoli tu: il primo nella sezione 5, il secondo nella sezione 7, quando avrai gli strumenti. Qui non si impara nessuna formula a memoria — si impara che la formula non c'è.

Un'ultima cosa, utile come controllo. La superficie può solo spingere, mai tirare. Se un conto ti restituisce F_N negativa non hai sbagliato l'algebra: la risposta fisica è che il corpo si è staccato dalla superficie, e allora F_N vale zero.

Nota di lessico, perché nei libri e nei siti la trovi scritta in tre modi: forza normale, reazione vincolare, reazione di appoggio. Sono la stessa cosa.

La tensione di una fune

Fune ideale vuol dire due cose: massa trascurabile e inestensibile. La conseguenza operativa, l'unica che ti serve negli esercizi, è questa: la fune tira con lo stesso modulo alle due estremità e in ogni punto intermedio. Se da una parte tira con 40 N, dall'altra tira con 40 N.

E una fune può solo tirare, mai spingere. Se ti viene fuori una tensione negativa, la fune si è allentata e non fa nulla.

La forza elastica e la legge di Hooke

Il segno meno di questa formula è una trappola, e lo è solo perché quasi nessuno scrive la convenzione insieme alla formula. Ecco la formula con la sua convenzione.

F = -k · x

F = forza che la MOLLA esercita sul corpo
x = spostamento dalla posizione di riposo
k = costante elastica, si misura in N/m

Il segno meno dice una cosa sola, e va imparata a parole: la forza della molla punta sempre verso la posizione di riposo. Se la allunghi, tira indietro; se la comprimi, spinge avanti.

Attenzione al rovescio. La forza che TU applichi alla molla per tenerla allungata di x è invece +k·x: stesso modulo, verso opposto. E quando scrivi un'equazione di equilibrio per componenti, il segno lo dà l'asse che hai disegnato al passo 5, non la formula copiata dal libro. Chi porta il meno dentro l'equazione di equilibrio ottiene una costante elastica negativa, che non esiste.

Riga di onestà, la stessa che nella sezione 6 faremo per l'attrito: quella di Hooke è una relazione empirica, non un principio. Vale entro il limite di elasticità del materiale. Oltre quel limite la molla resta deformata, non torna più com'era, e la formula smette di valere.

Esercizio 3 — Massa, peso, chilogrammi-forza

Testo. Una cassa ha massa 6,0 kg. (a) Quanto pesa in newton, usando il valore standard g = 9,80665 m/s2? (b) Di quanto cambia il suo peso portandola dall'equatore al polo, sapendo che la gravità normale vale 9,780327 m/s2 all'equatore e 9,832186 m/s2 al polo? (c) Un vecchio manuale scrive «6 kgf»: a quanti newton corrisponde?

La mossa che sblocca. (a) Si applica P = m·g e basta.

P = 6,0 · 9,80665 = 58,84 N

Con il 9,8 di scuola verrebbe 58,8 N: la differenza è più piccola della precisione con cui è dato il problema.

(b) Il peso al polo meno il peso all'equatore. La massa non c'entra: cambia solo g.

6,0 · (9,832186 - 9,780327) = 6,0 · 0,051859 = 0,311 N
0,311 / 58,68 = 0,0053   ->   0,53 per cento

Mezzo punto percentuale. La massa non cambia di un grammo da un capo all'altro del pianeta: cambia il peso, cioè la forza.

(c) Un chilogrammo-forza vale 9,80665 N esatti, per definizione. Quindi 6 kgf = 58,84 N. È lo stesso numero del punto (a), e non è un caso: il kgf è definito proprio su quel valore di g, il valore standard fissato per convenzione.

Verifica. Al contrario: 1 N = 1 / 9,80665 = 0,1020 kgf. Un newton è circa un etto appeso al dito. Se ti ricordi questo, hai un metro di paragone per capire al volo se un risultato in newton è ragionevole.

Errore tipico. Rispondere «6 kg» alla domanda (a). La domanda chiede una forza, e le forze si misurano in newton. È lo stesso errore, in piccolo, di chi al supermercato legge sulla bilancia una massa e la chiama peso: in italiano corrente si può, in fisica no, e in verifica costa un punto ogni volta.

Esercizio 4 — La molla, la costante k e il dinamometro

Testo. Appendi una massa di 2,0 kg a una molla verticale, e la molla si allunga di 8,0 cm rispetto alla lunghezza a riposo. (a) Quanto vale la costante elastica k? (b) Di quanto si allungherebbe con 3,0 kg appesi? (c) Se al posto della molla usi un dinamometro, cosa leggi quando appendi i 2,0 kg?

La mossa che sblocca. (a) Fai il diagramma di corpo libero della massa appesa, seguendo i sei passi. Il corpo è la massa. Le forze su di lei sono due: il peso, esercitato dalla Terra, verso il basso; la forza elastica, esercitata dalla molla, verso l'alto. Nient'altro. La massa è ferma, quindi le due si annullano, e in modulo k·x = m·g.

m · g = 2,0 · 9,8 = 19,6 N
x = 8,0 cm = 0,080 m
k = 19,6 / 0,080 = 245 N/m

k si legge così: servirebbero 245 newton per allungare questa molla di un metro intero.

(b) Con 3,0 kg il peso è 3,0 · 9,8 = 29,4 N, quindi

x = 29,4 / 245 = 0,120 m = 12 cm

Una volta e mezza il peso, una volta e mezza l'allungamento. È questo che vuol dire «relazione lineare», ed è vero finché non superi il limite di elasticità della molla.

(c) Il dinamometro legge 19,6 N, non 2 kg. È uno strumento che misura forze, e la scala è in newton proprio perché quello che sente è la forza: dentro c'è una molla, e quello che si allunga è la molla.

Verifica. 245 · 0,080 = 19,6 N. Torna.

Errore tipico. Portare il segno meno dentro l'equazione di equilibrio e scrivere −k·x = m·g, ottenendo un k negativo. Il meno della formula dice solo che la molla tira verso il riposo; quando scrivi l'equilibrio per componenti, il verso lo hai già messo tu disegnando l'asse. L'altro errore, più banale e più frequente, è dimenticare di trasformare 8,0 cm in 0,080 m: dividendo per 8,0 invece che per 0,080 esce k = 2,45 N/m, cento volte più piccolo, e nessuno se ne accorge perché il numero «sembra» innocuo. Terzo: rispondere «2 kg» al punto (c).

Con queste quattro forze — peso, normale, tensione, elastica — e i sei passi, hai tutto quello che serve per scrivere ΣF = 0 e risolverlo davvero. È quello che si fa nella sezione 5. L'attrito, che è la quinta forza e la più insidiosa, arriva nella sezione 6.

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Equilibrio del punto materiale: ΣF = 0, da fermo e in movimento

Fin qui hai imparato a riconoscere le forze e a disegnarle (sezione 4). Adesso le fai lavorare: se sai che un corpo è in equilibrio, puoi calcolare una forza che non conosci. È il motivo per cui tutta questa storia serve a qualcosa.

Le due frecce che vanno in tutti e due i versi

La prima legge di Newton la sai già: se la somma delle forze su un corpo è zero, il corpo resta fermo oppure va di moto rettilineo uniforme. Freccia da sinistra a destra.

Quello che quasi nessuno dice in classe è che vale anche la freccia opposta. Se vedi un corpo fermo, o lo vedi andare di moto rettilineo uniforme, allora la somma delle forze su di lui è zero. Il perché è la seconda legge: ΣF = m·a, e in tutti e due quei casi l'accelerazione è zero, quindi anche ΣF deve essere zero.

Sembra una pignoleria da libro. Non lo è: è il verso che userai per fare i conti. Non parti dalle forze per prevedere il moto, parti dal moto che vedi per calcolare una forza che non conosci. La slitta non sprofonda nel terreno, quindi lungo la verticale la somma è zero, quindi la forza normale vale esattamente quel che serve. Tutto qui.

E siccome la forza è un vettore, «somma zero» vuol dire una cosa per ogni asse:

Se ti serve un ripasso di come si scompone una forza sui due assi, torna alla sezione 3. Da qui in avanti do per scontato che tu sappia farlo.

Equilibrio non vuol dire fermo

Qui casca mezza classe. «Equilibrio» nel linguaggio di tutti i giorni vuol dire immobile. In fisica no.

Un'auto che viaggia a 130 km/h costanti su un rettilineo di autostrada è in equilibrio: il motore spinge in avanti esattamente quanto attrito e resistenza dell'aria tirano indietro, la somma è zero, la velocità non cambia. Un paracadutista che è arrivato alla velocità limite e scende diritto è in equilibrio: il peso in giù e la resistenza dell'aria in su si annullano. Nessuno dei due è fermo, tutti e due hanno ΣF = 0.

La condizione, scritta per bene, è: vettore velocità costante, cioè moto rettilineo uniforme — modulo, direzione e verso. Tutti e tre.

E qui arriva il controesempio che devi tenerti stretto. Un'auto che affronta una curva a 50 km/h, con il tachimetro inchiodato sul 50, non è in equilibrio. Il modulo della velocità non cambia, d'accordo, ma la direzione sì. Quindi il vettore velocità cambia. Quindi c'è un'accelerazione. Quindi la somma delle forze non è zero: sono le gomme che spingono l'auto verso il centro della curva, e senza quella spinta l'auto se ne andrebbe dritta. Il tachimetro fermo non basta.

Tutti gli esempi di questa guida sono in rettilineo, apposta. Quando vedrai «velocità costante» in un esercizio, controlla sempre che sia anche in linea retta. Sul moto rettilineo uniforme in sé trovi tutto nella guida su moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato.

Statico e dinamico

Le due definizioni pulite, quelle che il prof si aspetta parola per parola:

• equilibrio statico: il corpo è fermo;
• equilibrio dinamico: il corpo si muove di moto rettilineo uniforme.

La cosa da capire è che la condizione è la stessa: ΣF = 0. Non ci sono due formule, ce n'è una. Cambia solo come si presenta la scena.

Una riga di raccordo, per evitare un equivoco che scatta fra venti righe. Nella sezione 6 incontrerai attrito statico e attrito dinamico, e lì la differenza non è una questione di punto di vista: sono due forze diverse, con due coefficienti diversi, che si comportano in modo diverso. Stesse due parole, significato completamente diverso.

La forza normale con la fune obliqua: primo uso vero di ΣF_y = 0

Nella sezione 4 ti ho promesso un caso e l'ho lasciato in sospeso: la forza normale non vale sempre m·g. Adesso lo ricaviamo, non te lo annuncio.

L'idea è semplice. Se tiri una slitta con una fune che non è orizzontale ma inclinata verso l'alto, quella fune non tira solo in avanti: tira anche un po' in su. Lungo la verticale allora non ci sono due forze, ce ne sono tre: il peso in giù, la normale in su e la componente verticale della fune in su. E ΣF_y = 0 ti sputa fuori F_N = m·g − F_verticale, senza che tu debba ricordare niente a memoria.

Esercizio 5 — Slitta tirata da una fune obliqua: quanto vale davvero F_N

Testo. Tiri la solita slitta dell'esercizio 2 con una fune a 30 gradi sull'orizzontale, esercitando 200 N. La slitta ha massa 40 kg. Quanto vale la forza normale che il terreno esercita su di lei?

La mossa che sblocca. Diagramma di corpo libero della slitta: il peso in giù, la forza normale F_N in su, la fune obliqua che tira in avanti e un po' in su. Le due componenti della fune le hai già dalla sezione 3: F_verticale = 200 · sen 30 gradi = 100,0 N, F_orizzontale = 200 · cos 30 gradi = 173,2 N.

Lungo la verticale la slitta non si stacca e non sprofonda, quindi ΣF_y = 0. Le forze verticali sono tre, non due:

F_N + F_verticale - m·g = 0
F_N = m·g - F_verticale = 40 · 9,8 - 100 = 392 - 100 = 292 N

La forza normale vale 292 N, non 392 N: la fune si prende un pezzo del lavoro di sostegno, e il terreno deve spingere di meno.

Verifica del senso fisico. Se tirassi più forte, o più in su, F_N calerebbe ancora. Quando la componente verticale della fune arriva a 392 N la slitta si stacca da terra e F_N vale zero. Sotto lo zero non può andare: il terreno può solo spingere, non può tirarti giù per tenerti attaccato.

Questo numero, 292 N, e non 392, è la forza normale su cui andrebbe calcolato l'attrito di questa slitta con la formula che imparerai nella sezione 6, dove l'esercizio è un altro e la normale torna a coincidere con il peso. Ed è esattamente la ragione per cui non si scrive mai μ·m·g in automatico.

Errore tipico. Usare F_N = m·g = 392 N. Chi lo fa non sbaglia questo esercizio, lo sbaglia il prossimo: con μ = 0,20 l'attrito diventerebbe 78,4 N invece di 58,4 N, cioè il 34 per cento in più, e da lì in poi è tutto sbagliato a catena.

Tre forze su un punto: il semaforo e il lampadario

Finora le forze erano allineate con gli assi o quasi. Adesso l'archetipo vero: tre forze che tirano un punto in tre direzioni diverse, e la geometria che decide tutto. È il caso del semaforo appeso in mezzo alla strada, del lampadario su due catenelle, del cartellone teso fra due muri.

Esercizio 6 — Il semaforo appeso a un cavo, e il corpo giusto da scegliere

Testo. Un semaforo di massa 12 kg è appeso al centro di un cavo teso fra due pali. Per il peso il cavo si abbassa, e ciascuna delle due metà forma 20 gradi con l'orizzontale. Quanto vale la tensione in ciascuna metà del cavo? Usa g = 9,8 m/s2.

