Quantità di moto, impulso e urti: formule e 12 esercizi svolti

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1) Se arrivi dall'energia, la prima cosa da disimparare è che si conservi sempre
2) La quantità di moto non è l'energia cinetica con un altro vestito
3) p è un vettore: il segno è metà del risultato
4) Il teorema dell'impulso: l'airbag non toglie niente, allunga il tempo
5) «Sistema isolato» non vuol dire «senza forze»
6) Elastico non vuol dire di gomma: la classificazione degli urti
7) Come si risolve un urto: le formule, e quando non bastano
8) Il pendolo balistico: dove questa guida e quella sull'energia si toccano
9) Urti obliqui: in due dimensioni le equazioni diventano due
10) Dodici esercizi svolti passo passo
11) Gli errori che fanno perdere punti in verifica
12) Domande frequenti

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Se arrivi dall'energia, la prima cosa da disimparare è che si conservi sempre

Se hai appena chiuso la guida su lavoro, energia e potenza, ti porti dietro una frase che lì funzionava e che qui ti farà sbagliare: i principi di conservazione valgono sempre. Non te l'ha messa in testa nessuno per distrazione. Nasce dal capitolo precedente, dove la conservazione dell'energia meccanica è la legge e le condizioni ("solo forze conservative") sembrano una nota a piè di pagina. Da lì il passo è breve: se una grandezza si conserva, si conserverà anche l'altra.

Negli urti quella frase è falsa, e lo è in un modo preciso: in un sistema isolato la quantità di moto si conserva in tutti gli urti, l'energia cinetica quasi mai. Non è un'eccezione in più da mandare a memoria: è il cuore di questa guida, ed è il punto esatto in cui il capitolo sull'energia e questo si toccano.

La coppia d'oro: stessi dati di partenza, due esiti diversi

Il modo di dimostrarlo è mettere due urti diversi sopra gli stessi identici dati iniziali. Carrello A da 2,0 kg che viaggia a 3,0 m/s su una rotaia a cuscino d'aria, carrello B da 1,0 kg fermo davanti a lui. Verso positivo: quello di A.

Prima dell'urto: p = 2,0 · 3,0 = 6,0 kg·m/s e K = ½ · 2,0 · 3,0² = 9,0 J.

Due parole prima della tabella, perché stai per leggere due aggettivi che qui usiamo solo in modo provvisorio e che definiremo per bene nella sezione 6. Urto elastico vuol dire che l'energia cinetica totale resta la stessa. Urto perfettamente anelastico vuol dire che i due corpi restano attaccati e proseguono insieme, e in quel caso l'energia cinetica cala al minimo possibile. Fra i due estremi c'è tutta una fascia intermedia, e la classificazione completa arriva nella sezione 6.

                      PRIMA         DOPO, se elastico    DOPO, se perfettamente anelastico
  A  (2,0 kg)       +3,0 m/s            +1,0 m/s               +2,0 m/s (insieme)
  B  (1,0 kg)        0   m/s            +4,0 m/s               +2,0 m/s (insieme)
  ---------------------------------------------------------------------------------
  p totale         6,0 kg·m/s         6,0 kg·m/s                6,0 kg·m/s
  K totale            9,0 J              9,0 J                     6,0 J

Il controllo sulla quantità di moto, riga per riga. Urto elastico: 2,0 · (+1,0) + 1,0 · (+4,0) = 2,0 + 4,0 = 6,0 kg·m/s, uguale ai 6,0 di partenza. Urto perfettamente anelastico: i due proseguono attaccati, massa complessiva 3,0 kg, quindi 3,0 · (+2,0) = 6,0 kg·m/s, di nuovo uguale. La quantità di moto non si accorge nemmeno di che tipo di urto sia stato.

Il controllo sull'energia cinetica. Urto elastico: ½ · 2,0 · 1,0² + ½ · 1,0 · 4,0² = 1,0 + 8,0 = 9,0 J, tutta lì. Urto perfettamente anelastico: ½ · 3,0 · 2,0² = 6,0 J. Sono spariti 3,0 J su 9,0, un terzo esatto, finiti nella deformazione dei respingenti e nel calore.

Stessa quantità di moto, due energie diverse. Da qui la conseguenza che regge tutto il resto della guida: la conservazione di p da sola non decide l'esito di un urto. Serve una seconda informazione, e quella informazione è una scelta fisica sul tipo di urto, non un teorema che puoi ricavare.

La reductio: provare a imporre tutte e due

Fallo tu, sul quaderno, perché è la riga che chiude il discorso. Supponi che nell'urto perfettamente anelastico si conservi anche l'energia cinetica. Allora ½ · 3,0 · v² = 9,0 J, da cui v² = 6,0 m²/s² e v = 2,449 m/s. Adesso guarda che quantità di moto avrebbe quel blocco unico: 3,0 · 2,449 = 7,35 kg·m/s, contro i 6,0 kg·m/s che aveva il sistema un istante prima. Quantità di moto comparsa dal nulla.

Non sono due leggi fra cui scegliere di volta in volta: imporle insieme è contraddittorio, tranne nel caso particolare dell'urto elastico, che è definito proprio come quello in cui il conto torna.

Lavoro, energia cinetica e conservazione dell'energia meccanica qui non si rispiegano. Se ti sono scivolati via, dieci minuti sull'altra guida e torni: senza la conservazione dell'energia meccanica la sezione 8 sul pendolo balistico non ha appigli, perché è con quella, e non con il teorema dell'energia cinetica, che si risolve la risalita del blocco.

Come leggere questa guida

Nessuna marcatura per anno, e va detto perché, invece di far finta che l'anno sia ovvio. Nelle sezioni di fisica delle Indicazioni Nazionali per i licei (decreto interministeriale 7 ottobre 2010 n. 211) le parole «urto», «impulso» e «centro di massa» non compaiono mai, per nessun liceo. Per il liceo scientifico l'unico aggancio è una perifrasi collocata sotto l'intestazione del secondo biennio: il decreto parla dell'«affronto degli altri principi di conservazione» e dell'invito a «estenderne lo studio ai sistemi di corpi», e non dice se ciò debba accadere in terza o in quarta.

Classico e linguistico la quantità di moto la nominano invece per nome, insieme a lavoro, potenza ed energia, fra i concetti che permettono di discutere i primi esempi di conservazione — e con loro artistico, musicale e coreutico e scienze umane, che condividono parola per parola lo stesso testo di fisica. Ma anche lì l'intestazione è secondo biennio, identica a quella dello scientifico: nessun anno dichiarato nemmeno per loro.

Negli istituti tecnici arriva prima di tutti: impulso e quantità di moto sono scritti a chiare lettere fra le conoscenze del primo biennio di Scienze integrate (Fisica), sia nel settore economico sia nel tecnologico, insieme alla «Conservazione dell'energia meccanica e della quantità di moto in un sistema isolato» (Linee guida, Direttiva MIUR n. 57 del 15 luglio 2010).

Morale: nessun documento ministeriale, per nessuna scuola, dichiara l'anno. Chi ti stampa un'etichetta se l'è inventata, e questa guida non lo fa.

Marcato c'è solo quello che è davvero in più rispetto al programma di tutti. Due blocchi soltanto portano l'etichetta

[Approfondimento]

e sono il centro di massa nella sezione 7 e gli urti obliqui nella sezione 9.

Tre note di notazione, da leggere adesso

La quantità di moto qui è p⃗, dall'inglese momentum; qualche testo italiano usa q. È la stessa grandezza.

L'impulso qui è I⃗, come nell'Amaldi di Zanichelli e nella tradizione italiana. I testi inglesi e OpenStax scrivono J⃗. Anche qui, stessa grandezza: se il tuo libro è tradotto dall'inglese, non stai studiando due cose.

Momentum in inglese significa quantità di moto, non "momento". Il momento di una forza in inglese è torque. È il falso amico che manda fuori strada chi cerca materiale online: se una pagina in inglese parla di conservation of momentum, sta parlando di questa guida, non di leve.

Un'ultima cosa, la stessa dell'altra guida: qui trovi teoria ed esercizi nella stessa pagina. È quello che manca in giro, dove i siti che spiegano bene non risolvono un urto e quelli pieni di urti risolti non spiegano niente.

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La quantità di moto non è l'energia cinetica con un altro vestito

Sui forum italiani questa domanda torna in decine di forme, e nessuna guida in prima pagina le risponde: due corpi hanno la stessa quantità di moto ma energia cinetica diversa — in un urto, chi vince?

È una domanda malposta, e il bello è che si smonta con dei numeri, non con una predica. Ci arriviamo in due mosse: prima i numeri che separano le due grandezze, poi l'urto vero e proprio fra i due veicoli, che è la risposta operativa.

Un'automobile di 1200 kg a 54 km/h, cioè 15 m/s:

p = 1200 kg · 15 m/s = 18.000 kg·m/s = 1,8 · 10⁴ kg·m/s

Un autoarticolato di 15.000 kg che manovra a 4,32 km/h, cioè 1,2 m/s:

p = 15.000 kg · 1,2 m/s = 18.000 kg·m/s = 1,8 · 10⁴ kg·m/s

Stessa quantità di moto, identica. Adesso le energie cinetiche:

K_auto = ½ · 1200 · 15² = 600 · 225 = 135.000 J = 1,35 · 10⁵ J

K_TIR = ½ · 15.000 · 1,2² = 7500 · 1,44 = 10.800 J = 1,08 · 10⁴ J

Il rapporto è 12,5. Due corpi con la stessa p e con energie che differiscono di più di un ordine di grandezza. Non "vince" nessuno dei due, perché p e K non rispondono alla stessa domanda: la quantità di moto dice quanto è difficile fermare quel corpo in un certo tempo, l'energia cinetica quanto è difficile fermarlo su una certa distanza.

E adesso facciamoli scontrare davvero

La domanda chiedeva un urto, e un urto merita di essere risolto, non commentato. Mettiamo auto e autoarticolato uno contro l'altro, frontalmente, e supponiamo che restino incastrati. Verso positivo: quello dell'auto.

p prima = 1200 · (+15) + 15.000 · (−1,2) = +18.000 − 18.000 = 0 kg·m/s

Le due quantità di moto sono uguali in modulo e opposte in verso, quindi la loro somma è zero. E se p totale vale zero prima, vale zero anche dopo: il blocco unico da 16.200 kg resta fermo sul posto.

Verifica: p dopo = 16.200 kg · 0 m/s = 0 kg·m/s. Coincide.

Il bilancio energetico, invece, è tutt'altro che nullo:

K prima = 135.000 + 10.800 = 145.800 J = 1,458 · 10⁵ J K dopo = 0 J Dissipati 1,458 · 10⁵ J, cioè il 100%

Ecco la risposta alla domanda di partenza, in una riga: la quantità di moto totale decide come si muove il sistema dopo l'urto, l'energia cinetica decide quanto si distrugge. Qui la prima dice "il blocco sta fermo" e la seconda dice "sono andati in fumo centoquarantacinquemila joule". Non sono in competizione: rispondono a due domande diverse, e servono tutte e due.

Tieni a mente questo caso, perché è l'unica situazione in cui l'energia cinetica sparisce davvero tutta. Ci torniamo, con la dimostrazione, nella sezione 7.

La definizione, e l'unica unità da ricordare

La quantità di moto è un vettore: prodotto di uno scalare positivo (la massa) per un vettore (la velocità), quindi ha la stessa direzione e lo stesso verso della velocità, e modulo p = m · v.

Non ha un nome proprio, non si chiama in nessun modo, e in tutto questo capitolo è l'unica unità nuova che devi ricordare. Tienila d'occhio: nella sezione 4 scoprirai che è anche l'unità dell'impulso, ed è da lì che nasce metà della confusione.

La tabella che tiene separate le due grandezze

È il vero contenuto di questa sezione. Se ti resta solo questa, hai preso il capitolo dal verso giusto.


Guarda bene l'ultima riga, perché non è simmetrica, ed è la riga che quasi tutti sbagliano. Nei due sensi non vale la stessa cosa. Un sistema può avere quantità di moto nulla ed essere pieno di energia cinetica; non può avere energia cinetica nulla e quantità di moto diversa da zero, perché K = 0 con masse positive obbliga tutte le velocità a essere nulle, e allora anche p è nulla. Nella sezione 7 questa asimmetria diventa una condizione operativa: si può perdere tutta l'energia cinetica soltanto se la quantità di moto totale era già zero. Attenzione al verso: è una condizione necessaria, non una garanzia. Due palline uguali che arrivano a +3,0 e −3,0 m/s hanno p = 0 in ogni caso, ma perdono tutto solo se restano attaccate; se rimbalzano elasticamente tengono ogni joule.

