Il Piano Cartesiano: Guida Completa con Esercizi Risolti

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1) Introduzione
2) Cos'è il Piano Cartesiano?
3) Distanza tra Due Punti
4) Il Punto Medio di un Segmento
5) Equazione della Retta
6) Esercizi Pratici
7) Applicazioni
8) Conclusioni

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Il Piano Cartesiano è uno strumento essenziale in matematica, utilizzato per rappresentare punti, funzioni e figure geometriche.
Questa guida ti accompagnerà dalle basi alle applicazioni avanzate, con esercizi risolti per ogni livello.

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Il Piano Cartesiano è un sistema di riferimento bidimensionale, introdotto da René Descartes (Cartesio), formato da due rette perpendicolari:
Asse X (ascisse) -> orizzontale
Asse Y (ordinate) -> verticale

Il punto di intersezione è detto origine O(0,0).

Suddivisione del Piano
Il piano è diviso in quattro quadranti:
I quadrante:
x > 0, y > 0

II quadrante:
x < 0, y > 0

III quadrante:
x < 0, y < 0

IV quadrante:
x > 0, y < 0

Esempio:

Posizionamento di un Punto
Il punto A(3, −2):
✅ La coordinata x = 3 significa che ci spostiamo a destra di 3 unità.
✅ La coordinata y = −2 significa che scendiamo di 2 unità.
📍 Il punto si trova nel IV quadrante.

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La distanza tra due punti A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂) è calcolata con la formula della distanza:
d(A, B) = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

Esercizio 1 - Calcolo della Distanza
Trova la distanza tra i punti A(1, 2) e B(4, 6).
Soluzione:
d = √(4 − 1)² + (6 − 2)² = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5

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La formula del punto medio tra A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂) è:
M( (x₁ + x₂) / 2, y₁ + y₂) / 2 )

Esercizio 2 - Trova il Punto Medio
Trova il punto medio del segmento con estremi A(2, 3) e (8, 7).
Soluzione:
M( (2 + 8) / 2, (3 + 7) / 2) = M(5, 5)

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L’equazione generale di una retta è: y = mx + q
Dove:
m è il coefficiente angolare, che indica l'inclinazione della retta.
q è l'intercetta con l'asse y (valore di y quando x = 0).

Formula del Coefficiente Angolare
Se una retta passa per due punti A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), la pendenza è data da: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Esercizio 3 - Determinare l'Equazione di una Retta
Trova l'equazione della retta passante per i punti A(1, 2) e B(4, 5).
Soluzione:
Troviamo la pendenza:
m = (5 − 2) / (4 − 1) = 3 / 3 = 1
Ora usiamo la formula y = mx + q, sostituendo A(1, 2):
2 = 1(1) + q => q = 1
Equazione della retta: y = x + 1

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Rette Parallele e Perpendicolari
Rette parallele: hanno lo stesso coefficiente angolare m₁ = m₂
Rette perpendicolari: i coefficienti angolari sono reciproci e opposti: m₁ · m₂ = -1

Esercizio 4 - Verifica se Due Rette sono Perpendicolari
Le rette y = 2x + 3 e y = −1/2x + 5 sono perpendicolari?
Soluzione:
Moltiplichiamo i coefficienti angolari: 2 x (−1/2) = −1
✅ Le rette sono perpendicolari.

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✅ Fisica: Moto dei proiettili, traiettorie, calcolo della velocità.
✅ Ingegneria: Strutture, coordinate in costruzioni.
✅ Grafica e Computer Science: Rendering 3D, collisioni tra oggetti.

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Ora hai una comprensione completa del Piano Cartesiano, dai concetti base alle applicazioni avanzate! Prova altri esercizi e scopri come usarlo in problemi più complessi.

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