Lavoro, energia e potenza: formule ed esercizi

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1) Non è un capitolo nuovo: è il seguito di Newton e del moto
2) Il lavoro: si parte da quello che NON è lavoro
3) Da dove salta fuori l'energia cinetica: la derivazione che lega le tre guide
4) Raddoppi la velocità, quadruplichi l'energia: il conto dello spazio di frenata
5) Energia potenziale: gravitazionale ed elastica
6) Conservazione dell'energia meccanica: le condizioni vengono prima della formula
7) Potenza: watt, cavallo vapore e il kWh della bolletta
8) Tutte le formule in una tabella, e "quale metodo uso?"
9) Dieci esercizi svolti passo passo
10) Gli errori che fanno perdere punti in verifica
11) Domande frequenti
12) Conclusioni

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Non è un capitolo nuovo: è il seguito di Newton e del moto

Buona notizia, e se sei qui la sera prima della verifica ti serve subito: lavoro ed energia non sono una fisica nuova. Sono le due cose che hai già studiato, messe insieme.

Il lavoro si calcola con una forza, ed è la forza della guida sulle leggi di Newton spiegate con esempi di tutti i giorni. L'energia cinetica si calcola con una velocità, ed è la velocità della guida sul moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato. Qui non rispieghiamo né la forza né la velocità: se ti sono scivolate via, apri quelle due guide, ripassa dieci minuti e torna.

Non è una scelta editoriale nostra: le Indicazioni Nazionali per il liceo scientifico (MIUR, 2010) dicono che l'analisi del moto è "un punto di partenza abbastanza intuitivo" per introdurre lavoro, potenza, energia cinetica ed energia potenziale. È il ministero stesso a dire che questo capitolo si costruisce sopra cinematica e dinamica.

Come leggere questa guida

Gli stessi argomenti tornano due volte, in seconda e in terza, a due profondità diverse, quindi ogni blocco è marcato:

• [Biennio] — formula, significato, esercizio diretto con una o due incognite.
• [Terzo anno] — dimostrazione, forze conservative, attrito quantitativo, esercizi combinati.

Se sei in seconda puoi saltare i blocchi [Terzo anno]. Se sei in terza leggi tutto: i blocchi [Biennio] sono il ripasso che ti serve comunque.

Una nota sul simbolo, leggila adesso. Qui il lavoro si scrive L; il tuo libro potrebbe scriverlo W (dall'inglese work), come fa l'Amaldi di Zanichelli, il testo più diffuso nelle superiori italiane. È la stessa identica grandezza. Usiamo L perché W è anche il simbolo del watt, e vedere nella stessa pagina "W = 300 J" e "P = 300 W" manda fuori strada mezza classe.

Un'ultima cosa: qui trovi teoria ed esercizi nella stessa pagina. È quello che manca in giro, dove i siti che spiegano bene non risolvono un problema e quelli pieni di problemi non spiegano la teoria.

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Il lavoro: si parte da quello che NON è lavoro

Prima riga, e va detta brutalmente: in fisica "lavoro" non vuol dire fatica. In italiano "lavoro" significa impiego e "lavorare" significa faticare: quel significato ti è già in testa, ed è il motivo per cui la definizione fisica non entra. Non deve riempire un vuoto, deve scalzarne un altro.

Prendiamo lo stesso oggetto tre volte, una valigia da 15 kg.

Caso 1 — la sollevo da terra e la metto sul letto, 60 cm più in alto. Forza verso l'alto, spostamento verso l'alto: il lavoro c'è, ed è positivo. La forza della mano trasferisce energia alla valigia.

Caso 2 — la tengo ferma in mano per dieci minuti. Braccio che trema, spalla che brucia. Il lavoro della forza della mano sulla valigia è esattamente zero, perché lo spostamento è zero.

Caso 3 — cammino in piano tenendola in mano. La forza che la regge è verticale, lo spostamento è orizzontale. Anche qui il lavoro della forza della mano sulla valigia è zero, ma per un motivo diverso: non perché manchi lo spostamento, ma perché forza e spostamento sono perpendicolari.

I casi 2 e 3 danno zero per due ragioni diverse. Se le fondi in un unico "valigia uguale zero" hai memorizzato un fatto, non un meccanismo.

E allora perché sudo?

La risposta è vera, non un trucco per zittirti. Tenendo ferma la valigia i muscoli fanno una contrazione isometrica: le fibre fanno micro-contrazioni continue e i ponti fra actina e miosina si staccano e si riattaccano consumando ATP. Il lavoro sulla valigia è zero, il consumo energetico del tuo corpo no: le due frasi non parlano dello stesso sistema.

La fisica non misura la fatica: misura il trasferimento di energia da una forza a un corpo. Ecco perché qui non troverai mai scritto "il lavoro è zero" da solo, ma sempre di quale forza e su quale corpo. È la regola che previene più errori in questo capitolo.

La formula, con il coseno dal primo giorno

[Biennio e Terzo anno]

dove F è il modulo della forza (in newton), s è lo spostamento (in metri) e α è l'angolo fra la direzione della forza e la direzione dello spostamento.

Quel grassetto è la cosa più importante del paragrafo. Non è l'angolo con l'orizzontale. Su un piano inclinato i due angoli quasi mai coincidono, e chi prende quello sbagliato sbaglia tutto il resto.

L'unità del lavoro è il joule (J): 1 J = 1 N · m = 1 kg · m²/s². Per darti la scala, 1 J è circa il lavoro per sollevare una mela da 100 g di un metro, visto che 0,100 kg · 9,81 m/s² · 1 m = 0,981 J.