Il controesempio nella direzione che funziona, per esteso. Prendi due corpi identici da 1,0 kg, uno a +3,0 m/s e l'altro a −3,0 m/s, che si vengono incontro.

p totale = 1,0 · (+3,0) + 1,0 · (−3,0) = +3,0 − 3,0 = 0 kg·m/s

K totale = ½ · 1,0 · 3,0² + ½ · 1,0 · (−3,0)² = 4,5 + 4,5 = 9,0 J

Quantità di moto nulla, energia cinetica di 9,0 J. Il sistema è carico di energia e ha quantità di moto zero, perché nella somma di p i due contributi si cancellano mentre nella somma di K si sommano: v² non ha memoria del segno. Non è un caso di scuola, è la ragione fisica per cui p può conservarsi mentre K si dissipa. Se questi due corpi restano attaccati, dopo l'urto sono fermi: p vale ancora 0 (ed è conservata), K vale 0 (e sono spariti 9,0 J). È lo stesso identico meccanismo dell'urto fra auto e autoarticolato di poco fa.

Prova ora a costruire il contrario, cioè un sistema con K = 0 e p diversa da zero: non ci riesci, e non perché sei distratto. Se K = 0, ogni singolo termine ½mv² è nullo, quindi ogni v è nulla, quindi ogni m·v è nullo, quindi p = 0. Non è un'osservazione: è algebra.

Il tassello che riaggancia Newton

La seconda legge della dinamica si può scrivere anche così:

cioè la forza risultante è la rapidità con cui cambia la quantità di moto. È la forma più vicina allo spirito dell'enunciato originale di Newton, che nei Principia (Lex II) parla di variazione del moto proporzionale alla forza impressa — un enunciato di tipo impulso-quantità di moto. Attenzione però a come lo racconti all'orale: Newton non scrisse né F = m·a né F = Δp/Δt, e la divisione esplicita per Δt è una riformulazione moderna, non una citazione.

Se la massa è costante, Δp = m·Δv, quindi F = m·(Δv/Δt) = m·a e ritrovi esattamente la forma della guida sulle leggi di Newton. Non è una legge nuova: è la stessa, scritta con la grandezza di questo capitolo. E ti servirà subito, perché riscritta come F·Δt = Δp è già il teorema dell'impulso della sezione 4.

La relazione che spiega tutto il resto del capitolo

Ancora una riga. Da p = m·v ricavi v = p/m, e sostituendo in K = ½ m v²:

Cioè: a parità di quantità di moto, l'energia cinetica è inversamente proporzionale alla massa.

Controlliamola sull'esempio di apertura, che è il modo giusto di fidarsi di una formula. Auto: (18.000)² / (2 · 1200) = 324.000.000 / 2400 = 135.000 J. Autoarticolato: (18.000)² / (2 · 15.000) = 324.000.000 / 30.000 = 10.800 J. Coincidono con i valori calcolati sopra. E il rapporto delle masse, 15.000 / 1200, fa 12,5: esattamente il rapporto delle energie, come la formula prometteva.

Non è un ornamento: la ritroverai tre volte, e sempre come scorciatoia. Nella sezione 7, per calcolare in una riga quanti joule sopravvivono a un urto perfettamente anelastico. Nella sezione 8, nel bilancio del pendolo balistico. E nell'esercizio 9, dove spiega in due passaggi perché nel rinculo il proiettile si prende il 99,5% dell'energia e il fucile no: hanno la stessa quantità di moto in modulo, e il proiettile è duecento volte più leggero. È anche il motivo per cui il rinculo è sopportabile invece di spaccare la spalla a chi spara.

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p è un vettore: il segno è metà del risultato

Questa è la sezione che in giro non c'è. Cerca "quantità di moto" e troverai ovunque scritto che è una grandezza vettoriale — una frase, spesso in grassetto, e poi si passa oltre come se bastasse averlo detto. Non basta.

Il dato che inquadra il problema viene dalla ricerca didattica. Somministrando a più di tremila studenti universitari un test sui concetti di energia e quantità di moto, Singh e Rosengrant registrano che molti studenti non si rendono conto che lavoro ed energia sono grandezze scalari e che la quantità di moto è un vettore, e che circa il 10% arriva a credere che la quantità di moto sia una forza (Physics Education Research Conference, Rochester, 2001). Non è distrazione, ed è utile sapere da dove viene: p ti viene presentata accanto a K, che è uno scalare, negli stessi problemi e nella stessa settimana. Lo statuto di K si travasa su p, e il travaso non fa rumore.

La regola operativa, in tre parole

Si disegna la freccia dell'asse x sul foglio, si scrive accanto qual è il verso positivo, e solo dopo si scrive p = m₁v₁ + m₂v₂. In una dimensione v₁ᵢ, v₂ᵢ, v₁f, v₂f non sono "quanto vanno veloci": sono componenti con segno. Una velocità negativa non è una velocità sbagliata, è una velocità che punta dalla parte opposta a quella che hai scelto tu.

Non è una convenzione nuova: è la stessa della guida sul moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato. La differenza è che lì il segno lo dovevi tenere su una grandezza alla volta, qui su quattro contemporaneamente. Per questo salta.

Quanto costa dimenticarlo: fattore 7

Corpo A da 2,0 kg a +4,0 m/s; corpo B da 3,0 kg a −2,0 m/s, cioè viene incontro. Restano attaccati. Verso positivo: quello di A.

Il conto corretto.

p prima = 2,0 · (+4,0) + 3,0 · (−2,0) = +8,0 − 6,0 = +2,0 kg·m/s

v_f = 2,0 kg·m/s ÷ 5,0 kg = +0,40 m/s

Verifica: p dopo = 5,0 kg · (+0,40 m/s) = +2,0 kg·m/s. Coincide con i +2,0 kg·m/s di partenza, segno compreso. Il segno più dice che il blocco unico prosegue nel verso di A, come è ragionevole visto che A portava più quantità di moto.

Il conto di chi tratta p come uno scalare.

p prima = 8,0 + 6,0 = 14 kg·m/s → v_f = 14 ÷ 5,0 = 2,8 m/s

Il risultato sbagliato è 7 volte più grande di quello vero, e per giunta non risponde alla domanda, perché non dice da che parte vanno. In un urto frontale i due contributi si sottraggono: è la geometria a deciderlo, non la formula.

Piccolo bilancio energetico dello stesso urto, tanto per vedere quanto è violento: K prima = ½·2,0·4,0² + ½·3,0·2,0² = 16 + 6,0 = 22 J; K dopo = ½·5,0·0,40² = 0,40 J. Si dissipa il 98,2% dell'energia cinetica. Ma non il 100%: quei 0,40 J restano, e restano perché la quantità di moto vale +2,0 kg·m/s e non zero. Ci torniamo nella sezione 7, dove diventa un teorema.

Il segno meno non è un errore da correggere

Questo è il caso più tossico di tutti, perché lo studente crede di aver rimediato a un errore.

Urto elastico centrale: corpo 1 da 1,0 kg a +5,0 m/s contro corpo 2 da 3,0 kg fermo. Verso positivo: quello del corpo 1.

v₁' = [(m₁ − m₂)/(m₁ + m₂)] · v₁ = [(1,0 − 3,0)/4,0] · 5,0 = (−0,50) · 5,0 = −2,5 m/s

v₂' = [2m₁/(m₁ + m₂)] · v₁ = [(2 · 1,0)/4,0] · 5,0 = 0,50 · 5,0 = +2,5 m/s

Verifica sulla quantità di moto: 1,0 · (−2,5) + 3,0 · (+2,5) = −2,5 + 7,5 = +5,0 kg·m/s, uguale ai 1,0 · 5,0 = +5,0 kg·m/s di partenza. Torna.

Verifica sull'energia: ½·1,0·2,5² + ½·3,0·2,5² = 3,125 + 9,375 = 12,5 J, uguale a ½·1,0·5,0² = 12,5 J. Torna anche questa, ed è la firma dell'urto elastico.

Quel −2,5 m/s non è un incidente: è la risposta. Dice che il corpo leggero rimbalza all'indietro, cosa che succede sempre quando il proiettile è più leggero del bersaglio. Chi lo "aggiusta" scrivendo +2,5 ottiene 1,0·(+2,5) + 3,0·(+2,5) = 2,5 + 7,5 = 10 kg·m/s contro i 5,0 di partenza: la verifica lo smaschera in una riga, e senza bisogno del libro.

Regola da appiccicare al quaderno: dopo ogni urto di un sistema isolato ricalcola p e confrontala con quella iniziale. Costa quindici secondi ed è l'unico controllo che intercetta gli errori di segno, che sono l'unica categoria di errori che produce risultati puliti e credibili.

La differenza rispetto alla guida sull'energia, dichiarata

Nel capitolo precedente i segni c'erano eccome — il lavoro poteva essere positivo, negativo o nullo — ma quel segno non indicava una direzione: usciva dal coseno dell'angolo fra forza e spostamento e diceva solo se l'energia entrava o usciva dal corpo. Tanto è vero che, cambiando l'orientamento degli assi, il segno del lavoro non cambiava.

Qui è l'opposto: il segno di p indica proprio un verso, e cambia se cambi l'orientamento dell'asse. K continua a comportarsi come prima, perché ha v² e il segno gli sparisce dentro.

Due grandezze, due regole diverse sui segni, nella stessa pagina di quaderno. Mescolarle è il modo più rapido per sbagliare un urto, ed è il motivo per cui nei bilanci energetici della sezione 7 vedrai sempre numeri positivi e in quelli di quantità di moto sempre i segni in evidenza.

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Il teorema dell'impulso: l'airbag non toglie niente, allunga il tempo

Prima delle formule, un fatto che rende questa confusione strutturale e non colpa tua:

Impulso e quantità di moto hanno la stessa identica unità di misura. Sono due grandezze diverse, con due significati diversi, e l'analisi dimensionale — cioè l'unico autocontrollo che quasi tutti sanno fare davvero — qui non protegge. Non è un dettaglio da nota: nella rilevazione già citata di Singh e Rosengrant le domande che chiamano in causa il teorema dell'impulso risultano più difficili di quelle sul suo caso particolare, la conservazione della quantità di moto, e gli autori indicano proprio nella difficoltà a distinguere le due grandezze una delle ragioni per cui hanno costruito il test. Va detto prima, non dopo.

Le definizioni

Due ipotesi, entrambe da controllare prima di usarlo. La F⃗ è la risultante di tutte le forze, non una forza a scelta; e la massa deve essere costante.

Se la forza non è costante — ed è il caso di ogni urto vero — l'impulso è numericamente uguale all'area sotto il grafico della forza in funzione del tempo, fra l'istante iniziale e quello finale. La forza media F_m è definita come la forza costante che produrrebbe lo stesso impulso: il rettangolo di base Δt e altezza F_m ha la stessa area della curva. Ecco perché negli esercizi la forza media si stima così: si calcola Δp, si stima la durata dell'urto, si divide.

L'airbag, calcolato davvero

Questo esempio lo trovi ovunque, e quasi sempre raccontato a parole. Farlo con i numeri cambia tutto.

Passeggero di 70 kg, automobile a 50,4 km/h, cioè 14 m/s. Urto frontale, il passeggero si arresta.

La variazione di quantità di moto vale, in modulo:

Δp = 70 kg · 14 m/s = 980 kg·m/s

E adesso il punto che nessuno dice: questi 980 kg·m/s sono gli stessi in tutti e due gli scenari. Massa e velocità iniziale sono quelle, l'arresto è completo, Δp è imposta dalla situazione.

Caso 1 — il passeggero sbatte contro una superficie rigida (volante, cruscotto), arrestandosi in Δt = 0,010 s:

F = 980 ÷ 0,010 = 98.000 N = 9,8 · 10⁴ N

Caso 2 — lo arresta l'airbag, che gonfiandosi porta la durata dell'arresto a Δt = 0,20 s:

F = 980 ÷ 0,20 = 4.900 N = 4,9 · 10³ N

Venti volte meno, che è esattamente il rapporto inverso dei tempi: 0,20 ÷ 0,010 = 20. Non poteva venire altro, visto che il numeratore è identico.

Tradotto in una scala che si capisce al volo, i multipli del proprio peso. Con g = 9,8 m/s², il peso del passeggero è 70 · 9,8 = 686 N.