La mossa che sblocca. Prima però guarda il tentativo che viene in mente a tutti, e dove si arena. Prendi come corpo il semaforo: su di lui agiscono il peso, 12 · 9,8 = 117,6 N, e la tensione del pezzo di filo che lo tiene appeso. ΣF_y = 0 ti dà quella tensione, 117,6 N, e poi ti fermi. Le due tensioni oblique che cercavi non compaiono da nessuna parte, perché il semaforo non le sente direttamente. Corpo sbagliato.

Il corpo giusto è il nodo, cioè il punto in cui si incontrano le tre funi. Non è un oggetto, non ha massa, e proprio per questo la somma delle forze su di lui è zero comunque: m·a con m uguale a zero fa zero. Sul nodo agiscono tre forze: le due tensioni oblique e il tiro verso il basso del semaforo, che vale 117,6 N.

Lungo l'orizzontale le due tensioni sono uguali e opposte, e si elidono per simmetria: quell'equazione non ti dice niente di nuovo. Lungo la verticale invece:

2 · T · sen 20 gradi = m·g
2 · T · 0,3420 = 117,6
T = 117,6 / 0,6840 = 171,9 N

Verifica. La tensione è 1,46 volte il peso del semaforo. E cresce senza limite man mano che il cavo si avvicina all'orizzontale: già a 20 gradi ci vuole metà forza in più del peso, e a 5 gradi molta di più. È per questo che un cavo teso davvero dritto non esiste, e che i fili della luce fra un palo e l'altro fanno sempre la pancia. Non è sciatteria dell'operaio: è che tenderli del tutto vorrebbe dire spezzarli.

Errore tipico. Dividere il peso per due e scrivere T = 58,8 N. Funzionerebbe solo se le due metà del cavo fossero verticali, cioè se il semaforo fosse appeso a due fili paralleli che vanno dritti in su. Appena i fili sono inclinati, ciascuno deve tirare molto di più, perché solo la sua componente verticale regge il peso: il resto della sua forza se ne va a tirare orizzontalmente contro l'altro filo.

Equilibrio non è la terza legge

Ultima cosa, e non è una sottigliezza da pignoli.

Le forze che sommi in ΣF = 0 stanno tutte sullo stesso corpo. Peso, normale e fune agiscono tutte e tre sulla slitta: le puoi sommare perché è la stessa slitta a sentirle.

Azione e reazione, invece, stanno su corpi diversi. La slitta spinge il terreno in giù, il terreno spinge la slitta in su: queste due non le sommi mai, perché non agiscono sullo stesso oggetto. Se le sommassi otterresti zero sempre, per qualunque coppia di corpi dell'universo, e la fisica finirebbe lì.

Quanto è facile confonderle? Nel lavoro che ha introdotto il Force Concept Inventory, sedici dottorandi al primo anno furono intervistati all'inizio di un corso di meccanica avanzata: tre confondevano proprio queste due cose, l'equilibrio delle forze su un solo corpo e la coppia azione-reazione su due corpi diversi. Non studenti del biennio: dottorandi. Se ti capita di sbagliarlo, non sei tu il problema, è il concetto che è scivoloso. La regola per non sbagliare è una sola: prima di sommare, chiediti su quale corpo agisce ciascuna freccia. Se le risposte non coincidono, quelle forze non vanno nella stessa equazione. Sulla terza legge in generale trovi il quadro completo nella guida sulle le leggi di Newton.

Adesso hai le due equazioni e sai su quale corpo scriverle. Nella sezione 6 aggiungiamo la forza che rende tutto più interessante e più insidioso: l'attrito.

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L'attrito: prima lo usi, poi ne dubiti

L'ordine di questa sezione è deliberato. Prima ti do lo strumento e te lo faccio usare su un esercizio vero; solo alla fine ti dico entro quali limiti vale. Il contrario ti lascerebbe con niente in mano: qualcuno che ti avvisa che la formula è approssimata prima ancora che tu l'abbia usata una volta.

Quindi: adesso si calcola. I dubbi arrivano in fondo, e sono dubbi seri.

L'attrito statico si adatta

Le due relazioni sono queste, e il segno conta più del resto:

attrito statico:  F_s <= mu_s · F_N     con massimo  F_s(max) = mu_s · F_N
attrito dinamico: F_d  = mu_d · F_N

Guarda la prima riga. C'è un minore-uguale, non un uguale.

L'attrito statico è una forza di risposta. Non ha un valore suo. Spingi con 10 N e lui vale 10 N; spingi con 40 N e lui vale 40 N; e continua a inseguirti finché non arriva al suo tetto, che è mu_s per la forza normale. Da lì in poi non ce la fa più, e il corpo parte.

Scrivere F_s = mu_s · F_N come formula generale è un errore, non una semplificazione. Il minore-uguale diventa uguale in un caso solo: l'istante del distacco. Quando succede, in questa guida lo diciamo a voce alta.

Non è una pedanteria da professori. In una revisione sistematica di 42 lavori di ricerca didattica sull'attrito, l'idea «l'attrito statico vale sempre il massimo mu·F_N» compare come idea sbagliata censita in 4 studi diversi, ed è la seconda più frequente del suo gruppo. Accanto a lei ce n'è una gemella: «l'attrito statico non dipende dalla forza esterna». Dipende eccome. È la forza esterna a decidere quanto vale.

C'è anche il caso opposto, altrettanto diffuso: «se il corpo è fermo, l'attrito non c'è», rilevata in 5 studi. Se stai spingendo un armadio che non si muove, l'attrito c'è, ed è esattamente pari alla tua spinta. Altrimenti l'armadio si muoverebbe.

Il secondo dettaglio da fissare subito: F_N è la forza normale, non il peso. Su un piano orizzontale e senza altre forze verticali le due coincidono, e infatti nell'esercizio qui sotto scriveremo F_N = m·g senza pensarci troppo. Su un piano inclinato non coincidono più, e chi continua a usare il peso sbaglia tutto. Ci torniamo nella sezione 7.

Adesso l'esercizio. È la cassa che non si muove, la cassa che parte, e l'attrito che cala di colpo nell'istante in cui si stacca.

Esercizio 7 — la cassa che non parte, e poi parte

Testo. Una cassa di legno di 25 kg è ferma su un pavimento di legno, con mu_s = 0,50 e mu_d = 0,30. (a) La spingi orizzontalmente con 100 N: si muove? Quanto vale la forza d'attrito? (b) Aumenti a 130 N: che cosa succede, e con che accelerazione parte?

La mossa che sblocca. Prima di tutto la forza normale, che qui è semplice perché il piano è orizzontale e in verticale non c'è nient'altro:

F_N = m · g = 25 · 9,8 = 245 N

(Il testo non dà g, quindi vale il valore di questa guida, g = 9,8 m/s2, e teniamo quello per tutti i conti che seguono.)

Poi la soglia del distacco, cioè il tetto dell'attrito statico:

F_s(max) = mu_s · F_N = 0,50 · 245 = 122,5 N

(a) Spingi con 100 N. E 100 è minore di 122,5: la cassa non si muove.

E l'attrito, in questo momento, vale esattamente 100 N. Non 122,5 N.

Fermati un secondo su questo, perché è il punto della sezione. Se l'attrito valesse 122,5 N contro una spinta di 100 N, la somma delle forze orizzontali sarebbe di 22,5 N diretti all'indietro, e la cassa ti verrebbe addosso da sola. Cosa che non si è mai vista. L'attrito statico dà quanto serve, non quanto può.

(b) Spingi con 130 N. E 130 è maggiore di 122,5: la cassa parte. Da quell'istante l'attrito statico non c'è più; c'è quello dinamico, che è più piccolo e ha un valore fisso:

F_d = mu_d · F_N = 0,30 · 245 = 73,5 N

forza netta = 130 - 73,5 = 56,5 N
a = 56,5 / 25 = 2,26 m/s2

Verifica. Appena la cassa parte, l'attrito cala di colpo da 122,5 N a 73,5 N. Quasi cinquanta newton spariti in un istante, senza che tu abbia cambiato niente. È esattamente la sensazione che hai quando sposti un mobile: spingi, spingi, non succede niente, e poi quello scatta in avanti tutto insieme e tu quasi ci cadi sopra. Quello scatto è la differenza fra mu_s e mu_d.

Errore tipico. Rispondere 122,5 N al punto (a): cioè applicare la formula del massimo a una cassa ferma sotto una spinta più debole. Il fatto stesso che la cassa sia ferma ti dà già la risposta senza calcoli: se non accelera, la somma delle forze orizzontali è zero, quindi l'attrito vale 100 N. Vedi la sezione 5, dove questa è tutta la storia.

I numeri di mu: due cifre, e mai a memoria

Qualche valore tabulato, statico e dinamico appaiati:


Tre cose da leggerci dentro.

La prima: il titolo originale di questa tabella contiene la parola «approssimati». Non è una svista dell'autore, è un avvertimento.

La seconda: mu può benissimo superare 1. La gomma su cemento asciutto sta a 1,0. Chi ti ha detto che «mu è un numero fra 0 e 1» ti ha detto una cosa falsa.

La terza, la più utile in verifica: mu non è una proprietà del materiale, è una proprietà dell'interfaccia. Non esiste «il mu del legno». Esiste il mu del legno su legno, che è un'altra cosa dal legno su acciaio o dal legno su ghiaccio. Ci vogliono due superfici perché il numero abbia un significato. Nei problemi il valore te lo dà sempre il testo: non si impara a memoria e non si inventa.

Noterai che l'esercizio 7 usava 0,50 e 0,30, cioè proprio legno su legno.

E la risposta alla domanda lasciata aperta nella guida su Newton

Nella guida su le leggi di Newton avevamo lasciato in sospeso una domanda: da che cosa dipende, di preciso, il coefficiente d'attrito?

Risposta, e sta tutta nella formula: mu è il rapporto fra la forza d'attrito e la forza normale. Quelle due, e nessuna altra.

mu = F_attrito / F_N

Nel rapporto non compare la massa. E non compare l'area.

La massa entra solo di rimbalzo, attraverso F_N, e solo quando la normale coincide col peso: cambia la forza d'attrito, non il coefficiente. Chi scrive «più massa, più mu» ha confuso il numeratore col rapporto. L'area, invece, non entra affatto — ed è qui che la faccenda si complica, come vedrai fra tre righe.

Perché è una regola pratica e non una legge

Adesso che l'hai usata, il riquadro finale.

Un'ultima nota, per chi si chiede se tutto questo sia programma. Nelle Indicazioni nazionali dei licei la parola «attrito» non compare mai: zero occorrenze in tutto il decreto. Compare invece, nero su bianco, nelle linee guida degli istituti tecnici, nella voce «energia, lavoro, potenza; attrito e resistenza del mezzo». Il che non toglie niente: l'attrito arriva comunque in ogni verifica del biennio, perché senza di lui restano fuori il piano scabro, la cassa che non parte e la scala appoggiata al muro, cioè gli esercizi 7, 9, 10 e 14 di questa guida. Ma ti dice dove andare a cercare quando il libro è avaro — e ti dice anche che la faccia energetica dell'attrito la trovi nella guida su lavoro, energia e potenza.

Adesso che l'attrito lo sai usare e sai anche quanto fidartene, si può inclinare il piano. È la sezione 7, ed è lì che quasi tutti perdono il controllo della forza normale.

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Il piano inclinato: dove l'angolo si sposta

Il piano inclinato è il posto dove metà della classe si perde. Non perché i conti siano difficili: perché c'è un passaggio geometrico che quasi nessuno ti fa vedere, e senza quello scrivi seno dove va coseno.

Quanto è comune l'errore, con un numero misurato: Mikula e Heckler hanno somministrato a 1.313 studenti universitari un test di matematica vettoriale, e su una domanda che chiedeva semplicemente la componente del peso di un blocco fermo su un piano inclinato, il punteggio dopo il corso ordinario era del 20 per cento. Con un addestramento dedicato saliva al 50 per cento. Gli autori scrivono che è un'abilità difficile e che serve altro lavoro per migliorarla. Metà degli universitari, dopo il corso di fisica. Non è una tua debolezza personale.

Perché l'angolo del piano ricompare fra il peso e la perpendicolare

Il peso punta in giù, verticale. Il piano è inclinato di θ. Domanda: che rapporto c'è fra quel θ del piano e l'angolo che si forma fra il peso e la perpendicolare al piano?

Non «si vede che sono uguali». Si dimostra, e ci vogliono due righe.

   perpendicolare al piano
               \ teta |
                \     |  <-- la verticale
                 \    |
                  \   |   /
                   \  |  /
                    \ | /
                     \|/
                      o  <-- il corpo
                     /|
                    / |
                   /  v
                  /   P (verticale, in giu')
                 /  <-- il piano
                / teta
               /______________________________
                    orizzontale

I due angoli in questione sono:

1) l'angolo alla base del piano, fra il piano e l'orizzontale: è θ per definizione;
2) l'angolo in cima, fra la verticale del peso e la perpendicolare al piano.

Guarda i lati, uno per uno. Il primo angolo è formato da piano e orizzontale. Il secondo è formato da perpendicolare-al-piano e verticale. Ora: la perpendicolare al piano è perpendicolare al piano (per costruzione), e la verticale è perpendicolare all'orizzontale (per definizione di verticale). Quindi i lati del secondo angolo sono, uno per uno, perpendicolari ai lati del primo.

Fine. L'angolo fra il peso e la perpendicolare al piano è θ. Non è una somiglianza a occhio: è un teorema che hai fatto in geometria e che qui torna a servire.

