Radicali e Numeri Complessi: Guida Completa con Esercizi Risolti

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1) Introduzione
2) I Radicali: Definizione e Proprietà Fondamentali
3) Numeri Complessi: Introduzione e Proprietà
4) Forma Polare e Esponenziale dei Numeri Complessi
5) Conclusioni

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I radicali e i numeri complessi sono concetti fondamentali in matematica, con applicazioni che spaziano dall'algebra all'analisi, fino alla fisica e all'ingegneria.
In questa guida, partiremo dalle basi per arrivare a concetti avanzati, arricchendo il tutto con esercizi risolti per ogni livello di difficoltà.

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Un radicale è un'espressione del tipo: ⁿ√a

dove:
- n è l’indice del radicale,
- a è il radicando.

Se n = 2, il radicale è una radice quadrata, mentre se n = 3, è una radice cubica.

Proprietà fondamentali dei radicali
1) Moltiplicazione e divisione sotto radice:
ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√a · b
(ⁿ√a) / (ⁿ√b) = ⁿ√a / b

2) Elevamento a potenza e semplificazione:
(ⁿ√a)ⁿ = a
ⁿ√a^m = a^{m / n}

3) Razionalizzazione (eliminazione del radicale al denominatore):
Se il denominatore contiene una radice quadrata, moltiplichiamo numeratore e denominatore per la radice stessa.
Se il denominatore è un binomio con radice, usiamo il coniugato.

Esercizio 1 - Semplificazione di Radicali
Semplifica l'espressione: 5 / √3

Soluzione:
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per √3:
(5 / √3) x (√3 / √3) = 5√3 / 3

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I numeri complessi si basano sull'unità immaginaria i, definita come: i² = −1
Un numero complesso ha la forma: z = a + bi
dove a è la parte reale e b è la parte immaginaria.

Operazioni con i numeri complessi
1) Somma e differenza
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
2) Moltiplicazione
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
3) Divisione
(a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²)
4) Modulo e coniugato
|z| = √a² + b²
z = a - bi

Esercizio 2 - Prodotto di Numeri Complessi
Calcola il prodotto: (3 + 2i) · (1 − 4i)

Soluzione:
(3 + 2i)(1 − 4i) = 3 −12i +2i −8i²
Poiché i² = −1, otteniamo:
3 −12i +2i + 8 = 11 −10i

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Un numero complesso può essere espresso anche in forma polare: z = r(cosθ + isinθ)

dove:
r = |z| = √a² + b² è il modulo,
θ = arg(z) = tan^-1(b / a) è l’argomento.

In forma esponenziale:
z = re^iθ

Grazie alla formula di De Moivre, possiamo elevare un numero complesso a una potenza in modo semplice: (zⁿ = rⁿe^inθ)

Esercizio 3 - Elevamento a Potenza con De Moivre
Calcola (1 + i)⁴ in forma polare.

Soluzione:
Troviamo il modulo:
r = |1 + i| = √1² + 1² = √2
Troviamo l’argomento:
θ = tan⁻¹(1 / 1) = π / 4
Usiamo De Moivre:
(1 + i) ⁴ = (√2)⁴e^{i4(π / 4)} = 4e^iπ = -4

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Abbiamo esplorato radicali e numeri complessi in dettaglio, dalle basi alle applicazioni avanzate.
Se vuoi approfondire ulteriormente, continua con esercizi più complessi e scopri come i numeri complessi vengono utilizzati in fisica e ingegneria!

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