Centoquarantatré volte il proprio peso contro sette: è la differenza fra lesioni gravissime e contusioni, e sta tutta in un denominatore.

La frase da smontare

«L'airbag assorbe la quantità di moto.» No, e conviene saperlo dire con precisione, perché è una domanda da orale. Δp vale 980 kg·m/s in entrambi i casi, l'airbag non ne toglie neanche un pezzo: agisce solo sul denominatore, dilatando il tempo in cui quella variazione avviene. La quantità di moto del passeggero finisce comunque tutta alla struttura dell'auto e da lì alla Terra.

Stesso identico principio, e vale la pena riconoscerlo fuori dal libro: il casco, le zone a deformazione programmata di un'automobile, il materasso del salto in alto, i guantoni da boxe, e il piegare le gambe quando atterri da un salto invece di restare rigido. Nessuno di questi riduce Δp. Tutti allungano Δt.

p è una fotografia, I è un filmato

Ed ecco la distinzione che risolve la confusione una volta per tutte. La quantità di moto è una proprietà del corpo in un istante: la fotografi e la leggi. L'impulso è quello che l'ambiente ha fatto al corpo in un intervallo di tempo: per misurarlo ti serve un filmato, con un inizio e una fine.

Il controesempio che lo rende inattaccabile. Pallina di 0,20 kg che arriva su un muro a 5,0 m/s. Asse x positivo verso il muro, quindi p prima = 0,20 · 5,0 = +1,0 kg·m/s in tutti e due i casi.

                          p prima      p dopo        I = Δp        F media
                                                                 (Δt = 0,010 s)
  rimbalza a 5,0 m/s     +1,0        −1,0         −2,0 N·s        −200 N
  resta attaccata        +1,0         0           −1,0 N·s        −100 N

Verifica dei due impulsi: nel primo caso Δp = (−1,0) − (+1,0) = −2,0 kg·m/s; nel secondo Δp = 0 − (+1,0) = −1,0 kg·m/s. Stessa pallina, stessa velocità d'arrivo, stessa quantità di moto — e impulsi che differiscono di un fattore 2, con due forze medie che differiscono dello stesso fattore. Se p e I fossero la stessa grandezza, questa tabella non potrebbe esistere. Nota anche il risultato controintuitivo: la pallina che rimbalza sollecita il muro il doppio di quella che ci resta appiccicata, perché il muro deve prima fermarla e poi rimandarla indietro.

E il caso opposto, per chiudere la tenaglia: un carrello che viaggia su una rotaia orizzontale senza attrito ha una bella quantità di moto e riceve impulso zero per tutto il tragitto, perché la risultante delle forze è nulla. Un carrello inizialmente fermo ha p = 0 e può ricevere un impulso enorme.

Chiedere «quanto vale l'impulso di questa palla?» è malposto esattamente come chiedere «quanto vale il lavoro di questo sasso?» della guida precedente: sono due grandezze di processo, non di stato. Il sasso non ha un lavoro, la palla non ha un impulso. Hanno un'energia e una quantità di moto; il lavoro e l'impulso sono quello che gli succede.

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«Sistema isolato» non vuol dire «senza forze»

Qui l'errore non è di fisica: è di lingua. In italiano «isolato» significa senza contatti, staccato da tutto, da solo. Con quel significato già in testa, davanti a due carrelli appoggiati su una rotaia lo studente vede il peso, vede la rotaia che li regge, e conclude che il sistema non è isolato: quindi non applica la conservazione. Oppure fa l'opposto e la applica ovunque, «tanto l'urto dura un attimo».

Non è una svista rara, ed è misurata. Nella rilevazione di Singh e Rosengrant presentata agli atti della Physics Education Research Conference del 2001, i problemi costruiti apposta per capire se lo studente sa scegliere il «sistema» a cui applicare la conservazione mostrano che oltre il 40% degli studenti risulta confuso su quel punto, e che molti credono che quantità di moto ed energia cinetica si conservino per ciascun corpo separatamente. È una delle difficoltà che gli autori segnalano come più resistenti — non l'unica, e nemmeno la peggiore del test.

Allora l'enunciato, e come nella guida sull'energia la condizione viene prima della formula, perché le condizioni scritte in fondo non sopravvivono al ripasso della sera prima.

Rileggi la condizione: risultante nulla, non «nessuna forza». Sono due frasi diversissime, e la seconda è falsa.

Non è una legge nuova: esce dalla seconda più la terza

Il secondo principio si può scrivere nella forma F = Δp/Δt: la risultante delle forze è la rapidità con cui cambia la quantità di moto. È la scrittura più vicina allo spirito della Lex II dei Principia, che parla di variazione del moto proporzionale alla forza impressa, anche se — come detto nella sezione 2 — la formula con il rapporto sul tempo è una riformulazione moderna e non una frase di Newton.

Prendi ora due corpi che interagiscono. La forza che il primo esercita sul secondo e quella che il secondo esercita sul primo sono uguali in modulo e opposte in verso, per il terzo principio della guida sulle leggi di Newton spiegate con esempi di tutti i giorni. Agiscono per lo stesso identico intervallo di tempo, quindi producono impulsi uguali e opposti:

La somma non cambia. Le forze interne non possono spostare la quantità di moto totale di un sistema, possono solo travasarla da un corpo all'altro. È la stessa struttura del teorema dell'energia cinetica della guida su lavoro, energia e potenza: là F = m·a più la legge senza tempo, qui il secondo principio più il terzo. Non c'è niente di nuovo da credere sulla fiducia.

Le forze ci sono, e sono grandi

Riprendiamo i due carrelli della sezione 1: A da 2,0 kg a 3,0 m/s, B da 1,0 kg fermo, rotaia orizzontale. Con g = 9,8 m/s² il peso di A vale 2,0 · 9,8 = 19,6 N, ed è equilibrato da una forza normale di 19,6 N. Due forze esterne da quasi venti newton l'una, e il sistema è isolato lungo la rotaia lo stesso, perché la risultante orizzontale è zero.

Guarda invece la forza interna. Nell'urto perfettamente anelastico i due proseguono insieme a 2,0 m/s, quindi A passa da 3,0 a 2,0 m/s: Δp di A vale −2,0 kg·m/s, e se il contatto dura circa 0,050 s la forza fra i due carrelli è 2,0 ÷ 0,050 = 40 N. Il bilancio, in colonna:

                    carrello A       carrello B       totale
prima dell'urto     2,0 · (+3,0)     1,0 · (0)        +6,0 kg·m/s
dopo l'urto         2,0 · (+2,0)     1,0 · (+2,0)     +6,0 kg·m/s
variazione          −2,0 kg·m/s      +2,0 kg·m/s       0

Le due variazioni si cancellano a coppia. Non è un caso fortunato: è il terzo principio scritto in numeri.

«Ma se c'è la gravità, perché posso dire che è isolato?»

È la domanda che riempie i forum di studenti italiani, e in italiano si trova spiegata quasi solo nelle dispense universitarie. La risposta non è un decreto, è un conto.

Mettiamo che la rotaia non sia perfetta e ci sia attrito con coefficiente μ = 0,02 sui 3,0 kg complessivi. La forza d'attrito vale f = 0,02 · 3,0 · 9,8 = 0,588 N. Durante l'urto, che dura 0,050 s, il suo impulso è 0,588 · 0,050 = 0,029 kg·m/s. La quantità di moto in gioco è 2,0 · 3,0 = 6,0 kg·m/s. Il rapporto:

Il sistema non è rigorosamente isolato, e la conservazione è accurata a mezzo punto percentuale. Ed è così ogni volta: la forza esterna c'è, ma agisce per un tempo brevissimo, mentre le forze interne dell'urto sono decine di volte più grandi. «Isolato» è un giudizio su un rapporto, non una proprietà che un sistema ha o non ha. Quando in verifica scrivi «trascuro l'attrito durante l'urto», quella è la stima che stai facendo, anche se non la scrivi.

Attenzione al rovescio: la stessa approssimazione non vale per i secondi che seguono l'urto. Su tempi lunghi anche 0,588 N accumulano un impulso che ferma tutto. La conservazione vale attraverso l'urto, non per sempre.

Due precisazioni che valgono punti

La relazione è vettoriale, quindi vale componente per componente. Può succedere benissimo che si conservi la quantità di moto lungo x e non lungo y: in un proiettile in volo la risultante orizzontale è nulla, quella verticale no, e infatti p lungo x resta costante mentre p lungo y cambia in continuazione. Negli urti obliqui della sezione 9 questa diventa la mossa operativa: due equazioni invece di una.

E il sistema lo scegli tu. Una palla che rimbalza sul pavimento non conserva la quantità di moto se il sistema è «la palla», perché il pavimento è fuori e spinge; la conserva se il sistema è «palla più Terra». Stesso fenomeno, due risposte, entrambe corrette. La domanda da farsi prima di scrivere qualunque formula è sempre la stessa: che cosa ho cerchiato sul disegno, e chi lo spinge da fuori?

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Elastico non vuol dire di gomma: la classificazione degli urti

Secondo falso amico della guida, e questo è il più costoso di tutti, perché non ti fa sbagliare un conto: ti impedisce di usare l'unica legge che vale sempre.

In italiano corrente elastico significa gommoso, morbido, che rimbalza. In fisica urto elastico non dice niente sul materiale: è una definizione energetica, e dice che si conserva l'energia cinetica totale. La parola non descrive di che cosa sono fatti i corpi, descrive un bilancio.

Le conseguenze estreme di questa confusione sono documentate dalla ricerca didattica: fra le convinzioni raccolte in classe tornano regolarmente queste due, e sono false tutte e due. Che se i corpi che si urtano sono molli la quantità di moto non si conserva. E che perché la quantità di moto si conservi l'urto debba essere elastico. Chi ci crede rinuncia in partenza a risolvere metà dei problemi.

La tabella, e la riga che conta

Guarda la colonna centrale: la quantità di moto si conserva in tutti e tre i casi. A distinguere gli urti è solo K. E nell'urto elastico l'energia cinetica del singolo corpo può cambiare eccome: costante è la somma.

Detto al contrario, perché è la frase che ti serve in verifica: se in un problema il testo non dice di che tipo è l'urto, la conservazione della quantità di moto la puoi scrivere lo stesso; quella dell'energia cinetica no.

Urti, esplosioni e rinculi: la regola completa, una volta sola

Questo riquadro vale per tutto il resto della guida, e va letto adesso, perché è il punto in cui quasi tutte le spiegazioni si contraddicono.

Il corollario operativo, che ti serve quando controlli un esercizio: se hai risolto un urto e ti esce K finale maggiore di K iniziale, hai sbagliato qualcosa, quasi sempre un segno. Se hai risolto un rinculo o un'esplosione e ti esce K finale maggiore di zero partendo da fermo, va benissimo: quella è la risposta, e la sorgente sta dentro il sistema. Lo vedrai coi numeri negli esercizi 9 e 10 della sezione 10.

Tre controesempi che staccano la parola dal materiale

Primo, la gomma. Lascia cadere una palla di gomma da 1,00 m e osserva che rimbalza fino a 0,64 m. Con g = 9,8 m/s², la velocità con cui arriva a terra è √(2 · 9,8 · 1,00) = √19,6 = 4,43 m/s, quella con cui riparte è √(2 · 9,8 · 0,64) = √12,544 = 3,54 m/s. Il rapporto fra le due vale 3,54 ÷ 4,43 = 0,80, e l'energia cinetica restituita è 0,80² = 64%. L'archetipo del corpo elastico dissipa più di un terzo dell'energia a ogni rimbalzo. Quello non è un urto elastico.

Secondo, l'acciaio. Due sfere da cuscinetto, durissime, che nel linguaggio comune nessuno chiamerebbe elastiche: nel loro urto reciproco il rapporto fra velocità di allontanamento e di avvicinamento arriva a circa 0,95. Con due sfere uguali e il bersaglio fermo, la frazione di energia cinetica totale che sopravvive vale (1 + 0,95²) ÷ 2 = circa il 95%. È esattamente il motivo per cui il pendolo di Newton, quello con le cinque sfere appese, funziona a lungo.

Attenzione a un tranello di conto che gira parecchio: il quadrato del rapporto, 0,95² = 90%, non è la frazione di energia cinetica totale, è la frazione dell'energia del solo moto relativo. Fra due corpi entrambi liberi di muoversi i due numeri sono diversi, e quello giusto è 95%. Il quadrato del rapporto vale come frazione dell'energia restituita solo quando il bersaglio è fermo e resta fermo, cioè quando è un pavimento.