Adesso, e solo adesso, si scompone. Il peso è l'ipotenusa di un triangolino rettangolo i cui cateti sono le due componenti; θ sta fra il peso e la componente perpendicolare. Quindi la perpendicolare è il cateto adiacente a θ (coseno) e la parallela è il cateto opposto (seno):

P_parallela      = m · g · sen(teta)     (tira il corpo giù per il piano)
P_perpendicolare = m · g · cos(teta)     (schiaccia il corpo sul piano)

Se questa dimostrazione ti sembra pedanteria, guarda di nuovo il 20 per cento di prima.

La forza normale sul piano inclinato, ricavata

Qui, e non tre sezioni fa, si ottiene la formula della normale. E si ottiene come conseguenza dell'equilibrio, non come definizione.

Metti gli assi inclinati: uno lungo il piano, uno perpendicolare. Lungo la perpendicolare il corpo non fa niente: non affonda dentro il piano, non si stacca e vola via. Non si muove, quindi lì la somma delle forze è zero. E lungo la perpendicolare ci sono solo due cose, la normale che spinge fuori e P_perpendicolare che schiaccia dentro:

F_N - m·g·cos(teta) = 0     ==>     F_N = m·g·cos(teta)

Attenzione a come è nata questa formula, perché ti dice anche quando muore. Vale solo se lungo la perpendicolare non c'è nient'altro. Se qualcuno tira il blocco con una fune inclinata, se lo schiacci contro il piano con una mano, se c'è una molla di traverso, il conto va rifatto da capo mettendo dentro anche quelle. F_N = m·g·cos θ non è una proprietà del piano inclinato: è il risultato di un'equazione con dentro due sole forze.

Il controllo di sanità mentale, da fare sempre

Hai scritto le formule e non sei sicuro di non aver scambiato seno e coseno. Ci sono cinque secondi di lavoro che ti tolgono ogni dubbio, e non richiedono di rifare niente: si portano le formule ai due casi estremi, dove la risposta la sai già senza fisica.

θ = 0. Il piano è orizzontale, un tavolo. Il corpo deve stare fermo, quindi niente lo tira lungo il piano, e il piano deve reggere tutto il peso. Le formule devono dare:

P_parallela      = m·g·sen 0 = m·g · 0 = 0        giusto: niente lo tira
P_perpendicolare = m·g·cos 0 = m·g · 1 = m·g      giusto: F_N = m·g, il caso del tavolo

θ = 90 gradi. Il piano è un muro verticale. Il corpo cade libero lungo il muro, e il muro non lo tocca nemmeno. Le formule devono dare:

P_parallela      = m·g·sen 90 = m·g · 1 = m·g     giusto: cade con tutto il peso
P_perpendicolare = m·g·cos 90 = m·g · 0 = 0       giusto: F_N = 0, il muro non regge niente

Se hai scambiato le due funzioni ottieni che sul tavolo orizzontale il corpo viene tirato di lato da m·g e il tavolo non lo regge affatto. Te ne accorgi subito, ed è un assurdo talmente grosso che non ti serve la calcolatrice.

Fallo in verifica. Costa cinque secondi e ti salva un esercizio intero.

Piano liscio: è il moto uniformemente accelerato dell'altra guida

Se il piano è senza attrito, lungo il piano resta una sola forza, P_parallela. Seconda legge:

m·a = m·g·sen(teta)     ==>     a = g·sen(teta)

Due cose da notare, e sono grosse tutte e due.

La massa sparisce. Non compare nel risultato. Un blocco di piombo e uno di polistirolo, sullo stesso piano liscio, scendono con la stessa accelerazione. È lo stesso motivo per cui in caduta libera tutto cade uguale: la massa che pesa e la massa che resiste sono la stessa massa, e si semplificano.

L'accelerazione è costante. θ non cambia, g non cambia, quindi a non cambia. E allora da qui in poi non c'è più niente di nuovo da imparare: vale tutto quello che sai dalla guida sul moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato, v = a·t, s = ½·a·t², tutto quanto. Il piano inclinato liscio è un moto uniformemente accelerato con a = g·sen θ al posto di g. Lo vedi lavorare nell'esercizio 8.

Piano scabro: prima si chiede se si muove

Con l'attrito cambia il metodo, non solo i numeri. E il metodo è in due tempi, in quest'ordine, mai al contrario.

Primo tempo: quanto lo tira giù. Si calcola P_parallela = m·g·sen θ. Questa è la forza che lo vuole far scivolare.

Secondo tempo: quanto lo può trattenere al massimo. Si calcola F_N = m·g·cos θ, e poi μ_s·F_N. Questo è il tetto dell'attrito statico, non il suo valore.

Poi si confrontano i due numeri, e solo allora si risponde. Se P_parallela sta sotto il tetto, il corpo è fermo e l'attrito vale esattamente quanto P_parallela, perché tanto gli serve per tenerlo. Se P_parallela supera il tetto, il corpo parte, e da lì in avanti l'attrito è quello dinamico, μ_d·F_N, che invece un valore proprio ce l'ha.

È il minore-uguale della sezione 6 applicato al piano inclinato. Lo trovi in azione nell'esercizio 9, ed è esattamente il punto su cui i concorrenti sbagliano di più.

L'angolo critico, e come si misura μ_s in laboratorio

C'è un istante privilegiato, ed è quello in cui il corpo parte. In quell'istante, e in nessun altro, l'attrito statico è arrivato al suo massimo: sta ancora tenendo, ma al limite. Quindi lì, e lì soltanto, il minore-uguale diventa uguale:

m·g·sen(teta) = mu_s · m·g·cos(teta)

Semplifica m da tutte e due le parti, semplifica g, e resta:

mu_s = sen(teta)/cos(teta) = tan(teta)

Guarda che cosa è successo. La massa se n'è andata, g se n'è andato. Resta un numero puro uguale alla tangente di un angolo.

E questa non è solo una formula da imparare: è un metodo di misura. Se vuoi conoscere μ_s fra due materiali, non ti serve un dinamometro e non ti serve nemmeno una bilancia. Ti servono un'asse di quel legno, un blocco di quel materiale e un goniometro. Appoggi, sollevi piano piano un'estremità, guardi a che angolo parte, fai la tangente. Fine. È l'esperienza che si fa in ogni laboratorio del biennio, ed è l'esercizio 10.

Avvertenza dichiarata: l'attrito non è una componente del peso

Questo va detto esplicitamente, perché è un errore censito dalla ricerca. Nella revisione sistematica di Kizilcik e colleghi, che ha passato in rassegna 42 lavori sulle misconcezioni sull'attrito, c'è una voce dedicata: l'idea che l'attrito che agisce su un corpo sul piano inclinato sia una componente della forza peso.

Non lo è. Il peso ha esattamente due componenti nei nostri assi, quella parallela e quella perpendicolare, e finiscono lì. L'attrito è una forza a sé, di natura diversa: nasce dal contatto fra le due superfici, sparisce se le superfici si separano, dipende da com'è fatto il piano e non da quanto pesa il corpo direttamente ma solo attraverso F_N.

Chi confonde le due cose poi conta due volte la stessa cosa nel diagramma di corpo libero, e il conto non torna più. Sul diagramma le forze da mettere sono tre: peso (uno solo, verticale, che poi scomponi), normale, attrito. Non quattro.

Esercizio 8 — Blocco su piano liscio a 30 gradi

Testo. Un blocco di 4,0 kg è appoggiato su un piano inclinato di 30 gradi privo di attrito, e viene lasciato libero. (a) Quanto valgono le due componenti del peso e la forza normale? (b) Con che accelerazione scende? (c) Dopo 2,0 s da fermo, che velocità ha e quanta strada ha fatto?

La mossa che sblocca. Assi inclinati, e F_N ricavata dall'equilibrio perpendicolare, non copiata dal caso del tavolo.

(a) Il peso vale P = 4,0 · 9,8 = 39,2 N. Con un asse lungo il piano e uno perpendicolare:

P_parallela      = 39,2 · sen 30 gradi = 39,2 · 0,5000 = 19,6 N
P_perpendicolare = 39,2 · cos 30 gradi = 39,2 · 0,8660 = 33,95 N

Lungo la perpendicolare c'è equilibrio, quindi F_N = 33,95 N, non 39,2 N.

(b) Lungo il piano l'unica forza è P_parallela, quindi:

a = 19,6 / 4,0 = 4,9 m/s2

Che è anche g · sen 30 gradi = 9,8 · 0,5 = 4,9 m/s². La massa sparisce: un blocco di piombo e uno di polistirolo scendono uguale.

(c) Da qui in poi è moto uniformemente accelerato, e valgono le formule dell'altra guida:

v = 4,9 · 2,0 = 9,8 m/s
s = 0,5 · 4,9 · 2,0^2 = 9,8 m

Verifica. Le due componenti devono ricomporre il peso: 19,6 al quadrato più 33,95 al quadrato fa 1.536,6, e la radice è 39,2. Torna.

Errore tipico. Usare F_N = m·g = 39,2 N. Qui non cambia l'accelerazione, perché il piano è liscio e F_N non entra nel conto: cambia tutto nell'esercizio successivo, dove l'attrito si calcola proprio su F_N. Chi si abitua a scrivere F_N = m·g sul piano inclinato sbaglia in eccesso ogni attrito che calcolerà da qui in avanti, e di quanto dipende dall'angolo: qui a 30 gradi del 15,5 per cento, a 45 gradi del 41 per cento, a 60 gradi del 100 per cento esatto. L'errore non è una percentuale fissa, è 1 diviso il coseno meno 1, e cresce in fretta.

Esercizio 9 — Scivola o no? E quanto vale l'attrito?

Testo. Un blocco di 10 kg sta su un piano inclinato di 20 gradi; il coefficiente di attrito statico fra blocco e piano è 0,50. Il blocco scivola? Quanto vale la forza d'attrito che agisce su di lui?

La mossa che sblocca. Due conti, in quest'ordine, e mai al contrario.

Quanto lo tira giù:

P_parallela = 10 · 9,8 · sen 20 gradi = 98 · 0,3420 = 33,5 N

Quanto lo può trattenere al massimo:

F_N        = 98 · cos 20 gradi = 98 · 0,9397 = 92,1 N
mu_s · F_N = 0,50 · 92,1       = 46,0 N

Siccome 33,5 è minore di 46,0, il blocco resta fermo. E allora l'attrito vale 33,5 N, cioè quanto serve per tenerlo, non 46,0 N.

Verifica alternativa, senza toccare le masse: l'angolo critico di questo accoppiamento è arctan 0,50 = 26,6 gradi. Il piano è a 20 gradi, cioè sotto la soglia: stessa conclusione, ottenuta in una riga.

Errore tipico. Scrivere F_attrito = μ_s·F_N = 46,0 N e poi accorgersi che 46,0 è maggiore di 33,5 e concludere che il blocco «risale». Nessun blocco è mai risalito da solo lungo un piano inclinato. Il minore-uguale della sezione 6 serve esattamente a questo.

Esercizio 10 — Misurare μ_s con un'asse e un goniometro

Testo. Appoggi un blocco su un'asse di legno e sollevi lentamente un'estremità. Il blocco comincia a scivolare quando l'asse forma 27 gradi con l'orizzontale. Quanto vale il coefficiente di attrito statico? La risposta dipende dalla massa del blocco?

La mossa che sblocca. All'istante del distacco, e in quell'istante soltanto, si può scrivere l'uguale al posto del minore-uguale: è esattamente il momento in cui l'attrito statico ha raggiunto il suo massimo. È l'unico caso in cui vale F_s = μ_s·F_N.

m·g·sen(teta) = mu_s · m·g·cos(teta)

La massa si semplifica da tutte e due le parti, e anche g:

mu_s = sen(teta)/cos(teta) = tan(teta) = tan 27 gradi = 0,51

La risposta non dipende dalla massa. Ed è proprio per questo che il metodo funziona: ti bastano un'asse e un goniometro, non serve nessun dinamometro, e non serve nemmeno pesare il blocco.

Verifica al contrario. Se il coefficiente fosse 0,50, l'angolo critico sarebbe arctan 0,50 = 26,6 gradi, cioè poco sotto il nostro: coerente.

Controllo della calcolatrice. tan 27 deve dare 0,5095. Se sul display leggi −3,2737 sei in radianti: rimetti in gradi e rifai.

Errore tipico. Scrivere μ_s = sen 27 gradi = 0,45. Il seno da solo non è un rapporto fra le due forze che ti interessano: serve il rapporto fra la componente che spinge giù e quella che schiaccia, cioè seno diviso coseno. L'altro errore è cercare μ in tabella: qui μ lo stai misurando, ed è il valore di queste due superfici, non di «legno su legno» in generale.

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Il momento di una forza: il braccio non è la distanza dalla forza

Fino a qui i corpi erano punti. Un punto o sta fermo o si sposta: non può girare. Ma una porta gira, una chiave gira, un'altalena gira, e per queste cose ΣF = 0 non basta più. Serve una grandezza nuova, che misuri non «quanto spingi» ma «quanto fai girare».

La spinta più forte del mondo non apre una porta se la applichi vicino ai cardini. Provaci: metti la mano a due centimetri dalla cerniera e spingi con tutta la forza che hai. La porta resta lì. Poi appoggia un dito sulla maniglia, all'altro capo, e la porta si apre da sola. Stessa porta, forza molto minore, effetto molto maggiore. Quello che è cambiato non è la forza: è dove l'hai messa.

Le parole nuove, tutte in tre righe

Qui, dove servono, e non nelle note di notazione.