Terzo, i magneti. Due carrelli su rotaia a cuscino d'aria con due magneti affacciati che si respingono: non si toccano mai, nessun materiale si deforma, e l'urto è elastico con ottima approssimazione. Con i dati della sezione 1 — 2,0 kg a 3,0 m/s contro 1,0 kg fermo — l'esito è 1,0 m/s e 4,0 m/s. Verifica della quantità di moto: prima 2,0 · 3,0 = +6,0 kg·m/s, dopo 2,0 · 1,0 + 1,0 · 4,0 = 2,0 + 4,0 = +6,0 kg·m/s. Verifica dell'energia: prima ½ · 2,0 · 3,0² = 9,0 J, dopo ½ · 2,0 · 1,0² + ½ · 1,0 · 4,0² = 1,0 + 8,0 = 9,0 J. Elastico, senza un grammo di gomma.

L'elasticità non sta nel materiale: sta nel fatto che l'energia immagazzinata durante l'interazione venga restituita per intero.

Il coefficiente di restituzione, che a livello liceo quasi nessuno ti dà

Il numero che è comparso due volte qui sopra ha un nome, si indica con e ed è definito così:

Per una palla lasciata cadere su un pavimento fermo si riduce a e = velocità di ripartenza ÷ velocità di arrivo, e siccome le velocità vanno con la radice dell'altezza, si calcola direttamente dai due rimbalzi: e = √(h dopo ÷ h prima). Nel caso della gomma, √(0,64 ÷ 1,00) = 0,80, senza calcolare nessuna velocità.

Serve perché rende quantitativo il continuum fra i due estremi: e = 1 è l'urto elastico, e = 0 è quello perfettamente anelastico, e in mezzo c'è tutto il resto.

La forma con cui e si usa davvero

Questa è la riga che quasi nessun manuale liceale scrive, e senza la quale il coefficiente di restituzione resta un ornamento. Riscritta con le componenti lungo l'asse che hai scelto, la definizione diventa la seconda equazione che ti mancava per risolvere un urto qualunque:

Leggila così: la velocità con cui i due si allontanano dopo è e volte quella con cui si avvicinavano prima. Metti e = 1 e ottieni v₁' − v₂' = v₂ − v₁, cioè l'inversione della velocità relativa che ritroverai come verifica gratuita nella sezione 7. Metti e = 0 e ottieni v₁' = v₂', cioè la velocità comune dell'urto perfettamente anelastico. I due casi che sai già risolvere sono i due estremi di questa unica formula.

Provala sui carrelli della sezione 1, con un urto intermedio da e = 0,50. Sistema: A da 2,0 kg a +3,0 m/s, B da 1,0 kg fermo, verso positivo quello di A.

Sostituendo la seconda nella prima: 2,0·v₁' + (v₁' + 1,5) = 6,0, cioè 3,0·v₁' = 4,5, quindi v₁' = +1,5 m/s e v₂' = +3,0 m/s.

Verifica sulla quantità di moto: 2,0 · 1,5 + 1,0 · 3,0 = 3,0 + 3,0 = +6,0 kg·m/s. Torna. Bilancio energetico: K dopo = ½·2,0·1,5² + ½·1,0·3,0² = 2,25 + 4,5 = 6,75 J, contro i 9,0 J iniziali. E guarda dove cade: fra i 9,0 J dell'urto elastico (e = 1) e i 6,0 J di quello perfettamente anelastico (e = 0), esattamente come deve.


La colonna e² vale solo per questa tabella, cioè per una palla che rimbalza su un pavimento che non si muove. Fra due corpi liberi si torna al conto del paragrafo sull'acciaio.

Una precisazione onesta, che serve proprio a non farti cadere nella trappola di questa sezione: e non è una proprietà del materiale, è una proprietà della coppia di corpi che si urtano e dipende anche dalla velocità d'impatto. È per questo che l'acciaio compare qui a 0,60, misurato lasciando cadere una sfera su una superficie, e poco sopra a 0,95, misurato fra due sfere che si urtano fra loro. I due numeri non si contraddicono: descrivono due esperimenti diversi. Prendi la tabella come ordine di grandezza, non come una tavola di costanti.

Una nota sui manuali, perché la parola «anelastico» viene introdotta in due modi

Il tuo libro può arrivare alla classificazione da due strade, ed è utile riconoscerle per non confonderti quando confronti due testi.

I manuali italiani, l'Amaldi di Zanichelli in testa, partono dal criterio energetico: anelastico vuol dire che l'energia cinetica totale non si conserva, che i corpi restino attaccati o no.

OpenStax University Physics (paragrafo 9.4), manuale libero molto usato e riversato in giro anche in traduzione automatica, arriva allo stesso posto passando prima dal caso più vistoso, quello dei corpi che restano uniti — «stick together» — e dando poche righe dopo il criterio energetico completo: testualmente, «If 0 < K_f < K_i, the collision is inelastic» e «If K_f = K_i, the collision is elastic», con il caso dei corpi che restano attaccati identificato come quello perfettamente anelastico. Cioè: la stessa identica classificazione a tre righe dell'Amaldi.

Il rischio, quindi, non è nel manuale: è nel leggere solo la prima frase e fermarsi lì. Se ti fermi a «anelastico = restano attaccati», la classificazione a tre righe ti crolla a due e non riesci più a collocare tutti gli urti che dissipano energia senza far restare uniti i corpi — cioè la stragrande maggioranza degli urti reali. Leggi il paragrafo fino in fondo e i due libri dicono la stessa cosa.

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Come si risolve un urto: le formule, e quando non bastano

Due note di notazione, da leggere adesso.

Le velocità. Qui quelle prima dell'urto si scrivono v₁ e v₂, quelle dopo v₁' e v₂', con l'apice. Il tuo libro potrebbe scriverle v₁ᵢ e v₁f, oppure v₁ e u₁: è la stessa cosa. E tutte e quattro sono componenti con segno lungo l'asse che hai scelto nella sezione 3, non moduli.

La lettera μ, che in questo capitolo fa un doppio gioco. Fra poco comparirà la massa ridotta, indicata con μ: si misura in kg e con il coefficiente di attrito della sezione 5, che si indica anche lui con μ ed è un numero puro, non ha assolutamente niente a che vedere. Sono due grandezze diverse con lo stesso simbolo, per un incidente storico della notazione. Quando nell'esercizio 4 leggerai «μ = 600 kg» non è un refuso: è la massa ridotta. Se ti aiuta, sul quaderno scrivila m_r.

L'urto elastico frontale: due equazioni, due incognite

Dopo l'urto le incognite sono due, quindi servono due equazioni. Nell'urto elastico ci sono entrambe:

Risolvendo il sistema si ottiene:

Fermati sui numeratori, perché lì si concentra l'errore più frequente in assoluto su questo argomento. Nella prima riga la differenza di masse è (m₁ − m₂), nella seconda è (m₂ − m₁): gli indici si invertono. Chi copia la stessa differenza in tutte e due le righe ottiene un risultato pulito, plausibile e con il segno rovesciato.

Con il bersaglio inizialmente fermo (v₂ = 0) restano le due formule che userai nove volte su dieci:

Da cui la regola qualitativa da tenere a mente, che è tutta nel segno di (m₁ − m₂): se il proiettile è più pesante del bersaglio prosegue, se è più leggero rimbalza, se le masse sono uguali si ferma.

I tre casi notevoli, con il bersaglio fermo

• Masse uguali. v₁' = 0 e v₂' = v₁: i due si scambiano le velocità, il primo si ferma di netto. È il biliardo colpito in pieno, ed è il pendolo di Newton.
• Bersaglio molto più massiccio del proiettile. v₁' ≈ −v₁ e v₂' ≈ 0: il proiettile torna indietro con la stessa velocità e il bersaglio non si muove. È la palla contro il muro.
• Proiettile molto più massiccio del bersaglio. v₁' ≈ v₁ e v₂' ≈ 2v₁: il bersaglio schizza via a velocità doppia di quella del proiettile, che tira dritto come se nulla fosse. È lo stesso meccanismo dell'effetto fionda gravitazionale, dove il ruolo del corpo pesante lo fa un pianeta e l'urto avviene a distanza.

Tieni presente che questi tre casi valgono per l'urto centrale, cioè frontale. Negli urti obliqui della sezione 9 le cose cambiano, e cambia anche la regola dei 90° che leggerai lì.

E la verifica gratuita, valida per ogni urto elastico frontale: la velocità relativa si inverte, cioè v₁' − v₂' = v₂ − v₁. Costa dieci secondi e smaschera qualunque errore di segno. È il caso e = 1 della formula della sezione 6.

Un caso generale, con entrambi i corpi in moto, per vedere le formule lavorare. m₁ = 2,0 kg a +4,0 m/s contro m₂ = 3,0 kg a −2,0 m/s, urto elastico, verso positivo quello del primo corpo:

Verifica della quantità di moto: prima 2,0·(+4,0) + 3,0·(−2,0) = 8,0 − 6,0 = +2,0 kg·m/s; dopo 2,0·(−3,2) + 3,0·(+2,8) = −6,4 + 8,4 = +2,0 kg·m/s. Verifica dell'energia: prima 16,0 + 6,0 = 22 J; dopo ½·2,0·3,2² + ½·3,0·2,8² = 10,24 + 11,76 = 22 J. Verifica della velocità relativa: prima +6,0 m/s, dopo −6,0 m/s, invertita. Tre controlli, tre volte torna.

L'urto perfettamente anelastico

Qui la seconda equazione la fornisce il testo: restano attaccati, quindi hanno una sola velocità finale.

E l'energia cinetica dissipata ha una forma sorprendentemente compatta:

μ è la massa ridotta in chilogrammi (rileggi la nota di notazione qui sopra) e v_rel è la velocità relativa prima dell'urto, cioè v₁ − v₂. Da leggere con attenzione, perché spiega tutto il resto della sezione: l'energia persa dipende solo dalla velocità relativa. Due corpi che viaggiano già insieme e si agganciano non perdono niente, per quanto veloci vadano.

«Si perde tutta l'energia cinetica»: no, e non è un fatto empirico

Il 36% degli studenti, nella rilevazione di Singh e Rosengrant, ritiene che in un urto perfettamente anelastico il proiettile trasferisca tutta la sua energia cinetica. (Il testo originale dice inelastic collision: in inglese, come in tanti manuali, quell'aggettivo da solo indica spesso il caso in cui i corpi restano attaccati. Qui teniamo la distinzione a tre righe della sezione 6, perché è quella che regge in verifica.)

Con il bersaglio fermo — e solo con quello — la frazione persa vale esattamente m₂ ÷ (m₁ + m₂), quella che sopravvive m₁ ÷ (m₁ + m₂). Se anche il bersaglio si muove la formula non vale più: bisogna calcolare K prima e K dopo e fare la differenza. Tre conseguenze:

• Masse uguali, bersaglio fermo: si perde esattamente il 50%, qualunque sia la velocità. È il numero da mandare a memoria — ma è il numero di quel caso, non di tutti gli urti perfettamente anelastici. La formula generale è m₂ ÷ (m₁ + m₂): con masse uguali dà 1/2, con un bersaglio molto più massiccio del proiettile si avvicina al 100% senza mai arrivarci, finché p totale non è nulla.
• Un proiettile da 0,0200 kg a 280 m/s che si conficca in un blocco da 1,980 kg perde 1,980 ÷ 2,000 = il 99,00%. Sembra dare ragione alla convinzione sbagliata — ma vediamo quanti joule restano davvero, con la formula K = p² / (2m) della sezione 2, che qui è la via più corta. La quantità di moto vale 0,0200 · 280 = 5,60 kg·m/s prima e dopo, quindi K prima = 5,60² ÷ (2 · 0,0200) = 31,36 ÷ 0,0400 = 784 J e K dopo = 5,60² ÷ (2 · 2,000) = 31,36 ÷ 4,00 = 7,84 J. Restano 7,84 J, ed è esattamente l'energia che fa salire il pendolo balistico della sezione 8, dove ritroverai questi stessi numeri. Se fossero zero, quell'esperimento non esisterebbe.
• Si perde tutta K solo se la quantità di moto totale è nulla — ma non basta che sia nulla, serve anche che i corpi finiscano davvero fermi. Le due palline da 1,0 kg a +3,0 e −3,0 m/s hanno p totale = 0 tanto se restano attaccate quanto se rimbalzano elasticamente: nel primo caso i 9,0 J spariscono tutti, nel secondo restano tutti. La quantità di moto nulla è la porta, non la garanzia. Nel caso perfettamente anelastico la porta si attraversa: le due palline da 1,0 kg a +3,0 e −3,0 m/s della sezione 2 hanno p totale = 0, finiscono ferme, e i 9,0 J spariscono davvero. Come l'auto contro l'autoarticolato.

Il punto teorico è questo: la conservazione della quantità di moto vieta di perdere tutta l'energia cinetica. Se p totale non è nulla, alla fine il sistema deve muoversi, e se si muove ha K maggiore di zero. La perdita massima non è un'osservazione sperimentale, è un teorema — ed è lo stesso teorema che, letto al contrario, riempie la casella «no» dell'ultima riga della tabella della sezione 2.

L'avvertenza che quasi nessuno dà

Solo l'urto elastico e quello perfettamente anelastico sono risolubili a priori. L'urto anelastico intermedio — quello in cui i corpi si separano ma dissipano energia, cioè la stragrande maggioranza degli urti reali — ha una sola equazione e due incognite: è indeterminato. Serve un dato in più, e di solito è il coefficiente di restituzione: la seconda equazione da scrivere è v₂' − v₁' = e·(v₁ − v₂), con l'esempio svolto sui carrelli che trovi nella sezione 6. In alternativa te ne danno una delle due velocità finali, misurata. Se in un problema ti sembra che manchi un dato, prima di cercare l'errore controlla di che tipo di urto si tratta: potrebbe mancare davvero.

Il centro di massa

[Approfondimento]

La velocità del centro di massa di un sistema è la media delle velocità pesata sulle masse:

Leggi la seconda relazione al contrario: se p totale si conserva e la massa totale M è costante, allora v_CM è costante per costruzione. L'urto cambia le velocità dei corpi ma non quella del loro centro di massa: due corpi che rimbalzano in modo complicatissimo, e il loro CM che prosegue imperturbato in linea retta.

Corollario elegante: nell'urto perfettamente anelastico la velocità comune finale è la velocità del centro di massa. Confronta la formula di v' con quella di v_CM — sono la stessa formula. Per i carrelli della sezione 1: v_CM = (2,0·3,0 + 1,0·0) ÷ 3,0 = 2,0 m/s, ed è proprio il valore che esce dall'urto anelastico.

Nota normativa che vale la pena conoscere, perché è paradossale. Le parole «centro di massa» non compaiono mai nelle Indicazioni Nazionali del 2010: è per questo che qui il blocco è marcato come approfondimento. Gli urti, al contrario, nelle Indicazioni ci sono almeno sotto forma di principi di conservazione, ma non compaiono fra gli obiettivi del Quadro di riferimento della seconda prova del liceo scientifico (D.M. 769 del 26 novembre 2018) — come nota la stessa scheda di valutazione con cui gli insegnanti di fisica hanno commentato la simulazione del 2019 che ritroverai nell'esercizio 8.

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Il pendolo balistico: dove questa guida e quella sull'energia si toccano

Questa è la sezione di giunzione fra i due articoli, ed è anche il problema più amato da chi scrive verifiche, per un motivo preciso: è l'unico che obbliga a usare tutte e due le conservazioni, in due fasi separate, e che quindi mette alla prova se hai capito o hai memorizzato.

La regola sta in una riga, e conviene incorniciarla:

Le due fasi non si mescolano mai. Il motivo l'hai già visto nella sezione 5: durante l'urto le forze esterne (gravità, tensione dei fili) danno un impulso trascurabile, quindi p si conserva, mentre l'energia cinetica se ne va in deformazione e calore. Nella risalita succede l'opposto: non c'è più niente che dissipi, quindi l'energia meccanica si conserva, ma tensione e peso agiscono per un tempo lungo e p cambia in continuazione.

              FASE 1 — l'urto                  FASE 2 — la risalita
              millesimi di secondo             frazioni di secondo

si conserva   quantità di moto                 energia meccanica
NON si cons.  energia cinetica                 quantità di moto

  0,0200 kg  ------>  2,000 kg      ------>    2,000 kg fermi
  a 280 m/s           a 2,8 m/s                a 0,40 m di altezza
  5,60 kg·m/s         5,60 kg·m/s
                      7,84 J                   7,84 J

Il problema, svolto a ritroso

Un proiettile di 20,0 g colpisce orizzontalmente un blocco di legno di 1,980 kg appeso a due funi verticali e vi resta conficcato. Il blocco, con il proiettile dentro, si solleva di 40 cm. Quanto viaggiava il proiettile?

Si parte dalla fine, perché è l'unico dato che hai. Con g = 9,8 m/s², e con l'asse orizzontale positivo nel verso in cui viaggia il proiettile.

Fase 2 — la risalita, con la conservazione dell'energia meccanica della guida su lavoro, energia e potenza:

V = √(2 · 9,8 · 0,40) = √7,84 = 2,8 m/s. La massa si semplifica, esattamente come nella caduta libera.

Fase 1 — l'urto, con la conservazione della quantità di moto:

v = (2,000 ÷ 0,0200) · 2,8 = 100 · 2,8 = 2,8 · 10² m/s, cioè 280 m/s.

Verifica della quantità di moto. Prima: 0,0200 · 280 = +5,60 kg·m/s (il blocco è fermo, contributo nullo). Dopo: 2,000 · 2,8 = +5,60 kg·m/s. Coincidono.

Il bilancio energetico spiega perché il metodo esiste

Qui conviene usare K = p² / (2m), perché la quantità di moto la conosci già ed è la stessa prima e dopo: 5,60 kg·m/s.

K subito prima dell'urto = 5,60² ÷ (2 · 0,0200) = 31,36 ÷ 0,0400 = 784 J K subito dopo l'urto = 5,60² ÷ (2 · 2,000) = 31,36 ÷ 4,00 = 7,84 J Energia dissipata = 784 − 7,84 = 776,16 J, cioè il 99,0%

Se preferisci la via lunga, torna identico: ½ · 0,0200 · 280² = 784 J e ½ · 2,000 · 2,8² = 7,84 J.

Controprova sulla fase 2: l'energia potenziale al culmine vale (M + m)gh = 2,000 · 9,8 · 0,40 = 7,84 J, identica alla cinetica subito dopo l'urto. Nella seconda fase il bilancio torna a virgola, perché lì l'energia si conserva davvero.

La frazione di energia che sopravvive all'urto è esattamente m ÷ (M + m) = 0,0200 ÷ 2,000 = 1%, come previsto dalla sezione 7. Ed è il rovescio della medaglia del pendolo balistico: proprio perché quasi tutta l'energia si dissipa, il metodo può funzionare solo passando dalla quantità di moto.

L'errore da vedere una volta, per non farlo mai

È il più macroscopico dell'intero capitolo: usare la conservazione dell'energia anche nell'urto, cioè scrivere ½mv² = (M + m)gh. Facciamo il conto sbagliato fino in fondo, perché il numero è istruttivo:

½ · 0,0200 · v² = 7,84 J → v² = 784 m²/s² → v = 28 m/s

Dieci volte meno del valore vero. Un proiettile a 28 m/s è poco più di un sasso lanciato a mano. L'errore opposto è altrettanto grave: applicare la conservazione della quantità di moto alla risalita, dove funi e gravità agiscono per un tempo lungo e p cambia di continuo.

Quale legge uso davanti a questo problema?

È la domanda vera del compito in classe, e qui c'è la stessa tabella della guida sull'energia, riscritta per gli urti.


L'ultima riga è la stessa dell'altra guida, ed è ancora vera: il tempo lo dà solo la cinematica. L'unica eccezione apparente è il teorema dell'impulso, che il tempo ce l'ha dentro — ma lì il Δt è un dato, la durata dell'urto, non un'incognita da trovare.

Il formulario: otto formule, e basta

Sono otto: contale, perché nelle ultime due gli indici si invertono ed è l'unico punto in cui una distrazione ti costa il segno. Se ti serve anche l'urto intermedio, la nona è quella del coefficiente di restituzione della sezione 6.

Sull'unità c'è una cosa da fissare adesso, perché è la vulnerabilità strutturale di questo capitolo: 1 N·s = 1 kg·m/s, sono la stessa unità. Il controllo dimensionale, cioè l'unico autocontrollo automatico che sai fare, qui non ti protegge: non distingue un impulso da una quantità di moto. Su questo capitolo devi controllare i significati a mano.

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Urti obliqui: in due dimensioni le equazioni diventano due

[Approfondimento]

Fino a qui tutti gli urti sono stati frontali, e questo ti ha protetto. In una dimensione la natura vettoriale della quantità di moto si nasconde dentro un segno: metti un meno davanti a una velocità e hai finito di ragionare da vettori. Chi ha attraversato mezzo capitolo trattando p come un numero se l'è cavata lo stesso — ed è esattamente la difficoltà che la ricerca didattica registra da vent'anni, con studenti che non riconoscono nella quantità di moto un vettore.

Poi arrivano i dischi sul ghiaccio, il biliardo e le due auto all'incrocio, e il segno non basta più. È esattamente qui che i forum italiani si riempiono di richieste d'aiuto, ed è il passaggio che quasi nessuna guida accompagna. La frase da portarsi dietro è una sola:

E sono indipendenti: quello che succede lungo x non sa niente di quello che succede lungo y. Non è una novità assoluta, l'hai già vista nel moto del proiettile, dove la componente orizzontale della quantità di moto si conserva e quella verticale no.

Il procedimento, in cinque passi

1) Disegna e fissa i due assi, con le frecce e i versi positivi scritti sul foglio, prima di qualunque conto.
2) Scomponi ogni velocità nelle sue due componenti. La trigonometria che serve è quella del triangolo rettangolo, e sta tutta qui sotto.
3) Scrivi due equazioni, una per asse. Mai una sola.
4) Ricomponi: il modulo del vettore risultante con Pitagora, cioè la radice di (p_x² + p_y²).
5) Trova l'angolo con l'arcotangente, e il quadrante lo decidi tu dai segni delle due componenti, non la calcolatrice: l'arcotangente di 1,733 e quella di −1,733 non sanno dove sta il tuo disco.

La scomposizione, in due righe e senza rimandi. Disegna il vettore velocità v come ipotenusa di un triangolo rettangolo, con i due cateti paralleli agli assi e l'angolo α misurato dall'asse x.

                              B
                             /:
                            / :
                    v      /  :   cateto verticale
                          /   :   v · sen α
                         / α  :
                        A.....C
                     cateto orizzontale
                         v · cos α

È la stessa scomposizione delle forze sul piano inclinato della guida sulle leggi di Newton. Controllo mentale che non sbaglia mai: se α è piccolo il vettore è quasi orizzontale, quindi cos α è vicino a 1 e sen α è vicino a 0, cioè quasi tutta la componente sta su x. Se ti viene il contrario, hai scambiato seno e coseno.

Esempio svolto: due dischi identici

Il disco A, di 0,30 kg, viaggia a 4,0 m/s lungo +x e colpisce il disco B, identico e fermo. Dopo l'urto A esce a 3,46 m/s a +30°. Dove va B? Assi: x nel verso iniziale di A, y perpendicolare, positivo verso l'alto del disegno.

Quantità di moto iniziale: 0,30 · 4,0 = 1,200 kg·m/s su x, 0 su y. Quantità di moto finale di A: modulo 0,30 · 3,464 = 1,039 kg·m/s, quindi componente x = 1,039 · cos 30° = 1,039 · 0,866 = 0,900 e componente y = 1,039 · sen 30° = 0,520.

Le due equazioni danno B in una riga ciascuna: 1,200 = 0,900 + p_Bx → p_Bx = 0,300; e 0 = 0,520 + p_By → p_By = −0,520.

                     su x        su y
prima    disco A   +1,200       0
         disco B        0       0
         TOTALE    +1,200       0
dopo     disco A   +0,900      +0,520
         disco B   +0,300      −0,520
         TOTALE    +1,200       0

Le due colonne tornano, segni compresi. Il modulo di p_B è la radice di (0,300² + 0,520²) = radice di 0,3604 = 0,600 kg·m/s, quindi v_B = 0,600 ÷ 0,30 = 2,0 m/s, e l'arcotangente di 0,520/0,300 dà 60°, sotto l'asse x perché la componente y è negativa: 2,0 m/s a −60°.