• Polo: il punto attorno a cui immagini la rotazione. Lo scegli tu.
• r: la distanza dal polo al punto in cui la forza è applicata.
• Retta d'azione: la retta su cui la forza giace, prolungata all'infinito da tutte e due le parti.
• b, il braccio: la distanza PERPENDICOLARE dal polo alla retta d'azione.
• φ: l'angolo fra r e la forza.

r e b sono la stessa cosa in un caso solo, quando la forza è perpendicolare a r. In tutti gli altri casi b è più corto.

M = F · r · sen(fi) = F · b

Il braccio non è la distanza dal punto di applicazione: è la distanza dalla retta su cui la forza giace. È la differenza fra saper risolvere e indovinare.

Guarda il disegno finché non ti entra in testa. La forza è applicata in un punto, ma la sua retta d'azione è infinita, e il braccio si misura da lì:

   polo
    o
    |\
    | \  r
  b |  \
    |   \
    +----P------> F
    retta d'azione

Il segmento b esce dal polo e va a sbattere perpendicolarmente contro la retta d'azione. Non arriva a P. Quasi sempre è più corto di r, e più la forza è «di sbieco» più si accorcia.

Vale la pena dirlo, perché la definizione sbagliata gira anche su pagine di editori scolastici: c'è chi definisce il braccio come «la distanza fra i punti di applicazione delle due forze». Non è quello. Il braccio è una distanza perpendicolare, e si misura da un punto a una retta.

N·m e non J, e mai N/m

Momento e lavoro hanno la stessa dimensione ma significato diverso, e per questo il momento si scrive in N·m e mai in joule: la regola è scritta nel documento del BIPM che definisce il sistema internazionale. La ragione in una frase: nel lavoro forza e spostamento sono paralleli, nel momento forza e braccio sono perpendicolari. Sommare un momento e un'energia è un errore fisico, e l'unità diversa serve proprio a impedirlo.

Se vuoi rivedere da vicino il caso in cui forza e spostamento sono paralleli, sta tutto nella guida su lavoro, energia e potenza.

Trappola di tastiera: N/m non è N·m. N/m è l'unità della costante elastica k, quella della molla della sezione 4. Se scrivi un momento in N/m hai cambiato grandezza.

Il segno è una convenzione, non un fatto

Si sceglie antiorario positivo, si scrive che lo si è scelto, e si tiene per tutti i termini della stessa equazione. Con la convenzione opposta il risultato fisico è identico. Senza convenzione dichiarata, ΣM = 0 non è utilizzabile.

Quando il momento è nullo

Due casi: forza applicata proprio sul polo, oppure retta d'azione che passa per il polo. In tutti e due il braccio è zero. È la porta di servizio che userai nella sezione 9 per far sparire le incognite.

Esercizio 11 — La chiave inglese tirata di sbieco

Testo. Stringi un bullone con una chiave lunga 0,25 m. Applichi 40 N all'estremità, ma non perpendicolarmente: la tua forza forma 60 gradi con il gambo della chiave, cioè con la direzione di r. Quanto vale il momento rispetto al bullone? E se tirassi perpendicolarmente?

La mossa che sblocca. Polo nel bullone. La forza è applicata a r = 0,25 m dal polo, e l'angolo fra r e la forza è φ = 60 gradi.

M = F · r · sen(fi) = 40 · 0,25 · sen 60 gradi = 40 · 0,25 · 0,8660 = 8,66 N·m

Lo stesso risultato passando dal braccio, che è la strada più istruttiva. La retta d'azione della forza è inclinata di 60 gradi rispetto al gambo; la distanza perpendicolare dal bullone a quella retta vale

b = 0,25 · sen 60 gradi = 0,2165 m
M = 40 · 0,2165 = 8,66 N·m

Il braccio è 0,2165 m, non 0,25 m: la chiave è lunga 25 cm, ma è come se fosse lunga 21,65 cm.

Tirando perpendicolarmente, φ = 90 gradi, sen 90 = 1 e il braccio coincide con la lunghezza della chiave: M = 40 · 0,25 = 10,0 N·m. Circa il 15 per cento in più, a parità di fatica.

Verifica. A φ = 0 il momento è zero, e infatti spingendo la chiave lungo il proprio gambo il bullone non gira di un millimetro: la retta d'azione passa per il polo, il braccio è zero.

Errore tipico. Scrivere M = 40 · 0,25 = 10 N·m ignorando l'angolo, cioè scambiare il braccio con la lunghezza della chiave. E poi scrivere il risultato in joule: 8,66 J non è un momento, è un'energia, e chi lo scrive perde punti anche quando il numero è giusto.

Esercizio 12 — L'altalena, e perché non si equilibrano le forze

Testo. Un bambino di 30 kg siede a 1,80 m dal fulcro di un'altalena. Un adulto di 75 kg vuole equilibrarlo: a che distanza dal fulcro deve sedersi?

La mossa che sblocca. Polo nel fulcro, convenzione: antiorario positivo.

Prima i bracci, che qui vanno ricavati e non dati per ovvi. Le due forze in gioco sono i due pesi, e i pesi sono verticali. La retta d'azione di ciascun peso è quindi una retta verticale che passa per il punto in cui la persona è seduta. Il braccio è la distanza perpendicolare dal fulcro a quella retta verticale, cioè la distanza ORIZZONTALE fra il fulcro e la persona.

        d1 = 1,80 m          d2 = ?
  |<--------------->|<------------->|
  o                 A               o
  |                /_\              |
  v peso 1                          v peso 2

Finché l'asse è orizzontale, i bracci coincidono con le distanze misurate lungo l'asse. ΣM = 0 dà:

m1 · g · d1 = m2 · g · d2
30 · 9,8 · 1,80 = 75 · 9,8 · d2

g si semplifica da tutte e due le parti:

d2 = 30 · 1,80 / 75 = 54 / 75 = 0,72 m

L'adulto deve sedersi a 72 cm dal fulcro. Nota che il valore di g non conta: si semplifica, e con 9,81 al posto di 9,8 il risultato è identico.

Verifica. I due momenti: 30 · 9,8 · 1,80 = 529,2 N·m e 75 · 9,8 · 0,72 = 529,2 N·m. Coincidono.

Errore tipico. Uguagliare le FORZE invece dei momenti: 294 N contro 735 N non si equilibreranno mai, e chi ragiona così conclude che l'altalena non può stare in pari, il che è smentito da qualsiasi giardino pubblico. Quello che deve essere uguale è forza per braccio.

E non è un errore da distratti. In uno studio su più di mille studenti universitari che avevano già fatto il corso di fisica, quando il corpo in equilibrio era un corpo esteso con massa distribuita, la maggior parte spiegava l'equilibrio dicendo che ai due lati del fulcro agiscono forze di uguale intensità. Non momenti uguali: forze uguali. Se ti viene spontaneo pensarlo, sei in ottima e numerosa compagnia, ed è proprio per questo che conviene scrivere sempre la parola «braccio» accanto a ogni forza prima di sommare.

Adesso hai la grandezza che mancava. Nella sezione 9 la metti in fila con ΣF = 0, scegli il polo dove ti conviene, e risolvi la scala appoggiata al muro, la trave su due appoggi e le leve.

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Il corpo rigido: due condizioni, il polo scelto bene, leve e ribaltamento

Fin qui il corpo era un punto: tutte le forze arrivavano nello stesso posto e bastava chiudere il poligono. Adesso il corpo ha una forma, e il punto in cui applichi la forza cambia tutto. Una porta la apri dalla maniglia, non dalla cerniera, anche se la forza è identica.

Perché le condizioni sono DUE

Prendi un'asta e applica due forze uguali e opposte ai suoi estremi, una in su e una in giù. La somma vettoriale è zero: la prima condizione è soddisfatta, il centro dell'asta non si sposta di un millimetro. Eppure l'asta gira, perché i due momenti hanno lo stesso verso di rotazione e invece di elidersi si sommano. Una condizione sola non basta.

Le condizioni sono queste:

Sigma F_x = 0
Sigma F_y = 0
Sigma M   = 0

Nel piano sono tre equazioni. Quindi puoi trovare al massimo tre incognite: se il problema te ne chiede quattro, o hai dimenticato un'informazione o hai sbagliato a impostarlo.

Detto senza parole tecniche: un corpo rigido è in equilibrio quando non accelera e non comincia a girare. Attenzione al «comincia»: può benissimo muoversi, purché con vettore velocità costante, e può perfino ruotare, purché non cambi la velocità di rotazione. È lo stesso allargamento visto nella sezione 5 per il punto materiale, portato al corpo esteso.

Per i segni vale la convenzione della sezione 8: momento antiorario positivo, momento orario negativo. Senza una convenzione dichiarata prima di scrivere l'equazione, ΣM = 0 non si può usare.

Baricentro e centro di massa

Serve adesso, perché la trave dell'esercizio 13 lo usa alla prima riga.

Per tutti gli scopi di questa guida baricentro e centro di massa sono la stessa cosa. Si differenziano solo per corpi così estesi che la gravità cambia da una parte all'altra: una montagna, un pianeta. Su una trave di quattro metri la differenza non esiste.

La conseguenza operativa è una sola, e la usi ovunque: il peso di un corpo omogeneo si considera applicato al suo baricentro. Per una trave uniforme il baricentro è la metà esatta. Per una lastra rettangolare è il centro. Per la cassa dell'esercizio 15 è a metà altezza e a metà base. Non devi «distribuire» il peso lungo il corpo: lo concentri in un punto e da lì calcoli il braccio.

Il polo si sceglie, e la scelta vale mezzo compito

Enunciato a parole, senza formule vettoriali: se cambi polo, la somma dei momenti cambia di una quantità che dipende dalla risultante delle forze. Se la risultante è zero, cioè se la prima condizione è già soddisfatta, quella quantità è nulla e il risultato non cambia.

Quindi: il polo lo puoi mettere dove ti pare, ma solo se la somma delle forze è zero. Che è precisamente il caso in cui ti trovi quando risolvi un problema di equilibrio.

Non serve scriverlo col prodotto fra vettori, che in questa guida non è mai stato introdotto. La prova la fa l'esercizio 13 qui sotto: stessa trave, due poli diversi, stesso numero. Provalo tu con un terzo polo a caso, per esempio il punto dove appoggia il carico: torna anche quello.

E adesso la conseguenza operativa che quasi nessuno sfrutta:

Se una forza incognita passa per il polo il suo braccio è zero, quindi il suo momento è zero, quindi non compare. Un'equazione con una sola incognita al posto di un sistema con due. È la differenza fra dieci minuti e mezz'ora, e fra un compito finito e uno consegnato a metà.

Le leve, con i numeri

Una leva è un corpo rigido che ruota attorno a un fulcro. La condizione di equilibrio è quella già usata nell'esercizio 12, cioè ΣM = 0 riscritta in forma comoda:

F_1 · b_1 = F_2 · b_2

I bracci si misurano dal fulcro, perpendicolarmente alle rette d'azione. I generi si distinguono guardando che cosa sta in mezzo agli altri due.


Altalena, primo genere. Un bambino di 30 kg siede a 2,0 m dal fulcro. A che distanza deve mettersi un adulto di 75 kg? I pesi stanno fra loro come le masse, quindi g si semplifica:

30 · 2,0 = 75 · b
b = 60 / 75 = 0,80 m

Carriola, secondo genere. Il fulcro è la ruota, il carico sta in mezzo, le mani stanno all'estremità. Carico 60 kg, cioè 588 N con g = 9,8 m/s2, a 0,50 m dalla ruota; manici a 1,50 m:

F · 1,50 = 588 · 0,50
F = 294 / 1,50 = 196 N

Sollevi 588,6 N con 196,2 N, un terzo. Ma il guadagno non è gratis: i bracci stanno come 3 a 1, quindi per alzare il carico di 10 cm devi alzare i manici di 30 cm. Il conto del lavoro lo dice meglio di qualunque discorso: 588,6 · 0,10 = 58,86 J da una parte, 196,2 · 0,30 = 58,86 J dall'altra. Identici. Quello che risparmi in forza lo paghi in spostamento, sempre, in ogni macchina semplice. Se vuoi vedere da dove esce quel bilancio, sta nella guida su lavoro, energia e potenza.

Schiaccianoci, secondo genere. Premi con 20 N a 0,15 m dalla cerniera, la noce sta a 0,03 m:

F_noce = 20 · 0,15 / 0,03 = 100 N

Cinque volte la forza della mano. Ed è per questo che la noce va messa in fondo, vicino alla cerniera, non sulla punta.

Avambraccio, terzo genere. Qui la potenza sta in mezzo e la leva è svantaggiosa in forza. Metti che il bicipite si attacchi a 0,04 m dal gomito e che tu regga un peso di 50 N con la mano a 0,32 m dal gomito:

F_muscolo · 0,04 = 50 · 0,32
F_muscolo = 16 / 0,04 = 400 N

Otto volte il peso che stai reggendo. Sembra un progetto sbagliato, e invece è un progetto diverso: il muscolo si accorcia di 1 cm e la mano si sposta di 8 cm. Perdi in forza e guadagni in velocità e ampiezza del gesto. Un braccio costruito «bene» in senso meccanico sarebbe fortissimo e lentissimo.

Stabile, instabile, indifferente

Si parte dal corpo appoggiato, che è il caso che ti serve in verifica.

L'equilibrio è stabile se, scostando un po' il corpo, questo torna da solo dov'era: una scodella con dentro una biglia. È instabile se al minimo scostamento se ne va per i fatti suoi: la stessa biglia sopra la scodella rovesciata. È indifferente se in ogni posizione sta comunque in equilibrio: la biglia sul tavolo.