Due verifiche gratuite. L'energia: prima ½ · 0,30 · 4,0² = 2,40 J; dopo ½ · 0,30 · 3,464² + ½ · 0,30 · 2,0² = 1,80 + 0,60 = 2,40 J. L'urto è elastico. E l'angolo fra le due velocità uscenti è 30° − (−60°) = 90°.

La regola dei 90°, con la sua condizione di validità, perché senza condizione ti fa bocciare esercizi giusti. Per masse uguali con bersaglio fermo, in un urto elastico non centrale i due corpi escono sempre perpendicolari. Se in un urto obliquo ti viene un angolo diverso da 90°, hai sbagliato un conto o l'urto non è elastico. Nel caso limite dell'urto centrale, invece, la regola non si applica: il primo corpo si ferma di netto, come nella sezione 7 e nell'esercizio 6, e fra un vettore e un vettore nullo l'angolo non è nemmeno definito.

Cosa costa l'errore scalare, due volte

Chi somma i moduli scrive 0,30 · 4,0 = 0,30 · 3,464 + 0,30 · v_B e ottiene v_B = 4,0 − 3,464 = 0,536 m/s invece di 2,0: sbagliato di un fattore 3,7, con 0,520 kg·m/s di componente y svaniti nel nulla. E guarda i numeri: 1,039 + 0,600 = 1,639, che non è 1,200. I moduli non si sommano mai. Si sommano le componenti.

Secondo esempio, dove l'errore ha un valore esatto. All'incrocio un'auto di 1500 kg va verso Est a 20 m/s e una di 1000 kg verso Nord a 30 m/s; restano incastrate. Assi: x verso Est, y verso Nord. Su x la quantità di moto vale 1500 · 20 = 30 000 kg·m/s, su y 1000 · 30 = 30 000 kg·m/s. Il modulo è la radice di (30 000² + 30 000²) = 42 426 kg·m/s, quindi v = 42 426 ÷ 2500 = 16,97 m/s a 45° verso Nord-Est. Verifica: 2500 · 16,97 · cos 45° = 30 000 su x, e altrettanto su y.

Sommando i moduli verrebbe 60 000 ÷ 2500 = 24,0 m/s, cioè il 41,4% in più, che è esattamente un fattore radice di 2. Bilancio energetico: prima 300 kJ + 450 kJ = 750 kJ, dopo ½ · 2500 · 16,97² = 360 kJ; dissipato il 52%.

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Dodici esercizi svolti passo passo

Stesso schema per tutti: testo, la mossa che sblocca, i conti, il Risultato in grassetto, la verifica della conservazione segni compresi, e l'errore tipico con il numero sbagliato che ne esce. Ovunque g = 9,8 m/s², e in ogni problema unidimensionale trovi il verso positivo dichiarato prima di scrivere qualsiasi equazione: è la regola della sezione 3, e qui la rispettiamo riga per riga.

Ogni esercizio ti regala due controlli gratuiti, ma vanno usati con la loro condizione scritta accanto, altrimenti bocciano esercizi corretti.

• p deve tornare identica, se il sistema è isolato. Vale dall'esercizio 3 all'esercizio 11 (nell'11 limitatamente all'urto). Non vale nell'esercizio 2, dove i freni sono una forza esterna, né nell'esercizio 12(a), dove il carrello rimbalza su un muro e la sua quantità di moto cambia di 10 kg·m/s: lì la conservazione non è violata, è semplicemente applicata al sistema sbagliato.
• K non può crescere in un urto. Ma gli esercizi 9 e 10 non sono urti: sono un rinculo e un'esplosione, e lì K cresce, perché l'energia arriva da una sorgente interna. Riletti col controllo in versione assoluta risulterebbero sbagliati, e invece sono giusti. Il riquadro completo è nella sezione 6.

Esercizio 1 — Stessa p, energie diversissime

Calcola la quantità di moto di un'auto di 1200 kg a 54 km/h, di un autoarticolato di 15 000 kg a 4,32 km/h e di un proiettile di 10 g a 600 m/s.

La mossa. Prima converti: 54 ÷ 3,6 = 15 m/s, 4,32 ÷ 3,6 = 1,2 m/s, 10 g = 0,010 kg. Il 90% degli errori qui sta nelle unità, non nella formula.

p_auto = 1200 · 15 = 1,8 · 10⁴ kg·m/s; p_TIR = 15 000 · 1,2 = 1,8 · 10⁴ kg·m/s; p_proiettile = 0,010 · 600 = 6,0 kg·m/s.

Le energie invece: K_auto = ½ · 1200 · 225 = 1,35 · 10⁵ J, K_TIR = ½ · 15 000 · 1,44 = 1,08 · 10⁴ J. Stessa quantità di moto, energia cinetica nel rapporto 12,5.

Errore tipico. Scrivere 1200 · 54 lasciando i km/h: sbagliato di 3,6. E confondere p con K, che è il vero contenuto di questo esercizio.

Esercizio 2 — Teorema dell'impulso: frenata

Un'auto di 1200 kg a 72 km/h frena con una forza costante di 6000 N. Tempo di frenata e spazio percorso.

La mossa. Non serve la cinematica: F · Δt = Δp. Verso positivo quello del moto, v_i = 20 m/s, v_f = 0, quindi Δp = 0 − 1200 · 20 = −2,4 · 10⁴ kg·m/s e (−6000) · Δt = −24 000 → Δt = 4,0 s.

Spazio: a = −6000 ÷ 1200 = −5,0 m/s², d = 20² ÷ (2 · 5,0) = 40 m.

Doppia controprova. Col teorema dell'energia cinetica: d = (½ · 1200 · 400) ÷ 6000 = 40 m. Con la velocità media: 10 m/s · 4,0 s = 40 m. Coincidono.

Qui la quantità di moto non si conserva, e non deve: i freni sono una forza esterna, ed è tutto il senso dell'esercizio.

Errore tipico. Scrivere Δp = p_i − p_f e ottenere un impulso positivo, cioè una forza che accelera l'auto in frenata. Δp è sempre finale meno iniziale.

Esercizio 3 — Urto perfettamente anelastico frontale

Un'auto di 1500 kg a 43,2 km/h verso destra urta frontalmente una di 1000 kg a 28,8 km/h verso sinistra. Restano incastrate.

La mossa. Verso positivo a destra: v₁ = +12 m/s, v₂ = −8,0 m/s. Il segno non è un dettaglio di forma, è metà del problema.

p prima = 1500 · (+12) + 1000 · (−8,0) = +18 000 − 8000 = +1,0 · 10⁴ kg·m/s V = 10 000 ÷ 2500 = +4,0 m/s

Verifica. Prima +10 000 kg·m/s, dopo 2500 · (+4,0) = +10 000 kg·m/s. Il segno + dice che il blocco prosegue verso destra, come è ragionevole.

Errore tipico. Sommare i moduli: 26 000 ÷ 2500 = 10,4 m/s, senza verso e senza senso.

Esercizio 4 — Quanta energia si è persa nello stesso urto

La mossa. L'energia cinetica non ha segno: entra v², quindi il meno di v₂ sparisce. Ma va calcolata corpo per corpo prima, e sull'oggetto unico dopo.

K prima = ½ · 1500 · 144 + ½ · 1000 · 64 = 108 000 + 32 000 = 1,40 · 10⁵ J K dopo = ½ · 2500 · 16 = 2,0 · 10⁴ J Dissipati 1,20 · 10⁵ J, cioè l'85,7%.

Controprova con la massa ridotta (μ in chilogrammi, non il coefficiente di attrito: vedi la nota della sezione 7). μ = (1500 · 1000) ÷ 2500 = 600 kg, velocità relativa 12 − (−8,0) = 20 m/s, quindi ½ · 600 · 400 = 1,20 · 10⁵ J. Coincide.

Errore tipico. Concludere che "se p si conserva si conserva anche K". Qui p è identica prima e dopo, e l'85,7% dell'energia è finito nelle lamiere.

Esercizio 5 — Anelastico nello stesso verso

Un vagone di 2000 kg a 72 km/h raggiunge e aggancia un vagone di 3000 kg che va a 18 km/h nello stesso verso.

La mossa. Verso positivo quello del moto dei due vagoni, quindi v₁ = +20 m/s e v₂ = +5,0 m/s: entrambe positive, e i contributi si sommano. Il risultato deve cadere fra 5,0 e 20 m/s, controllo immediato.

p prima = 2000 · (+20) + 3000 · (+5,0) = 40 000 + 15 000 = +5,5 · 10⁴ kg·m/s → V = 55 000 ÷ 5000 = +11 m/s

Verifica. 5000 · 11 = 55 000 kg·m/s. E 5,0 < 11 < 20.

Energia: 437 500 J prima, ½ · 5000 · 121 = 302 500 J dopo, persi 1,35 · 10⁵ J (30,9%). Controprova: massa ridotta 1200 kg, velocità relativa 15 m/s, ½ · 1200 · 225 = 1,35 · 10⁵ J.

Errore tipico. Mettere a memoria il meno dell'urto frontale e ottenere 5,0 m/s. Il segno lo decide il disegno, non la formula.

Esercizio 6 — Elastico fra masse uguali

Una biglia da 0,20 kg a 3,0 m/s urta centralmente ed elasticamente una biglia identica ferma.

La mossa. Verso positivo quello della prima biglia. Qui le equazioni sono due, perché l'urto è elastico. Con m₁ = m₂ le formule della sezione 7 danno v₁' = 0 · 3,0 = 0 e v₂' = 1 · 3,0 = +3,0 m/s: si scambiano le velocità.

Tre verifiche. p: +0,60 kg·m/s prima e dopo. K: 0,90 J prima e dopo. Velocità relativa: 3,0 m/s prima, 3,0 m/s dopo, invertita.

Nota, perché serve nella sezione 9: questo è un urto centrale, il primo corpo si ferma, e la regola dei 90° qui non c'entra niente.

Errore tipico. Rispondere "proseguono insieme a 1,5 m/s". Quella risposta conserva p (0,40 · 1,5 = 0,60) e per questo sembra giusta, ma l'energia diventa 0,45 J, la metà: è la soluzione dell'urto perfettamente anelastico.

Esercizio 7 — Elastico fra masse diverse, e il caso scambiato

Un carrello di 3,0 kg a 4,0 m/s urta elasticamente un carrello di 1,0 kg fermo. Poi si scambiano le masse.

La mossa. Verso positivo quello del carrello in movimento, in tutti e due i casi.

Caso A. v₁' = [(3,0 − 1,0) ÷ 4,0] · 4,0 = +2,0 m/s; v₂' = [(2 · 3,0) ÷ 4,0] · 4,0 = +6,0 m/s. Verifica p: 12 prima; 3,0 · 2,0 + 1,0 · 6,0 = 6,0 + 6,0 = 12 dopo. Verifica K: 24 J prima; 6,0 + 18 = 24 J dopo.

Caso B, masse scambiate. v₁' = [(1,0 − 3,0) ÷ 4,0] · 4,0 = −2,0 m/s (rimbalza), v₂' = +2,0 m/s. Verifica p: 4,0 prima; −2,0 + 6,0 = 4,0 dopo. Verifica K: 8,0 J prima; 2,0 + 6,0 = 8,0 J dopo.

Errore tipico. Invertire gli indici e scrivere (m₂ − m₁) nella prima formula: esce un carrello che rimbalza quando in realtà prosegue. Le tre verifiche lo smascherano subito.

Esercizio 8 — Il quesito ministeriale

Una sfera di massa m urta centralmente, a velocità v, una seconda sfera avente massa 3m ed inizialmente ferma. Stabilire le velocità delle due sfere dopo l'urto, nell'ipotesi che tale urto sia perfettamente elastico; poi nell'ipotesi che esso sia completamente anelastico, esprimendo in questo caso il valore dell'energia dissipata.

È il quesito 7 della simulazione ministeriale di matematica e fisica del 28 febbraio 2019 — e resta un caso isolato: gli urti non compaiono fra gli obiettivi del Quadro di riferimento della seconda prova del 2018, e non sono mai stati oggetto di una traccia d'esame vera, solo di questa simulazione.

La mossa. Verso positivo quello della sfera che arriva. Non ci sono numeri: si lavora con le lettere e alla fine si controlla lo stesso.