Il criterio operativo per il corpo appoggiato è quello del ribaltamento, qui sotto.

Il corpo appeso merita una riga, e va imparata nel verso giusto perché in rete gira anche rovesciata: un corpo appeso è stabile quando il baricentro sta sotto il punto di sospensione, instabile quando sta sopra. Pensa a un appendiabiti tenuto per il gancio, e poi provato in equilibrio sulla punta.

Quando si ribalta

Il criterio è uno solo, e si disegna:

Il motivo è che il peso, finché la verticale è dentro, produce un momento che riporta il corpo a posto; appena esce, lo stesso peso produce un momento che lo fa cadere. Stessa forza, verso di rotazione opposto, e in mezzo c'è lo spigolo.

Da qui la ragione per cui un armadio alto e stretto va ancorato al muro: la base è piccola, il baricentro è alto, e basta pochissima inclinazione perché la verticale esca. Un armadio identico, largo il doppio, non lo ribalti nemmeno spingendo.

E poi c'è il compromesso vero, quello che l'esercizio 15 mette in numeri: le due manopole non sono indipendenti. Alzare l'aderenza alza l'angolo di slittamento, cioè il piano si può inclinare di più prima che il corpo scivoli. Ma quando quell'angolo supera l'angolo di ribaltamento, il veicolo smette di scivolare e comincia a rovesciarsi. È per questo che chi monta gomme molto aderenti deve anche abbassare e allargare il baricentro: il rapporto fra larghezza e altezza è la difesa contro l'aderenza che si è appena guadagnato. Lo scivolamento, finché c'è, è una valvola di sfogo.

I tre archetipi

I problemi di corpo rigido che trovi in verifica sono quasi sempre tre: trave su due appoggi, scala appoggiata al muro, mensola caricata. È il territorio che il materiale gratuito italiano lascia quasi deserto: il piano inclinato è saturo, il corpo rigido con i numeri no.

I primi due sono svolti qui sotto, con tutti i passaggi. Il terzo, la mensola, lo lascio a te: sono le stesse due condizioni, con il vincolo che questa volta deve reggere anche il momento.

Esercizio 13 — Trave su due appoggi, risolta con due poli diversi

Testo. Una trave omogenea lunga 4,0 m e di massa 60 kg poggia su due appoggi A e B posti ai suoi estremi. A 1,0 m da A viene appoggiato un carico di 100 kg. Quanto vale la reazione di ciascun appoggio? Poi rifai il conto scegliendo l'altro polo. Usa g = 9,8 m/s2.

La mossa che sblocca. La trave è omogenea, quindi il suo peso si considera applicato al baricentro, cioè a 2,0 m da ciascun estremo. Peso della trave 588 N, peso del carico 980 N. Tutte le forze sono verticali, quindi i bracci sono semplicemente le distanze orizzontali dal polo.

Polo in A, scelto lì apposta perché la reazione R_A ha braccio zero e sparisce dall'equazione:

R_B · 4,0 = 588 · 2,0 + 980 · 1,0 = 1176 + 980 = 2156
R_B = 2156 / 4,0 = 539 N

Poi la prima condizione, ΣF_y = 0, dà l'altra:

R_A = 588 + 980 - 539 = 1029 N

Adesso rifacciamo tutto con polo in B, dove sparisce R_B:

R_A · 4,0 = 588 · 2,0 + 980 · 3,0 = 1176 + 2940 = 4116
R_A = 4116 / 4,0 = 1029 N

Identico. Questa è la dimostrazione pratica che il polo si può scegliere, purché la somma delle forze sia zero, e che sceglierlo sulla retta d'azione di un'incognita la fa sparire.

Verifica. 1029 + 539 = 1568 N, e 588 + 980 = 1568 N: le due reazioni reggono esattamente tutto il peso, né più né meno.

Errore tipico. Dividere il carico a metà fra i due appoggi, 490 N ciascuno, «perché la trave è simmetrica». La trave lo è, il carico no: sta a 1,0 m da A e a 3,0 m da B, quindi A si prende la parte del leone. L'errore vale 539 N contro 490 N su un appoggio, cioè il 10 per cento, che su una struttura vera è la differenza fra un calcolo e un crollo.

Esercizio 14 — La scala appoggiata al muro liscio

Testo. Una scala omogenea di 8,0 kg e lunga 4,0 m è appoggiata a un muro liscio (attrito trascurabile) e forma 60 gradi con il pavimento, che invece è scabro. Usa g = 9,81 m/s2. (a) Quanto vale la spinta del muro? (b) Qual è il coefficiente di attrito minimo del pavimento perché la scala non scivoli? (c) E se sulla scala sale una persona di 70 kg fino in cima?

La mossa che sblocca. Le forze sono tre: il peso della scala, 78,48 N, applicato al baricentro cioè a metà; la spinta del muro, orizzontale perché il muro è liscio e può solo spingere perpendicolarmente a sé; la reazione del pavimento, che ha una parte verticale e una orizzontale, cioè l'attrito.

Verticale: il muro non spinge in su, quindi F_N del pavimento = 78,48 N. Orizzontale: l'attrito del pavimento deve pareggiare la spinta del muro.

Adesso i momenti, con polo nel piede della scala, scelto lì perché fa sparire due incognite su tre. I due bracci vanno ricavati, uno alla volta.

           muro
             |\
             | \  scala
  N_muro     |->\        retta d'azione di N_muro: orizzontale,
             |   \       all'altezza della cima
             |    \      (il muro spinge la scala verso destra)
  altezza    |     \
  = L·sen60  |      \
             |_______\ 60 gradi
                 <--->  braccio del peso = (L/2)·cos60
                     piede della scala: qui sta il polo

Braccio della spinta del muro. La sua retta d'azione è orizzontale e passa per la cima della scala, che sta a un'altezza L·sen 60 gradi sopra il piede. La distanza perpendicolare dal piede a una retta orizzontale è proprio quell'altezza:

b_muro = 4,0 · sen 60 gradi = 4,0 · 0,8660 = 3,464 m

Braccio del peso. La sua retta d'azione è verticale e passa per il baricentro, che sta a metà scala. La distanza perpendicolare dal piede a una retta verticale è la distanza orizzontale:

b_peso = (4,0/2) · cos 60 gradi = 2,0 · 0,5000 = 1,000 m

Equazione dei momenti:

N_muro · 3,464 = 78,48 · 1,000
N_muro = 78,48 / 3,464 = 22,66 N

(b) L'attrito deve valere 22,66 N e la forza normale è 78,48 N, quindi

mu_min = 22,66 / 78,48 = 0,2887

che è anche 1 diviso 2·tan 60 gradi: la lunghezza si semplifica e il peso pure.

Verifica, in tre passi, perché qui si dicono in giro due cose false.

Primo: μ_min non dipende né dalla massa né dalla lunghezza, ma SOLO a scala scarica. Con nessuno sopra, una scala di alluminio e una di quercia vogliono lo stesso attrito.

Secondo: la spinta del muro dipende eccome dalla massa, ed è il primo dei due numeri che hai calcolato. Raddoppia la massa e raddoppia la spinta: con 16 kg viene 45,31 N, cioè il doppio esatto di 22,66 N.

(c) Terzo, ed è la lezione vera. La persona in cima pesa 686,7 N e la sua retta d'azione è verticale, passante per la cima: il braccio è la distanza orizzontale piede-cima, cioè 4,0 · cos 60 gradi = 2,000 m. L'equazione dei momenti ha un termine in più (nei conti uso i valori esatti di seno e coseno, non gli arrotondati stampati sopra):

N_muro · 3,464 = 78,48 · 1,000 + 686,7 · 2,000 = 78,48 + 1373,4 = 1451,9
N_muro = 1451,9 / 3,464 = 419,1 N

F_N pavimento = 78,48 + 686,7 = 765,2 N
mu_min = 419,1 / 765,2 = 0,548

Quasi il doppio (1,9 volte) del valore a scala scarica. E se la persona fosse sempre più pesante, il termine della scala diventerebbe trascurabile e μ_min tenderebbe a 1 diviso tan 60 gradi, cioè 0,577. Più sali, più attrito serve. È per questo che le scale scivolano quando sei arrivato in alto, non quando ci sali sopra il primo gradino.

Errore tipico. Mettere il polo al centro della scala e ritrovarsi con tre incognite in una sola equazione: nessuno dei bracci si annulla e il conto non si chiude. L'altro errore, più grave perché è concettuale, è credere che «la scala non dipende dalla massa, quindi va bene qualunque cosa ci sia sopra»: il conto del punto (c) dice il contrario. E attenzione al modo di dire: la scala pericolosa è quella troppo CORICATA, cioè con un angolo piccolo col pavimento, perché il braccio del peso cresce e quello della spinta del muro cala.

Esercizio 15 — La cassa sul piano che si inclina: scivola o ribalta?

Testo. Una cassa a base quadrata di lato 0,60 m e alta 1,60 m, con il baricentro al centro, è appoggiata su un piano che viene inclinato sempre di più. Il coefficiente di attrito statico vale 0,30. La cassa si ribalta o scivola prima?

La mossa che sblocca. Due angoli critici, e vince il più piccolo, cioè quello che si raggiunge per primo mentre alzi il piano.

Ribaltamento. Succede quando la verticale per il baricentro esce dalla base d'appoggio, cioè quando supera lo spigolo a valle. Il baricentro sta a metà altezza, 0,80 m, e a metà base, 0,30 m, dallo spigolo:

tan(teta) = 0,30 / 0,80 = 0,375  ->  teta = 20,6 gradi

Slittamento. È l'angolo critico della sezione 7:

tan(teta) = mu_s = 0,30  ->  teta = 16,7 gradi

Siccome 16,7 gradi arriva prima di 20,6 gradi, la cassa SCIVOLA prima di poter ribaltare.

Verifica del senso fisico. Rendi il piano più ruvido, μ_s = 0,50: adesso lo slittamento arriva a 26,6 gradi, cioè dopo il ribaltamento, e la cassa si rovescia a 20,6 gradi. Stessa cassa, stessa forma, comportamento opposto: non puoi rispondere guardando solo l'oggetto.

E qui c'è il punto interessante. Un'auto da rally si progetta bassa e larga perché alza l'angolo di ribaltamento, e con gomme molto aderenti perché alzano quello di slittamento: ma le due manopole non sono indipendenti. Appena l'aderenza diventa alta, lo slittamento smette di proteggerti e resta solo il ribaltamento. Chi monta gomme che tengono deve per forza abbassare e allargare il baricentro.

Errore tipico. Rispondere «ribalta» a occhio, guardando che è alta e stretta, senza confrontare i due angoli. La forma da sola non decide: decide il confronto fra 0,375 (che è larghezza diviso altezza, cioè la forma) e 0,30 (che è l'attrito, cioè le superfici). Sono due numeri, e vanno guardati tutti e due.

Con questo hai tutto: le due condizioni, il polo scelto bene, le leve, la stabilità. Nella sezione 10 i quindici esercizi tornano in fila, dal primo all'ultimo, così puoi rifarli di seguito senza rileggere la teoria; nella sezione 11 ci sono gli errori che in verifica costano di più. E se ti sei chiesto che cosa succede quando l'equilibrio si rompe e il corpo comincia davvero ad accelerare, quello è il mestiere delle leggi di Newton.

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I quindici esercizi svolti, in fila

Se sei arrivato qui da una ricerca tipo «esercizi svolti sull'equilibrio», questa è la pagina giusta e questo è il punto da cui partire: ogni esercizio sta dentro la sezione che lo sblocca, e da qui ci arrivi con un clic. Non l'ho messo in fondo alla guida e non l'ho messo in un pdf da scaricare: se ti serve solo il numero 9, vai al numero 9.

Serve anche a un'altra cosa. Il giorno prima della verifica non rileggi tutto: ti rifai gli esercizi. Questa lista è fatta per quello. Copri lo svolgimento con una mano, prova, poi scopri.

La lista

1. Due forze perpendicolari, 30 N e 40 N: risultante ed equilibrante — sezione 3. Biennio. Il triangolo rettangolo più famoso della fisica del primo anno. Serve per capire che «risultante» ed «equilibrante» hanno lo stesso modulo e verso opposto, e che non sono la stessa cosa.

2. Scomporre 200 N a 30 gradi, dall'orizzontale e dalla verticale — sezione 3. Biennio. Lo stesso vettore, scomposto due volte, con l'angolo misurato prima da un asse e poi dall'altro. Seno e coseno si scambiano. È il modo più rapido per non impararli a memoria.

3. Massa, peso e unità: 6,0 kg in newton e in chilogrammi-forza — sezione 4. Biennio. Tre righe di conti e una distinzione che in verifica vale punti: la massa non cambia, il peso sì.

4. Molla e dinamometro: trovare k dall'allungamento — sezione 4. Biennio. Il dinamometro è l'unico strumento con cui una forza si legge davvero. Qui si ricava la costante elastica dai dati di una misura, non da una formula calata dall'alto.

5. Slitta tirata da una fune obliqua: quanto vale davvero F_N — sezione 5. Biennio. Il primo esercizio in cui la reazione normale non è uguale al peso. Se ti sei portato dietro l'idea che F_N = P sempre, questo è l'esercizio che te la toglie.

6. Il semaforo appeso a due cavi inclinati: il diagramma del nodo — sezione 5. Biennio. Tre forze concorrenti in un punto, con la geometria che non è banale. Il salto di qualità è capire che il corpo libero da isolare è il nodo, non il semaforo.

7. Cassa di 25 kg: si muove o no, e con che accelerazione parte — sezione 6. Biennio. Prima la domanda giusta («si muove?»), poi il conto. Qui l'attrito statico si usa come disuguaglianza, F_a ≤ μ_s·F_N, e μ_s·F_N è solo il tetto.