Elastico: v₁' = [(m − 3m) ÷ 4m] · v = −v/2; v₂' = [2m ÷ 4m] · v = +v/2. Verifica p: prima mv; dopo m(−v/2) + 3m(v/2) = −mv/2 + 3mv/2 = mv. Verifica K: prima ½mv²; dopo ½m(v²/4) + ½·3m(v²/4) = mv²/8 + 3mv²/8 = ½mv².

Il segno meno dice che la sfera leggera rimbalza all'indietro, come previsto dalla regola qualitativa della sezione 7.

Completamente anelastico: V = mv ÷ 4m = +v/4. Verifica p: 4m · v/4 = mv. K dopo = ½ · 4m · v²/16 = mv²/8, contro ½mv² = 4mv²/8: dissipati 3mv²/8, cioè il 75%, che è esattamente m₂/(m₁ + m₂) = 3m/4m.

Errore tipico. Spaventarsi perché mancano i numeri. La massa m si semplifica sempre: se resta nel risultato di una velocità, hai sbagliato.

Esercizio 9 — Rinculo

Un fucile di 4,0 kg, libero di muoversi, spara un proiettile di 20 g a 500 m/s.

La mossa. Verso positivo quello del proiettile. Prima dello sparo tutto è fermo, quindi p totale = 0, e quello zero è l'equazione, non un dato mancante.

0 = 4,0 · V + 0,020 · 500 → V = −10 ÷ 4,0 = −2,5 m/s

Verifica. 4,0 · (−2,5) + 0,020 · (+500) = −10 + 10 = 0 kg·m/s.

Energia: 2500 J al proiettile, 12,5 J al fucile, 2512,5 J che prima non c'erano. E va benissimo così: questo non è un urto, è un rinculo, e quei joule vengono dalla polvere da sparo, cioè da una sorgente interna al sistema. Il controllo «K non può crescere» qui non si applica, come spiegato nella sezione 6.

Perché il proiettile si prende il 99,5% dell'energia lo dice in una riga K = p² / (2m): i due hanno la stessa quantità di moto in modulo, quindi le loro energie stanno nel rapporto inverso delle masse, 4,0 ÷ 0,020 = 200. Il proiettile ne prende 200 parti su 201, cioè il 99,5%, e il fucile lo 0,5%. Ecco perché il rinculo è sopportabile.

Variante. Due pattinatori fermi, 60 kg e 40 kg, si spingono; il primo parte a +2,0 m/s. Allora 60 · 2,0 + 40 · v₂ = 0 → v₂ = −3,0 m/s. Verifica: +120 − 120 = 0. Anche qui K passa da zero a un valore positivo, e la sorgente sono i muscoli.

Errore tipico. Imporre la conservazione dell'energia cinetica. In un rinculo K aumenta: non è un vincolo utilizzabile.

Esercizio 10 — Esplosione in tre frammenti

Un corpo fermo di 3,0 kg esplode in tre frammenti da 1,0 kg: il primo a 4,0 m/s lungo +x, il secondo a 3,0 m/s lungo +y.

La mossa. Due assi, dichiarati: x nel verso del primo frammento, y nel verso del secondo. Due equazioni, una per asse (sezione 9), e a destra due zeri.

Su x: +4,0 + 0 + p₃ₓ = 0 → p₃ₓ = −4,0 kg·m/s. Su y: 0 + 3,0 + p₃ᵧ = 0 → p₃ᵧ = −3,0 kg·m/s. Modulo: radice di (16 + 9) = 5,0 kg·m/s → v₃ = 5,0 m/s. Angolo: arcotangente di 3,0/4,0 = 36,9°, ed entrambe le componenti sono negative, quindi terzo quadrante: 216,9°.

Verifica. Su x: +4,0 + 0 − 4,0 = 0. Su y: 0 + 3,0 − 3,0 = 0.

Energia liberata: 8,0 + 4,5 + 12,5 = 25 J, comparsi dal nulla apparente. Anche qui non è un urto: è un'esplosione, e i 25 J vengono dall'esplosivo. La quantità di moto invece resta zero su tutti e due gli assi, prima e dopo.

Errore tipico. Sommare i moduli e rispondere 7,0 kg·m/s. E fermarsi a 36,9° senza guardare i segni.

Esercizio 11 — Pendolo balistico

Un proiettile di 20,0 g si conficca in un blocco di 1,980 kg appeso a due funi; il blocco si solleva di 40 cm.

La mossa. Due fasi, due leggi diverse, mai mescolate (sezione 8). Si risolve a ritroso. Verso positivo dell'asse orizzontale: quello del proiettile.

Risalita, energia meccanica: V = radice di (2 · 9,8 · 0,40) = radice di 7,84 = 2,8 m/s. Urto, quantità di moto: 0,0200 · v = 2,000 · 2,8 → v = 100 · 2,8 = 2,8 · 10² m/s.

Verifica. Prima dell'urto 0,0200 · 280 = +5,60 kg·m/s; dopo 2,000 · 2,8 = +5,60 kg·m/s. E nella fase 2: K dopo l'urto ½ · 2,000 · 7,84 = 7,84 J, energia potenziale al culmine 2,000 · 9,8 · 0,40 = 7,84 J.

Energia: 784 J prima, 7,84 J dopo, dissipato il 99,0%. La frazione che sopravvive è m/(M+m) = 1%. Nella risalita, invece, p non si conserva: funi e peso agiscono per un tempo lungo.

Errore tipico. Usare l'energia anche nell'urto: ½ · 0,0200 · v² = 7,84 J dà v = 28 m/s, dieci volte meno.

Esercizio 12 — Quando il sistema non è isolato

(a) Un carrello di 2,0 kg va a 3,0 m/s contro un muro e rimbalza a 2,0 m/s; il contatto dura 0,050 s. (b) Due blocchi su un tavolo con coefficiente di attrito 0,30 e massa complessiva 5,0 kg si urtano in 0,010 s; l'incidente è da 2,0 kg a 4,0 m/s.

La mossa. Prima di scrivere qualsiasi formula: qual è il sistema, e chi lo spinge da fuori? In tutti e due i casi verso positivo quello del corpo che arriva.

(a) Δp = 2,0 · (−2,0) − 2,0 · (+3,0) = −10 kg·m/s: la quantità di moto del carrello non si conserva, perché il muro è una forza esterna. Questo è l'unico esercizio in cui il controllo «p deve tornare identica» fallisce, e fallisce perché deve. F media = −10 ÷ 0,050 = −2,0 · 10² N. La conservazione tornerebbe valida solo includendo la Terra nel sistema, che acquista quei 10 kg·m/s e, sui suoi 6 · 10²⁴ kg, si muove di circa 2 · 10⁻²⁴ m/s.

(b) Impulso dell'attrito durante l'urto: 0,30 · 5,0 · 9,8 · 0,010 = 0,147 N·s, contro una quantità di moto in gioco di 2,0 · 4,0 = 8,0 kg·m/s. Rapporto 1,8%: la conservazione si applica all'urto con meno del 2% di errore, ma non ai secondi successivi, in cui l'attrito ferma tutto.

Errore tipico. Applicare m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁+m₂)V a qualunque coppia di oggetti che si toccano. Le tre trappole ricorrenti: urto contro muro o pavimento, urto su un piano inclinato, intervalli di tempo lunghi.

Quadro riassuntivo

Le due righe da guardare due volte sono la 9 e la 10: sono gli unici casi in cui K aumenta, e sono gli unici due che non sono urti. Nessuna contraddizione, nessuna eccezione da mandare a memoria: solo una sorgente di energia che sta dentro il sistema invece che fuori.

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Gli errori che fanno perdere punti in verifica

Questa sezione è costruita sugli errori misurati, non su quelli immaginati, e la prima cosa da dire toglie ansia. Il test sui concetti di energia e quantità di moto di Singh e Rosengrant — poi pubblicato come Multiple-choice test of energy and momentum concepts sull'American Journal of Physics nel 2003 — ha dato, su 1170 studenti di corsi universitari di fisica, un punteggio medio dopo l’insegnamento tradizionale del 49% (deviazione standard 18%). E Brundage, Maries e Singh (Physical Review Physics Education Research, 2023) hanno mostrato che su tutte le domande in cui gli studenti dei corsi introduttivi stanno sotto il 50%, meno di due terzi degli studenti universitari avanzati risponde correttamente. Tradotto: queste difficoltà non si sciolgono da sole rileggendo il capitolo tre volte. Vanno affrontate una per una, ed è quello che facciamo qui, con lo schema delle altre guide: come lo pensano quasi tutti → perché sembra giusto → cosa succede davvero → come te ne accorgi.

Errore 1 — Usare la conservazione dell'energia attraverso l'urto

Come lo pensano quasi tutti: nel pendolo balistico si scrive ½mv² = (M+m)gh e via. Perché sembra giusto: nella guida su lavoro ed energia la conservazione risolveva tutto, e l'urto sembra troppo breve per dissipare qualcosa. Cosa succede davvero: con i dati dell'esercizio 11 esce v = 28 m/s invece di 280, dieci volte meno, perché l'urto ha bruciato il 99,0% dell'energia. Come te ne accorgi: la regola in cornice è durante l'urto solo quantità di moto, prima e dopo l'urto energia. Se hai usato la stessa legge sui due tratti, torna indietro.

Errore 2 — Trattare p come uno scalare e non fissare l'asse

Come lo pensano quasi tutti: si sommano i numeri del testo. Perché sembra giusto: p = mv sembra un prodotto fra grandezze positive, e in italiano "quantità" è un ammontare. Cosa succede davvero: 2,0 kg a +4,0 m/s contro 3,0 kg a −2,0 m/s che restano attaccati danno +0,40 m/s; sommando i moduli viene 2,8 m/s, sette volte tanto, e per giunta senza verso. Come te ne accorgi: se sul foglio non c'è una freccia con scritto "positivo di qua", non hai ancora cominciato l'esercizio.

Errore 3 — «Correggere» un risultato negativo

Come lo pensano quasi tutti: esce meno, dev'esserci un errore, si mette più. Perché sembra giusto: si crede di aver rimediato, ed è il caso più tossico perché la sensazione è quella di aver migliorato il compito. Cosa succede davvero: in un urto elastico fra 1,0 kg a +5,0 m/s e 3,0 kg fermo il risultato corretto è −2,5 m/s e +2,5 m/s, con verifica 1,0 · (−2,5) + 3,0 · (+2,5) = +5,0 kg·m/s, uguale alla p iniziale. Aggiustando il segno la somma diventa 10 kg·m/s, il doppio. Come te ne accorgi: il meno non è un errore da correggere, è l'informazione richiesta: dice che il corpo rimbalza.

Errore 4 — Confondere impulso e quantità di moto

Come lo pensano quasi tutti: sono la stessa cosa perché I = Δp. Perché sembra giusto: 1 N·s = 1 kg·m/s, quindi l'analisi dimensionale — l'unico autocontrollo che sai fare — non ti protegge. Cosa succede davvero: una palla di 0,20 kg a 5,0 m/s ha sempre p = 1,0 kg·m/s, ma se rimbalza l'impulso è 2,0 N·s e se resta attaccata è 1,0 N·s: stessa p, impulso doppio. Come te ne accorgi: p è una fotografia del corpo in un istante, l'impulso è un filmato di quello che l'ambiente gli ha fatto in un intervallo. Chiedere "quanto vale l'impulso di questa palla" è malposto come chiedere il lavoro di un sasso.

Errore 5 — «Sistema isolato» vuol dire «senza forze»

Come lo pensano quasi tutti: se c'è il peso, o l'attrito, o il muro, la conservazione non si può usare. Oppure il contrario: si usa sempre, tanto l'urto è breve. Perché sembra giusto: "isolato", in italiano, significa "senza contatti". Cosa succede davvero: serve la risultante delle forze esterne nulla, o un loro impulso trascurabile (sezione 5). Su due carrelli in rotaia peso e normale valgono quasi 20 N ciascuna e la conservazione regge allo 0,5%. La variante peggiore è applicarla a un corpo solo: il carrello dell'esercizio 12(a) che rimbalza sul muro cambia p di 10 kg·m/s, perché il muro e la Terra stanno fuori dal sistema. Come te ne accorgi: se non hai detto quale sistema hai cerchiato, non hai il diritto di scrivere l'equazione.