8. Piano inclinato liscio: componenti, accelerazione, e il raccordo con la cinematica — sezione 7. Biennio. Le componenti del peso su un piano senza attrito, e poi il pezzo che quasi nessuno collega: quel moto è un moto uniformemente accelerato, e da lì in poi valgono le formule che già conosci dalla guida sul moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato.

9. Piano inclinato scabro: prima si chiede se si muove — sezione 7. Biennio. Stesso piano, con l'attrito. L'ordine delle domande cambia tutto: chi parte scrivendo l'accelerazione senza aver prima confrontato la componente del peso con l'attrito statico massimo sbaglia anche quando i conti tornano.

10. Misurare μ_s con un'asse e un goniometro — sezione 7. Biennio. Alzi il piano finché il corpo parte, leggi l'angolo, e hai il coefficiente. Un esperimento che si fa in aula con quello che c'è.

11. Chiave inglese: braccio contro lunghezza — sezione 8. Biennio. La stessa forza, applicata alla stessa distanza, che dà momenti diversi a seconda dell'angolo. È l'esercizio che separa la distanza dal polo dal braccio.

12. Altalena: i bracci ricavati, non calati dall'alto — sezione 8. Biennio. Il problema classico della leva, ma con i bracci che vanno dedotti dai dati invece che letti nel testo.

13. Trave su due appoggi, risolta con due poli diversi — sezione 9. Biennio. Si risolve due volte, scegliendo due poli. Viene lo stesso risultato. E la seconda volta viene molto più in fretta.

14. La scala appoggiata al muro, scarica e con una persona in cima — sezione 9. Approfondimento. L'unico della lista che marco come approfondimento: tre incognite, due condizioni di equilibrio, e la terza equazione che arriva dai momenti. Se lo capisci, hai capito il corpo rigido.

15. Ribalta o scivola? Due angoli critici a confronto — sezione 9. Biennio. Una cassa alta e stretta su un piano che si inclina. C'è un angolo a cui scivola e un angolo a cui si rovescia: quello dei due che arriva prima decide che cosa succede.

Tre di questi non sono solo esercizi

Ce ne sono tre che valgono come controllo incrociato: non ti danno solo un numero, ti danno la prova che il metodo funziona. Sono quelli da rifare per primi se hai poco tempo, perché portano via un esercizio e ti restituiscono una dimostrazione.


Il 13 è il più importante dei tre. «Il polo si sceglie a piacere» te lo dicono tutti; nessuno te lo fa vedere. Farlo vedere costa dieci righe di conti in più e ti toglie il dubbio per sempre.

Il 10 fa una cosa che in fisica capita spesso e che vale la pena riconoscere: nel conto la massa compare a numeratore e a denominatore, e se ne va. Il risultato non dipende dal corpo che hai messo sull'asse. È il motivo per cui la misura funziona anche se non hai una bilancia.

Il 15 mette a confronto due condizioni che nascono da ragionamenti diversi — una dall'equilibrio alla traslazione, l'altra dall'equilibrio alla rotazione — e chiede quale scatta prima. Non è un esercizio in più: è il punto in cui le due condizioni dell'equilibrio smettono di sembrare due formule e diventano due domande distinte.

Come sono fatti tutti quanti

Ogni esercizio ha tre parti fisse, sempre nello stesso ordine:

Testo.               che cosa si sa, che cosa si chiede
La mossa che sblocca. il passaggio senza il quale non si va avanti
Errore tipico.        quello che si sbaglia davvero, non quello
                      che si potrebbe sbagliare in teoria

Dove serve un conto lungo, in mezzo trovi un blocco monospaziato con i numeri incolonnati, così vedi da dove esce ogni cifra.

Un avviso sui numeri, per non farti impazzire quando confronti col tuo quaderno. Uso g = 9,8 m/s2, salvo dove il testo dell'esercizio dice diverso: l'esercizio 3 lavora col valore standard 9,80665 perché è il suo argomento, e l'esercizio della scala usa 9,81, e in tutti e due i casi lo dice il testo. Se il tuo libro usa 9,81 troverai differenze sulla terza cifra: non stai sbagliando. E quando un risultato arrotondato viene riusato nel passaggio dopo, lo dico, e nel conto tengo il valore non arrotondato.

Perché sono qui e non altrove

Tutti gli svolgimenti sono su questa stessa pagina. Senza registrazione, senza pdf da scaricare, senza «la soluzione la trovi qui» che ti porta su un'altra pagina, e senza il numero finale sganciato dai passaggi.

Le formule sono scritte in testo, non in immagine. Le puoi selezionare, copiare, incollare nel quaderno o cercarle. Se leggi da telefono, si adattano allo schermo invece di uscire dal bordo.

Il diagramma di corpo libero, dove serve, è disegnato con caratteri monospaziati dentro la pagina: brutto quanto vuoi, ma si vede anche con la connessione lenta e non sparisce se un'immagine non carica.

Se questi quindici non ti bastano

Quando l'equilibrio ti è chiaro, il seguito naturale è il moto. Le altre guide del sito che si incastrano con questa:

• Le leggi di Newton — l'equilibrio è il caso particolare in cui la somma delle forze fa zero. Gli esercizi 5, 7 e 8 sono già mezzo lì dentro.
• Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato — dove finisce l'esercizio 8: trovata l'accelerazione, il resto è cinematica.
• Lavoro, energia e potenza — l'attrito degli esercizi 7, 9 e 10 è la forza che dissipa energia; e attenzione, il momento si misura in N·m ma non è un lavoro.
• Quantità di moto, impulso e urti — il passo dopo, quando i corpi diventano due e si scontrano.

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Gli errori che fanno perdere punti in verifica

Questa sezione non contiene esercizi svolti. Contiene le quattordici cose che, alla verifica, trasformano un compito capito in un compito sbagliato. Ogni errore ha lo stesso schema: quello che quasi tutti fanno, il motivo per cui sembra giusto, come stanno davvero le cose, e il segnale con cui te ne accorgi da solo, prima che te lo segni in rosso il professore.

Dove esiste un numero di ricerca lo scrivo con la fonte. Dove non esiste, lo dico: è osservazione didattica, cioè roba vista in classe e nei compiti, non un dato misurato. Le due cose non si mischiano.

1. «Il tavolo non fa forza, sta lì e basta»

Quasi tutti: disegnano il peso del libro e si fermano. Il tavolo, il muro, il pavimento non entrano nel disegno: sono ostacoli, non forze.

Sembra giusto: un tavolo non fa niente. È inerte, non spinge, non tira, non consuma energia. Non ha nessuna intenzione.

Davvero: il tavolo spinge in su con una forza pari e contraria al peso. Se non lo facesse, il libro non starebbe fermo.

Te ne accorgi: togli la freccia della reazione normale e guarda cosa resta. Resta il solo peso, cioè una risultante di 9,8 N per ogni chilogrammo, tutta verso il basso. Con ΣF diversa da zero il libro dovrebbe accelerare a 9,8 m/s², cioè cadere dentro il tavolo. Non succede. Quindi la freccia c'è.

Fonte: Force Concept Inventory (Hestenes, Wells e Swackhamer, 1992), categoria «Ob. Obstacles exert no force». Gli autori la descrivono così: nel mondo del senso comune sedie e muri non esercitano forze, «stanno solo in mezzo».

2. Chi è più grosso, o più attivo, spinge di più

Quasi tutti: camion contro utilitaria, il camion spinge di più. Auto che spinge un camion in panne, l'auto spinge di più perché è lei quella che spinge.

Sembra giusto: uno dei due si distrugge e l'altro no. Uno ha il motore acceso e l'altro è morto. La differenza si vede a occhio.

Davvero: le due forze sono uguali e opposte. Sempre. Quello che cambia è l'effetto, perché a = F/m: stessa forza su una massa piccola dà un'accelerazione grande, sulla massa grande un'accelerazione piccola. Il camion non spinge di più, resiste di più.

Te ne accorgi: se nella tua risposta le due forze di una coppia hanno numeri diversi, hai sbagliato senza bisogno di rileggere il testo.

Qui c'è il dato più istruttivo di tutta la ricerca sulle misconcezioni. Sugli stessi identici due corpi, l'auto che spinge il camion, la risposta corretta arriva al 64 per cento quando i due vanno a velocità costante e crolla al 19 per cento quando stanno accelerando. Stessa scena, stessa coppia, stessa legge: cambia solo che qualcosa sta accelerando, e la terza legge viene abbandonata.

Fonte: FCI 1992, misconcezioni AR1 («greater mass implies greater force») e AR2 («most active agent produces greatest force»), item 13 e 14, percentuali post-istruzione delle classi Arizona Regular, Table V p. 152. Attenzione se ne parli in classe: la numerazione è quella dell'edizione 1992, nella FCI rivista gli item della terza legge sono altri.

3. Azione e reazione disegnate sullo stesso corpo

Quasi tutti: «il peso in giù e la reazione del tavolo in su sono azione e reazione, e si annullano».

Sembra giusto: i due numeri sono uguali, i due versi sono opposti, la somma fa zero. Tutti gli ingredienti sembrano al loro posto.

Davvero: sono due cose diverse messe insieme. La reazione al peso del libro non è la spinta del tavolo: è la forza che il libro esercita sulla Terra, applicata alla Terra. La spinta del tavolo e il peso si annullano perché agiscono sullo stesso corpo, non perché siano una coppia. Le forze si sommano solo se agiscono sullo stesso corpo; le coppie azione-reazione stanno su corpi diversi e non si sommano mai.

Te ne accorgi: con una regola operativa che non sbaglia. In un diagramma di corpo libero non compaiono mai tutte e due le forze di una stessa coppia. Se le trovi entrambe nello stesso disegno, il disegno è sbagliato.

Fonte: FCI 1992, sezione delle interviste, dove tre dottorandi su sedici confondevano proprio l'equilibrio delle forze su un corpo con la coppia di forze uguali e opposte su due corpi che interagiscono; Smith e Wittmann 2007, dove oltre il 90 per cento di 95 studenti universitari usava almeno un ragionamento sbagliato sulla terza legge al pre-test; OpenStax, University Physics §5.5. La terza legge è materia della guida sulle leggi di Newton: qui serve solo perché senza questa distinzione il diagramma di corpo libero non viene.

4. La risultante è la somma dei moduli

Quasi tutti: 30 N più 40 N fa 70 N, e via.

Sembra giusto: è quello che fanno i numeri da sempre. Trenta più quaranta.

Davvero: le forze sono vettori. Se le due sono perpendicolari la risultante vale 50 N, perché 30² + 40² = 900 + 1.600 = 2.500 e la radice di 2.500 è 50. Con altri angoli il risultato può essere qualsiasi valore fra 10 N (versi opposti) e 70 N (stesso verso). Settanta è solo il caso limite in cui le due forze sono perfettamente allineate.

Te ne accorgi: se il modulo della risultante è maggiore della somma dei due moduli, hai sbagliato di sicuro. Non può succedere mai. E se è minore della differenza, idem.

Osservazione didattica del sito, non dato di ricerca: nessuno dei lavori citati misura la frequenza di questa singola risposta.

5. Seno al posto del coseno sul piano inclinato

Quasi tutti: per la componente del peso perpendicolare al piano scrivono m·g·sen θ, e per quella parallela m·g·cos θ. Invertite.

Sembra giusto: il seno è la prima funzione che viene in mente quando si vede un angolo, e la figura è ruotata rispetto a tutte quelle viste a matematica.

Davvero: sul piano inclinato di un angolo θ la componente parallela vale m·g·sen θ e la perpendicolare vale m·g·cos θ.

Te ne accorgi: col controllo a θ = 0, che costa cinque secondi. Piano orizzontale: la componente parallela deve fare zero e la reazione normale deve fare m·g. Metti zero nella tua formula. Se ti esce che la componente lungo il piano vale m·g su un piano orizzontale, le hai scambiate. Controllo simmetrico a θ = 90 gradi: parete verticale, il corpo cade libero, la parallela deve valere m·g e la normale zero.

Fonte: Mikula e Heckler 2017. Su 1.313 studenti universitari testati a fine corso, solo il 20 per cento circa calcola correttamente quella componente dopo l'istruzione ordinaria; con esercizio mirato si arriva al 50 per cento. È il singolo dato più severo di tutta questa sezione, e riguarda studenti che il piano inclinato l'avevano appena finito di studiare.

6. L'attrito dipende dall'area di contatto

Quasi tutti: più larga è la superficie appoggiata, più attrito c'è. Mattone di piatto contro mattone di taglio.

Sembra giusto: più superficie che struscia, più ruvidità in gioco, più resistenza. È un ragionamento pulito, e infatti la ricerca lo trova formulato proprio così: se ogni pezzetto di area produce il suo attrito, raddoppiando l'area si raddoppia il totale.

Davvero: l'attrito non dipende dall'area apparente, quella che misuri col righello. L'area di contatto vera è una frazione minuscola di quella apparente, perché le due superfici si toccano solo sulle punte delle asperità. Quell'area vera cresce col carico, ed è a quella che l'attrito è proporzionale. Ecco perché nella formula compare F_N e non l'area: il carico l'area vera ce l'ha già dentro.

Te ne accorgi: dalla parola che manca. Chi dice «l'attrito non dipende dall'area» senza dire «apparente» sta dicendo una cosa falsa, e non se ne rende conto.

Fonte: Kizilcik e altri 2021, revisione sistematica di 42 lavori, misconcezione C11 rilevata in 6 lavori su 42, fra le più comuni del suo tema; il meccanismo delle asperità in OpenStax §6.2.

7. L'attrito è sempre opposto al moto

Quasi tutti: il corpo va di là, l'attrito va di qua. Sempre.

Sembra giusto: nella stragrande maggioranza degli esercizi del libro è vero, perché la cassa striscia sul pavimento e il pavimento sta fermo.

Davvero: l'attrito si oppone allo scivolamento fra le superfici, non al moto del corpo. Quando cammini, la scarpa spinge indietro sul pavimento e l'attrito sotto la scarpa punta in avanti: è l'unica forza orizzontale che ti manda avanti. Lo stesso per la ruota motrice di un'auto. Senza attrito non è che andresti più veloce: non partiresti proprio.

Te ne accorgi: chiediti sempre «quale delle due superfici scivolerebbe, e in che verso, se l'attrito sparisse?». L'attrito punta all'opposto di quello, non all'opposto della velocità del corpo.

Fonte: Kizilcik e altri 2021, misconcezione B1, rilevata in 9 lavori su 42, il conteggio più alto dell'intera revisione. È, letteralmente, l'idea sbagliata sull'attrito più diffusa che la ricerca abbia registrato.

8. L'attrito statico vale sempre μ_s·F_N

Quasi tutti: c'è attrito statico, quindi vale μ_s·F_N. Si sostituisce e si va avanti.

Sembra giusto: è la formula scritta sul quaderno. E spesso sul quaderno è scritta con l'uguale, dove la fonte scrive il minore-uguale.

Davvero: μ_s·F_N è il tetto, non il valore. La relazione è F_s ≤ μ_s·F_N, e l'attrito statico vale esattamente quanto serve per tenere fermo il corpo, fino a quel tetto. Cassa da 25,0 kg su pavimento orizzontale con μ_s = 0,50: F_N = 25,0 · 9,8 = 245 N, il tetto vale 0,50 · 245 = 122,5 N. Se spingi con 100 N, l'attrito statico vale 100 N, non 122,5. Se spingi con 122,5 N sei al limite. Se spingi con 130 N il corpo parte, e da lì in poi si usa μ_d.

Te ne accorgi: se il tuo attrito statico è diverso dalla spinta mentre il corpo è fermo, hai violato ΣF = 0. Il conto ti si contraddice da solo.

Fonte: Kizilcik e altri 2021, misconcezioni C4 («the static friction is always at the maximum value») e C6; OpenStax §6.2, che definisce l'attrito statico «una forza che risponde», e che scrive esplicitamente il segno di minore-uguale.

9. Se il corpo è fermo non c'è attrito

Quasi tutti: niente moto, niente attrito. L'attrito è roba di cose che si muovono.

Sembra giusto: la parola stessa evoca strusciamento, calore, consumo. Se nulla si muove, nulla struscia.

Davvero: è il contrario esatto. Se stai spingendo un armadio e l'armadio non si muove, l'attrito c'è, ed è l'unica ragione per cui resta fermo. L'immobilità non è la prova che l'attrito manca: è la prova che c'è.

Te ne accorgi: fai l'elenco delle forze orizzontali. C'è la tua spinta. Se non ci metti l'attrito, ΣF orizzontale è diversa da zero e l'armadio dovrebbe accelerare. Non accelera. Quindi manca una forza nel disegno.

Fonte: Kizilcik e altri 2021, misconcezione A7 («no friction is acting on an object that is at rest even if an external force was applied to it»), rilevata in 5 lavori su 42.

10. Il braccio è la distanza dal punto di applicazione

Quasi tutti: prendono la lunghezza dell'asta, o della chiave, e la moltiplicano per la forza.

Sembra giusto: nel primissimo esempio che si vede a lezione la forza è perpendicolare all'asta, e in quel caso i due numeri coincidono davvero. L'errore nasce da un caso particolare scambiato per la regola.

Davvero: il braccio è la distanza perpendicolare dal polo alla retta d'azione della forza. Chiave lunga 0,25 m, forza di 40,0 N applicata all'estremità ma inclinata di 60 gradi rispetto all'asse della chiave: il braccio vale 0,25 · sen 60° = 0,25 · 0,866 = 0,2165 m, e il momento vale 40,0 · 0,2165 = 8,66 N·m. Chi usa 0,25 m come braccio scrive 10,0 N·m e sbaglia di oltre il 15 per cento. Coincidono solo a 90 gradi, dove il seno vale 1.

Te ne accorgi: se nel tuo conto del momento non compare mai né un seno né una perpendicolare disegnata, e la forza non è perpendicolare all'asta, hai usato la distanza al posto del braccio.

Fonte per la definizione: OpenStax §10.6. La frequenza dell'errore in classe è osservazione didattica, non dato di ricerca: non ho un numero misurato da citare.

11. Il momento scritto in joule

Quasi tutti: newton per metro fa joule, quindi il momento si scrive in joule.

Sembra giusto: dimensionalmente è identico. N·m e J sono la stessa combinazione di unità fondamentali. Non è un errore di aritmetica.

Davvero: il joule non si usa mai per un momento. Nel lavoro, forza e spostamento sono paralleli; nel momento, forza e braccio sono perpendicolari. Sono due prodotti geometricamente diversi che per caso danno le stesse dimensioni. Tenere le unità separate serve proprio a impedire di sommare due cose che non si sommano.

Te ne accorgi: nel momento in cui ti ritrovi a sommare un momento e un'energia, o a metterli nella stessa equazione come se fossero omogenei. Quella somma non esiste.

Fonte: BIPM, brochure del Sistema internazionale, §2.3.4; NIST Special Publication 811, §4.2. Non è pignoleria da correttore: è scritto nelle norme sulle unità.

12. Il polo si mette dove si vuole, sempre

Quasi tutti: «tanto il polo è arbitrario», e lo piazzano a caso anche quando il corpo non è in equilibrio traslazionale.

Sembra giusto: è la frase che si sente ripetere in ogni lezione sul corpo rigido, di solito senza la condizione che la accompagna.

Davvero: puoi spostare il polo liberamente solo se la somma delle forze è già zero. Se ΣF non è zero, cambiando polo cambia il valore della somma dei momenti, e due compiti entrambi «giusti» darebbero due numeri diversi. L'arbitrarietà del polo non è un permesso generale: è una conseguenza di ΣF = 0.

Te ne accorgi: nella trave dell'esercizio 13 il conto fatto con polo in A e quello fatto con polo in B danno tutti e due 1.029 N. Questo accade solo perché quella trave soddisfa già ΣF = 0. Rifai lo stesso gioco su un corpo che accelera e i due numeri divergono.

Osservazione didattica, ancorata però alla dimostrazione fatta con i numeri nella sezione 9 e ripresa nell'esercizio 13: lì il fatto si vede, non si crede sulla parola.

13. Equilibrio vuol dire fermo

Quasi tutti: equilibrio uguale immobilità. Se si muove, non è in equilibrio.

Sembra giusto: è quello che la parola significa in italiano, fuori dalla fisica. Stare in equilibrio, non cadere, non muoversi.

Davvero: l'equilibrio è una condizione sulle forze, non sulla velocità. Vale ΣF = 0, e ΣF = 0 significa accelerazione nulla, cioè velocità costante: che sia costante a zero o costante a 130 km/h non cambia niente. L'auto che va dritta in autostrada a velocità costante è in equilibrio esattamente quanto il libro sul tavolo. E attenzione al rovescio, che alle verifiche pesa di più: un'auto in curva col tachimetro fermo sul 50 non è in equilibrio, perché la velocità è un vettore e la sua direzione sta cambiando. C'è accelerazione, quindi c'è una risultante diversa da zero.

Te ne accorgi: smetti di guardare se si muove e guarda se cambia il vettore velocità. Modulo o direzione: se cambia uno dei due, niente equilibrio.

Osservazione didattica, promessa nella sezione 1 e mantenuta qui. Il collegamento col moto rettilineo uniforme è nella guida sul moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato.

14. L'asse resta in pari perché ai due lati ci sono forze uguali

Quasi tutti: l'altalena sta ferma perché di qua e di là c'è lo stesso peso.

Sembra giusto: con due bambini identici alla stessa distanza dal fulcro funziona benissimo. È il caso che si vede al parco, ed è anche quello che si disegna per primo alla lavagna.

Davvero: a doversi uguagliare non sono le forze, sono i momenti. Un bambino di 30,0 kg a 1,80 m dal fulcro equilibra un adulto di 75,0 kg a 0,72 m: 30,0 · 1,80 = 54,0 e 75,0 · 0,72 = 54,0, momenti pari. Le forze in gioco invece non si somigliano nemmeno: 30,0 · 9,8 = 294 N da una parte, 75,0 · 9,8 = 735 N dall'altra, due numeri e mezzo di differenza. Chi cerca forze uguali qui non trova niente.

Te ne accorgi: se nella tua spiegazione dell'equilibrio di una leva non compare mai una distanza, stai spiegando un'altra cosa.

Fonte: Ortiz, Heron e Shaffer 2005. Su più di mille studenti universitari che avevano già completato il corso, la maggior parte attribuiva l'equilibrio a forze di uguale intensità ai due lati del fulcro quando la massa era distribuita con continuità, cioè in una barra o in un'asse. Di questo lavoro ho potuto leggere solo l'abstract, quindi niente percentuali: la fonte dice «most students» e io non vado oltre.

Disciplina lessicale, che vale mezzo voto all'orale

Alla verifica scritta un termine sbagliato costa poco. All'orale costa parecchio, perché il professore capisce subito da quale parte del ragionamento sei entrato. Queste coppie non vanno mai scambiate.


Le ultime due righe della tabella meritano una nota. «Risultante» e «somma dei moduli» le hai già viste all'errore 4. «Momento di una forza» e «quantità di moto» si somigliano solo nel nome: la seconda vale m·v, si misura in kg·m/s e vive nella guida su quantità di moto, impulso e urti. Metterle nella stessa formula è come sommare metri e secondi.

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Dove si va da qui

Conclusioni

Questa guida ha un posto preciso dentro un corpus, e la mappa sta in cinque righe.

La guida sul moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato dice come si muove un corpo. Quella sulle leggi di Newton dice perché. Questa dice cosa succede quando le forze ci sono e il moto non cambia: il caso ΣF = 0, che non è l'assenza di forze ma il loro pareggio. Quella su lavoro, energia e potenza offre la scorciatoia che in molti problemi evita del tutto di scomporre i vettori. E quella su quantità di moto, impulso e urti tratta il caso opposto a questo: due corpi che si scambiano tutto in un istante.

Se hai fatto gli esercizi della sezione 10, hai già in mano gli strumenti per aprire una qualsiasi delle altre quattro.

Due aperture verso il triennio, dichiarate come tali: qui non ti servono, ma è giusto sapere che ci sono.

La prima. Il momento, in realtà, è un vettore. Al biennio lo tratti come un numero con un segno, antiorario positivo e orario negativo, e ti basta. Al triennio scoprirai che ha una direzione, data da una regola della mano destra, e che quella direzione è perpendicolare al piano in cui giacciono forza e braccio. È un passaggio che costa: c'è chi si aspetta che la barra si muova nella direzione del vettore momento — il 18 per cento degli studenti interpellati dopo un corso del terzo anno, in un lavoro presentato alla Physics Education Research Conference del 2013. Non è un errore da distratti: è che un vettore che punta fuori dal foglio non somiglia a niente di quello che hai visto finora.

La seconda. Il corpo rigido che ruota invece di stare fermo porta al momento d'inerzia e al momento angolare. È la continuazione naturale della sezione 9: lì il corpo esteso sta fermo, di là comincia a girare. Nelle linee guida degli istituti tecnici, settore tecnologico, questo passaggio è già scritto nero su bianco fra le conoscenze del primo biennio: «moto rotatorio di un corpo rigido; momento d'inerzia; momento angolare».

Un'ultima cosa, che vale la pena sapere perché in giro si legge al contrario.

La statica non è materia di seconda prova di maturità. L'ho verificato sul documento che decide davvero, il DM 769 del 26 novembre 2018, che fissa i quadri di riferimento per le prove scritte dell'esame di Stato. Nel quadro del liceo scientifico c'è un nucleo che si chiama «Forze e campi», e uno legge il titolo e pensa: eccola. Ma le sue quattro voci sono tutte di campo — rappresentazione delle forze mediante il concetto di campo, campo gravitazionale, campo elettromagnetico, induzione elettromagnetica. Il corpo rigido compare, sì, ma nell'altro nucleo, «Spazio, tempo e moto», e come corpo in moto, mai come corpo in equilibrio. E l'unica volta che la parola «momento» compare in senso fisico riguarda il momento delle forze magnetiche su una spira percorsa da corrente: elettromagnetismo, non statica.

Chi scrive «argomento da maturità» sopra una pagina sulle leve lo fa per farti cliccare, e dice il falso. Studia l'equilibrio perché ti serve per capire tutto il resto della meccanica, non perché te lo chiedono a giugno.

Continua con:

• Le leggi di Newton, con esempi dalla vita quotidiana — il perché dietro il ΣF = 0 di questa guida
• Lavoro, energia e potenza: formule ed esercizi — il piano inclinato risolto senza scomporre nulla
• Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato — cosa succede quando il pareggio delle forze si rompe

Per genitori e insegnanti: dove sta scritto

Questo blocco raccoglie l'apparato normativo che nel corpo della guida avrebbe solo appesantito la lettura. Serve a chi deve programmare, verificare o giustificare una scelta didattica.