Errore 6 — «Nell'urto perfettamente anelastico si perde tutta K»

Come lo pensano quasi tutti: restano attaccati, quindi si fermano. Perché sembra giusto: quasi tutti gli urti anelastici che vedi hanno un bersaglio di massa enorme, e finiscono davvero fermi. Cosa succede davvero: la conservazione di p vieta di perdere tutta l'energia, tranne quando p totale è nulla E i corpi finiscono davvero fermi. Con masse uguali e bersaglio fermo si perde esattamente il 50% — quel numero vale per quel caso, e sempre col bersaglio fermo la frazione persa è m₂/(m₁+m₂). Se anche il bersaglio si muove quella formula cade: si calcola K prima, K dopo, e si fa la differenza. Il proiettile da 20,0 g a 280 m/s nel blocco da 1,980 kg dell'esercizio 11 perde il 99,00% — ma restano 7,84 J, e sono proprio quelli che fanno salire il pendolo balistico. Come te ne accorgi: K finale zero è possibile solo se p totale era zero. È la stessa asimmetria dell'ultima riga della tabella della sezione 2: p può essere nulla con K diversa da zero, mai il contrario.

Errore 7 — «Elastico» detto del materiale

Come lo pensano quasi tutti: elastico vuol dire gommoso, che rimbalza. Perché sembra giusto: la corrispondenza funziona a metà, e le conferme parziali irrobustiscono la convinzione. Cosa succede davvero: una palla di gomma lasciata cadere da 1,00 m che risale a 0,64 m ha perso il 36% dell'energia; due sfere d'acciaio, durissime, ne conservano circa il 95%; due carrelli con magneti affacciati che non si toccano nemmeno fanno un urto elastico. Come te ne accorgi: il criterio è K, non il rimbalzo e non il materiale.

Errore 8 — Unità di misura

Come lo pensano quasi tutti: i numeri si infilano nella formula così come stanno nel testo. Perché sembra giusto: la formula è giusta, e il risultato esce pulito. Cosa succede davvero: km/h non convertiti sbagliano di 3,6; grammi al posto dei chilogrammi di 1000; millisecondi lasciati come secondi nel calcolo della forza media di 1000 — con Δp = 2,0 kg·m/s e Δt = 5 ms la forza è 400 N, non 0,40 N, che è il peso di quaranta grammi. Come te ne accorgi: nessuno controlla la plausibilità, e un urto frenato dal peso di quaranta grammi passa liscio. Prima di consegnare, chiediti se il numero ha senso nel mondo.

Errore 9 — In due dimensioni, sommare i moduli

Come lo pensano quasi tutti: due quantità di moto si sommano come due numeri. Perché sembra giusto: in una dimensione funzionava. Cosa succede davvero: all'incrocio della sezione 9 escono 24,0 m/s invece di 16,97, cioè esattamente un fattore radice di 2. Come te ne accorgi: se hai scritto una sola equazione per un problema con due direzioni, ne manca una.

Errore 10 — Non verificare mai, o verificare senza le condizioni

Come lo pensano quasi tutti: il risultato c'è, si passa oltre. Oppure, la variante colta: si applicano i due controlli in versione assoluta. Perché sembra giusto: verificare sembra tempo perso in un compito cronometrato, e una regola senza eccezioni è più facile da ricordare. Cosa succede davvero: i due controlli gratuiti da trenta secondi funzionano solo con la loro condizione scritta accanto. Ricalcola p e deve tornare identica, segni compresi, se il sistema è isolato — non se c'è un muro, un freno o un pavimento a spingere da fuori. Ricalcola K e in un urto non può crescere — ma in un'esplosione o in un rinculo cresce eccome, e non è un errore: l'energia arriva da una sorgente interna, e gli esercizi 9 e 10 lo mostrano coi numeri. Come te ne accorgi: chiediti sempre prima "è un urto o è un'esplosione?" e "chi spinge da fuori?". Poi verifica. Un K finale maggiore di quello iniziale in un urto resta la firma inconfondibile di un errore di segno.

Disciplina lessicale, che vale mezzo voto all'orale

Non si dice che la quantità di moto si perde nell'urto: in un sistema isolato si conserva in tutti gli urti; quello che si perde è energia cinetica. Non si dice che l'urto è elastico perché rimbalza: il criterio è la conservazione di K, e la gomma che rimbalza dissipa un terzo dell'energia. Non si dice impulso per intendere la quantità di moto: hanno la stessa unità e sono grandezze diverse, una di stato e una di processo. Non si dice che in un'esplosione si crea energia: si converte, e la sorgente è dentro il sistema. E non si dice sistema isolato senza aver detto quale sistema hai cerchiato sul disegno: senza quella frase, la conservazione non è un principio, è una formula sparata a caso.

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Domande frequenti

Ma alla fine, in un urto si conserva la quantità di moto o l'energia?
In un sistema isolato la quantità di moto si conserva in tutti gli urti, elastici e no; l'energia cinetica solo in quelli elastici. Carrello di 2,0 kg a 3,0 m/s contro uno di 1,0 kg fermo: p = 6,0 kg·m/s e K = 9,0 J. Se l'urto è elastico i due proseguono a 1,0 m/s e 4,0 m/s, e p resta 6,0 kg·m/s mentre K resta 9,0 J. Se invece l'urto è perfettamente anelastico restano attaccati e vanno insieme a 2,0 m/s: p è ancora 6,0 kg·m/s, ma K è scesa a 6,0 J, un terzo in meno. Stessi dati iniziali, due energie diverse: a distinguere gli urti è K, mai p.

Perché una si conserva e l'altra no, se sono fatte tutte e due con massa e velocità?
Perché massa e velocità ci entrano in modo diverso. p = m·v è un vettore e cresce come v, quindi due velocità opposte si cancellano; K = ½mv² è uno scalare e cresce come v², quindi il segno sparisce e i contributi si sommano sempre. Due palline da 1,0 kg che si vengono incontro a 3,0 m/s hanno p totale = 0 e K totale = 9,0 J: è questo scarto a lasciare spazio agli urti che portano via energia cinetica senza toccare la quantità di moto. Occhio all'asimmetria: p può essere nulla con K diversa da zero, mai il contrario, perché se K = 0 tutte le velocità sono nulle e quindi anche p è nulla.

Due veicoli hanno la stessa quantità di moto ma energia cinetica diversa: in un urto quale delle due comanda?
Comandano tutte e due, su cose diverse. Un'auto di 1200 kg a 15 m/s e un autoarticolato di 15.000 kg a 1,2 m/s hanno la stessa quantità di moto, 1,8 · 10⁴ kg·m/s, ma l'auto ha 1,35 · 10⁵ J di energia cinetica contro 1,08 · 10⁴ J: dodici volte e mezza tanto. La quantità di moto totale decide come si muove il sistema dopo l'urto, l'energia cinetica quanto si distrugge. Falli scontrare frontalmente: le due quantità di moto sono uguali e opposte, la somma è zero, e il blocco unico da 16.200 kg resta fermo sul posto. Eppure si dissipano tutti i 1,458 · 10⁵ J di energia cinetica, il 100%.

Impulso e quantità di moto sono la stessa cosa? Hanno la stessa unità di misura.
L'unità è la stessa perché 1 N·s = 1 kg·m/s, e questo ti toglie l'unico autocontrollo automatico che sai fare: qui l'analisi dimensionale non protegge nessuno. Le grandezze però sono diverse. La quantità di moto è ciò che il corpo ha in un istante, una fotografia; l'impulso è ciò che l'ambiente gli fa in un intervallo di tempo, un filmato, e il teorema dice I = Δp. Una pallina di 0,20 kg che arriva su un muro a 5,0 m/s ha p = 1,0 kg·m/s: se resta attaccata riceve un impulso di 1,0 N·s, se rimbalza a 5,0 m/s ne riceve 2,0 N·s. Sulla lettera: i testi italiani scrivono I, quelli inglesi J.

Come faccio a capire dal testo se un urto è elastico o anelastico?
Dalle parole del problema, mai dal materiale. In fisica «elastico» non vuol dire di gomma: vuol dire che l'energia cinetica totale si conserva. Una palla di gomma lasciata cadere da 1,00 m che risale a 0,64 m ne restituisce il 64%, mentre due sfere d'acciaio uguali, con il bersaglio fermo, conservano circa il 95% dell'energia cinetica totale. Cerca le formule del testo: «restano attaccati», «proseguono insieme», «si conficca» vuol dire perfettamente anelastico, e hai una sola incognita; «urto elastico» ti dà la seconda equazione, quella su K. Se non dice né l'uno né l'altro serve il coefficiente di restituzione, con v₂' − v₁' = e · (v₁ − v₂): senza quel dato il problema è indeterminato.

Se sul carrello agiscono il peso e l'attrito, come fa il sistema a essere isolato?
In senso stretto non lo è. «Isolato» non significa senza forze: significa con risultante delle forze esterne nulla, o con un impulso esterno trascurabile nel tempo brevissimo dell'urto. Su una rotaia orizzontale, per un carrello di 2,0 kg, peso e reazione del piano valgono 19,6 N ciascuna: due forze grandi che si elidono. L'attrito invece non si elide, e allora si stima. Con coefficiente 0,30 su 5,0 kg e un urto di 0,010 s il suo impulso vale 0,30 · 5,0 · 9,8 · 0,010 = 0,147 N·s, contro una quantità di moto in gioco di 8,0 kg·m/s: è l'1,8%. «Isolato» è un giudizio su un rapporto, non un interruttore acceso o spento.

Se i due corpi restano attaccati l'energia cinetica se ne va tutta?
Quasi mai, ed è la conservazione della quantità di moto a vietarlo: se dopo l'urto il sistema si muove, un po' di energia cinetica ce l'ha per forza. Si perde tutta solo quando la quantità di moto totale è zero. Con masse uguali e bersaglio fermo si perde esattamente il 50%, qualunque sia la velocità; e sempre col bersaglio fermo la frazione persa vale m₂ ÷ (m₁ + m₂). Se anche il bersaglio si muove quella formula non vale piu’: si calcola K prima, K dopo, e si fa la differenza. Un proiettile di 20,0 g a 280 m/s che si conficca in un blocco di 1,980 kg perde il 99,00% dei 784 J iniziali, eppure i 7,84 J rimasti sono esattamente quelli che fanno salire il pendolo balistico. «Perfettamente anelastico» vuol dire perdita massima compatibile con p, non perdita totale.

Nel pendolo balistico posso usare la conservazione dell'energia?
Sì, ma solo dopo l'urto. Il problema ha due fasi e due leggi diverse. Nell'urto, che dura millesimi di secondo, si conserva solo la quantità di moto, perché l'energia cinetica finisce nel legno: se ne dissipa il 99,0%. Nella risalita, dove non ci sono più forze impulsive, si conserva l'energia meccanica, mentre p non si conserva affatto, perché funi e peso agiscono per un tempo lungo. Con un proiettile di 20,0 g in un blocco di 1,980 kg che sale di 40 cm: la velocità comune subito dopo l'urto è √(2 · 9,8 · 0,40) = 2,8 m/s, e da lì v = (2,000 ÷ 0,0200) · 2,8 = 280 m/s. Usando l'energia anche nell'urto otterresti 28 m/s, dieci volte meno.

Mi è venuta una velocità negativa: devo togliere il meno?
No, quel meno è la risposta: dice che il corpo torna indietro. In un urto in una dimensione le velocità prima e dopo sono componenti con segno rispetto a un asse che scegli tu prima di scrivere qualunque equazione e non cambi più, non moduli. Un corpo di 1,0 kg a +5,0 m/s che urta elasticamente 3,0 kg fermi rimbalza a −2,5 m/s mentre l'altro parte a +2,5 m/s: 1,0 · (−2,5) + 3,0 · (+2,5) = +5,0 kg·m/s, esattamente la quantità di moto iniziale. Se «correggi» in +2,5 m/s ottieni 10 kg·m/s, il doppio, e la verifica ti smaschera in una riga. Negli urti obliqui il segno diventa due equazioni, una per x e una per y.

Mi è venuta un'energia cinetica finale maggiore di quella iniziale: ho sbagliato?
Dipende da che cosa hai risolto. Negli urti l'energia cinetica non cresce mai: resta uguale se l'urto è elastico, cala in tutti gli altri, e un K finale più grande è la firma di un errore di segno. Nelle esplosioni e nei rinculi invece cresce, ed è giusto così: l'energia arriva da una sorgente interna, la polvere da sparo, una molla, i muscoli. Un fucile di 4,0 kg che spara 20 g a 500 m/s parte da 0 J e arriva a 2512,5 J; un corpo fermo di 3,0 kg che esplode in tre frammenti libera 25 J. La quantità di moto si conserva in tutti e due i casi, ed è proprio questo che li mette nello stesso capitolo.