Al liceo scientifico l'equilibrio è materia di primo biennio. Le Indicazioni nazionali dei licei sono il DM 7 ottobre 2010 n. 211. La fonte per Fisica al liceo scientifico è l'Allegato F, non l'Allegato A come si legge su molti siti scolastici: l'Allegato A è soltanto la nota introduttiva. A pagina 312 della Gazzetta si legge, per il primo biennio: «Lo studio della meccanica riguarderà problemi relativi all'equilibrio dei corpi e dei fluidi; i moti saranno affrontati innanzitutto dal punto di vista cinematico giungendo alla dinamica con una prima esposizione delle leggi di Newton, con particolare attenzione alla seconda legge». L'opzione scienze applicate ha lo stesso testo, parola per parola, a pagina 341. Da notare l'ordine: l'equilibrio viene prima della cinematica e della dinamica.

Negli altri licei la stessa materia sta nel secondo biennio, con una frase diversa. La formulazione non scientifica dice «all'equilibrio dei corpi e dei fluidi e al moto», mentre lo scientifico dice «all'equilibrio dei corpi e dei fluidi; i moti…». Ecco la mappa completa, allegato per allegato e pagina per pagina.


Il monte ore. DPR 15 marzo 2010 n. 89, Allegato F, pagina 118: la riga del piano di studi del liceo scientifico è Fisica 66 66 99 99 99. Cioè 66 ore annue, due settimanali, in ciascuno dei due anni del primo biennio. Identico per le scienze applicate, pagina 119.

Le parole che non ci sono. Nelle Indicazioni nazionali dei licei le espressioni «attrito», «piano inclinato», «corpo rigido», «momento della forza» e «baricentro» non compaiono mai. Non raramente: zero occorrenze su tutte le oltre quattrocento pagine dell'allegato in Gazzetta. La parola «statica» compare due volte, ma entrambe nel liceo artistico, in «Discipline plastiche e scultoree» e «Discipline progettuali», a proposito della statica delle strutture: mai in Fisica. Tutto l'equilibrio dei corpi sta dentro una sola subordinata. Il che non significa che non si faccia: significa che il dettaglio è lasciato ai libri di testo e ai docenti.

Dove il lessico della statica esiste per davvero: gli istituti tecnici. Direttiva MIUR n. 57 del 15 luglio 2010, con l'annesso documento tecnico che ne è «parte integrante». Nel settore economico, Allegato A.1, pagina 51, fra le conoscenze del primo biennio: «Equilibrio in meccanica; forza; momento; pressione», e fra le abilità «Analizzare situazioni di equilibrio statico, individuando le forze e i momenti applicati». Nel settore tecnologico, Allegato A.2, pagina 76, la formulazione è più ricca: «Equilibrio in meccanica; forza; momento di una forza e di una coppia di forze; pressione», più «Moto rotatorio di un corpo rigido; momento d'inerzia; momento angolare» e «attrito e resistenza del mezzo». Sul monte ore: nelle dieci righe «Scienze integrate (Fisica)» presenti nel DPR 88/2010 le ore cadono sempre e solo nelle colonne del primo biennio.

Cosa ha già visto chi arriva in prima superiore. Le Nuove Indicazioni per il primo ciclo sono il DM 9 dicembre 2025 n. 221, pubblicato in GU il 27 gennaio 2026, che sostituisce il DM 254 del 2012. L'unica occorrenza di equilibrio meccanico in tutto il primo ciclo è in terza primaria: «Sperimentare diversi tipi di moto e situazioni di equilibrio degli oggetti su piani orizzontali e inclinati e confrontare mediante un dinamometro la forza necessaria per sollevare verticalmente un oggetto o per spostarlo lungo un piano orizzontale». Alla scuola secondaria di primo grado resta il piano inclinato come esperienza pratica: «Sperimentare con esperienze pratiche il funzionamento del piano inclinato, il moto armonico del sistema massa-molla, il galleggiamento e i circuiti elettrici semplici». Equilibrio dei corpi e composizione delle forze, nelle Indicazioni 2025, alle medie non compaiono. Detto in chiaro: il ragazzo che entra in prima superiore ha toccato il piano inclinato con le mani, non l'ha mai visto come modello di forze.

I vettori arrivano da Matematica, e non per caso. Sempre nell'Allegato F, ma nel programma di Matematica del primo biennio, pagina 308 (scienze applicate: 335): «Studierà i concetti di vettore, di dipendenza e indipendenza lineare, di prodotto scalare e vettoriale nel piano e nello spazio nonché gli elementi del calcolo matriciale. Approfondirà inoltre la comprensione del ruolo fondamentale che i concetti dell'algebra vettoriale e matriciale hanno nella fisica». Fisica e Matematica del primo biennio sono sincronizzate sui vettori per disposizione normativa, non per gentile concessione fra colleghi.

Sull'unità di misura del momento. Il chilogrammo-forza è fuori legge in Europa dal 31 dicembre 1977. Se compare in un esercizio, l'esercizio è più vecchio di chi lo sta svolgendo.

Una nota di metodo, per chi verifica. Le pagine indicate per il DM 211/2010 e per il DPR 88-89/2010 sono quelle stampate nel Supplemento ordinario della Gazzetta, non quelle del file PDF. Per il DM 221/2025 sono le pagine dell'allegato «Indicazioni nazionali per il curricolo», non quelle della Gazzetta.

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Domande frequenti

Che valore devo usare per g, 9,8 o 9,81?
Usa il valore che ti dà il testo del problema; se non te lo dà, 9,8 m/s2 e tieni due cifre nel risultato. È la regola che ti evita ogni discussione: se il compito scrive 9,81, tu scrivi 9,81, anche se il libro usa 9,8 tre pagine prima. Il resto è contorno utile. Il valore standard, quello fissato per convenzione, è 9,80665 m/s2, ma la gravità vera cambia da posto a posto: all'equatore vale 9,780327 m/s2, al polo 9,832186 m/s2. Su una cassa di 6,0 kg la differenza fra i due estremi del pianeta è di 0,311 N, cioè mezzo punto percentuale. In una verifica del biennio è irrilevante, e infatti in molti esercizi g si semplifica e sparisce del tutto: succede nell'altalena e succede nell'angolo critico del piano inclinato.

Qual è la differenza fra massa e peso?
In verifica: se la domanda chiede un peso, la risposta finisce in newton, mai in chilogrammi. Il conto è sempre lo stesso, peso uguale massa per g. Una cassa di 6,0 kg pesa 58,8 N con g uguale a 9,8 m/s2. La differenza vera è che la massa è quello che il corpo è, e non cambia mai: da qui alla Luna, dal polo all'equatore, restano 6,0 kg. Il peso è una forza, cioè quanto la Terra tira quel corpo, e cambia se cambia g. In italiano corrente «peso 70 chili» si dice e nessuno si offende; in fisica è sbagliato, e vale un punto in meno ogni volta.

Quando uso il seno e quando il coseno?
Guarda il triangolo e chiediti una cosa sola: quale cateto è attaccato all'angolo. Il cateto adiacente va con il coseno, quello opposto con il seno. Non imparare a memoria «la x va con il coseno», perché è falso appena l'angolo è dato dalla verticale invece che dall'orizzontale: la stessa forza di 200 N a 30 gradi dà 173,2 N e 100,0 N, oppure 100,0 N e 173,2 N, a seconda di dove sta l'angolo. Sul piano inclinato la regola diventa: componente perpendicolare con il coseno, componente parallela con il seno. E c'è un controllo da cinque secondi che non sbaglia mai: metti l'angolo a zero, cioè piano orizzontale. La componente parallela deve venire zero e la perpendicolare deve venire tutto il peso. Se ti viene il contrario, hai scambiato le due funzioni.

La forza normale è sempre uguale a m per g?
No, e non esiste una formula per la forza normale: si ricava ogni volta dall'equilibrio nella direzione perpendicolare alla superficie. Scrivi la somma delle forze perpendicolari uguale a zero e leggi il risultato. Su un tavolo, con sopra solo il peso, viene davvero m per g. Ma basta una fune obliqua che tira anche un po' in su e la normale cala: nella slitta della sezione 5 vale 292 N invece di 392 N. Su un piano inclinato vale m per g per il coseno dell'inclinazione. Chi scrive la normale uguale al peso per abitudine non sbaglia quel numero soltanto: sbaglia a catena tutti gli attriti che calcolerà dopo, perché l'attrito si costruisce proprio su quel valore.

L'attrito statico si calcola sempre con mu per la normale?
No: quella è la soglia massima, non il valore. Se il corpo è fermo, l'attrito statico vale esattamente quanto serve a tenerlo fermo, cioè quanto la forza che lo spinge. Prima calcoli il tetto, poi confronti, e solo dopo rispondi. Esempio dalla sezione 6: la cassa con tetto a 122,5 N spinta con 100 N ha un attrito di 100 N, non di 122,5 N. Se valesse 122,5 la cassa ti verrebbe addosso da sola. L'uguale al posto del minore-uguale si scrive in un istante solo, quello del distacco: è il momento in cui l'attrito statico ha raggiunto il massimo, ed è la base del metodo dell'angolo critico.

Se un corpo è fermo, vuol dire che non ci sono forze?
Al contrario: se è fermo, scrivi subito somma delle forze uguale a zero e usa quell'equazione per trovare l'incognita. È il verso in cui lavorerai sempre, dal moto che vedi alla forza che non conosci. Il libro sul tavolo è pieno di forze: peso e forza normale, uguali e opposte. Togli il tavolo e il libro cade. E vale anche il rovescio: un'auto che va dritta a 130 km/h con il tachimetro immobile è in equilibrio esattamente quanto il libro. Equilibrio non vuol dire fermo, vuol dire moto che non cambia. Attenzione però alla curva: a 50 km/h costanti in curva la direzione cambia, quindi il vettore velocità cambia, quindi lì l'equilibrio non c'è.

Il coefficiente di attrito può essere maggiore di 1?
Sì, e il valore nei problemi te lo dà sempre il testo: non si impara a memoria e non si inventa. Gomma su cemento asciutto sta a 1,0 come coefficiente statico. Chi ti ha detto che mu sta fra 0 e 1 ha detto una cosa falsa. Altre due cose da tenere a mente: mu non ha unità di misura, è un numero puro, e non è una proprietà del materiale ma dell'interfaccia. Non esiste «il mu del legno»: esiste il mu del legno su legno, che è un'altra cosa dal legno su acciaio. Ci vogliono due superfici perché il numero significhi qualcosa.

Che differenza c'è fra il braccio e la distanza dal polo?
Il braccio è la distanza perpendicolare dal polo alla retta d'azione della forza, non la distanza dal punto in cui la forza è applicata. Prolunga la retta su cui la forza giace, poi misura da lì. I due valori coincidono solo quando la forza è perpendicolare al raggio; in tutti gli altri casi il braccio è più corto. Nella chiave inglese tirata a 60 gradi la chiave è lunga 0,25 m ma il braccio vale 0,2165 m, e il momento viene 8,66 N per metro invece di 10,0. Diffida delle definizioni che girano in rete: il braccio non è «la distanza fra i punti di applicazione delle due forze».

In che unità si scrive il momento?
In N per metro, con il puntino di moltiplicazione. Mai in joule e mai in N diviso metro. Il puntino è una moltiplicazione, forza per lunghezza. Il joule ha la stessa dimensione ma è un'altra grandezza: nel lavoro forza e spostamento sono paralleli, nel momento forza e braccio sono perpendicolari, e l'unità diversa serve proprio a impedirti di sommare un momento e un'energia. La barra al posto del puntino, invece, è l'unità della costante elastica di una molla: un carattere di differenza, due grandezze che non c'entrano nulla.

Dove metto il polo quando calcolo i momenti?
Mettilo sulla retta d'azione di una forza che non conosci: quell'incognita ha braccio zero, sparisce dall'equazione, e ti ritrovi con una sola incognita invece di un sistema. E scrivi in prima riga «polo in tale punto, antiorario positivo», perché senza convenzione dichiarata l'equazione dei momenti non è utilizzabile. Puoi spostare il polo dove vuoi, a patto che la somma delle forze sia già zero, cioè esattamente nei problemi di equilibrio. La trave dell'esercizio 13 lo dimostra: polo in A o polo in B, escono gli stessi 1.029 N e gli stessi 539 N. Provalo con un terzo polo a caso, torna anche quello.

Perché due persone di peso diverso possono stare in pari sull'altalena?
Perché a doversi equilibrare non sono le forze, sono i momenti: forza per braccio da una parte uguale a forza per braccio dall'altra. Chi pesa di più si siede più vicino al fulcro. Un bambino di 30 kg a 1,80 m è equilibrato da un adulto di 75 kg a 0,72 m. Se cerchi di uguagliare le forze concludi che l'altalena non può stare in pari, cosa smentita da qualsiasi giardino pubblico. Non è un errore da distratti: in uno studio su più di mille universitari che avevano già fatto il corso di fisica, con un corpo esteso la maggioranza spiegava l'equilibrio dicendo che ai due lati agiscono forze uguali. Il rimedio meccanico è scrivere la parola «braccio» accanto a ogni forza prima di sommare.

È un argomento che può uscire alla maturità?
No. Nel quadro di riferimento della seconda prova di Fisica del liceo scientifico la statica non c'è: il corpo rigido compare solo come corpo in moto, e il nucleo «Forze e campi» parla di campi gravitazionale, elettrico e magnetico. Se qualcuno ti dice il contrario, sta dicendo una cosa non vera. Dove sta davvero: primo biennio allo scientifico e negli istituti tecnici, terza al classico, linguistico, artistico, musicale e scienze umane. Ed è materia da verifica in classe, con i numeri, non da colloquio.