Chi scrive "L = F · s" e basta semplifica troppo: quella vale solo se forza e spostamento hanno stessa direzione e stesso verso, e già in seconda compaiono funi inclinate a 30°.

La tabella dei segni, che è il vero contenuto da verifica

Attenzione, e qui si perdono punti: questa tabella parla di UNA forza alla volta. Che il corpo acceleri o rallenti davvero lo decide il segno del lavoro totale, non quello di una singola forza (sezione 3). Una cassa trainata a velocità costante lo mostra bene: la fune compie lavoro positivo e la cassa non accelera affatto, perché l'attrito ne compie uno negativo altrettanto grande. E la forza normale su un corpo che striscia compie lavoro nullo mentre il corpo rallenta eccome: a rallentarlo è l'attrito, non lei. Nella sezione 3 questa clausola si riduce a una parola sola, totale; se te la dimentichi, il risultato ha un nome ed è l'Errore 4 della sezione 10.

Nota bene: il lavoro è uno scalare e il segno non indica una direzione, indica il verso del travaso di energia: positivo vuol dire che quella forza dà energia al corpo, negativo che gliela toglie.

Da qui due errori comuni. Primo: "è negativo se il corpo va verso sinistra o verso il basso" — falso, dipende solo dall'angolo fra forza e spostamento. Secondo: "lavoro negativo vuol dire nessun lavoro" — falso, nullo significa energia che non si sposta, negativo energia che esce dal corpo.

Lavoro nullo, tre casi che ti serviranno più avanti

• La forza normale su un corpo che scivola su una superficie ferma è perpendicolare allo spostamento, quindi il suo lavoro è nullo. Servirà per il piano inclinato. Attenzione alla condizione "ferma": se a muoversi è il vincolo, il conto cambia. Nel pavimento di un ascensore che sale la normale è diretta come lo spostamento, il suo lavoro è positivo, ed è esattamente così che l'ascensore trasferisce energia a chi ci sta sopra. In tutti gli esercizi di questa guida la superficie è ferma, quindi puoi usare il lavoro nullo senza pensarci.
• La forza centripeta nel moto circolare uniforme è perpendicolare alla velocità in ogni istante: lavoro nullo, ed è per questo che la velocità cambia direzione ma non modulo.
• La tensione del filo di un pendolo è perpendicolare allo spostamento: lavoro nullo.

E l'attrito? Non fa sempre lavoro negativo

Frase che senti spesso ed è falsa: "l'attrito fa sempre lavoro negativo". L'attrito dinamico su un corpo che striscia sì, si oppone al moto e toglie energia cinetica. Ma l'attrito statico può fare lavoro positivo: pensa a una cassa appoggiata sul pianale di un camion che accelera. È l'attrito statico del pianale a spingere la cassa in avanti, e siccome cassa e pianale non slittano l'uno sull'altro, il punto di contatto avanza insieme alla cassa: quella forza le trasferisce davvero energia, sottraendola al camion, e il suo lavoro è positivo.

Attenzione all'esempio del camminare, che sembra lo stesso caso e non lo è. Anche lì è l'attrito statico fra scarpa e pavimento che ti spinge in avanti, per il terzo principio della guida su Newton — ma il suo lavoro è nullo: il piede appoggiato non scorre, quindi il punto di applicazione della forza non si sposta. Il pavimento ti dà la forza che ti accelera, non l'energia: quella arriva dai tuoi muscoli, esattamente come nella contrazione isometrica della valigia tenuta ferma all'inizio della sezione. Stessa storia per un'auto che accelera senza slittare: le gomme sono spinte in avanti dall'attrito statico, ma l'energia esce dal motore, non dall'asfalto. Se ti chiedono un attrito statico che fa lavoro positivo, porta la cassa sul camion.

È di nuovo la regola di questa sezione, e vale la pena rileggerla: prima di dire quanto vale un lavoro, chiediti sempre quale forza, su quale corpo, e quale punto si sposta davvero.

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Da dove salta fuori l'energia cinetica: la derivazione che lega le tre guide

È il punto in cui i tre capitoli di fisica che hai studiato diventano una cosa sola.

Il conto, in quattro righe

[Biennio per leggerlo, Terzo anno per ripeterlo all'orale]

Prendi un corpo di massa m, spinto lungo un tratto rettilineo s da una forza costante F diretta come lo spostamento, e supponiamo che F sia la risultante, cioè che nessun'altra forza abbia una componente lungo lo spostamento: il caso tipico è una spinta orizzontale su un piano liscio, dove peso e normale sono verticali, si elidono fra loro e fanno lavoro nullo. La condizione non è un dettaglio: la riga 1 lega l'accelerazione alla risultante, non a una forza qualsiasi. Se ci fosse anche l'attrito, l'accelerazione non sarebbe F/m e il conto che segue non varrebbe.

Riga 1 — dalla guida sulle leggi di Newton, la seconda legge:

Riga 2 — dalla guida sul moto uniformemente accelerato, la legge "senza tempo":

Riga 3 — la definizione di lavoro (forza concorde allo spostamento, quindi cos 0° = 1; e poiché F è la risultante, il suo lavoro è il lavoro totale):

Riga 4 — sostituisci la riga 2 dentro la riga 3:

Quella combinazione, ½ m v², è saltata fuori da sola. La chiamiamo energia cinetica e la indichiamo con K:

Ed è il punto che cambia tutto: il "½" e il "v al quadrato" non sono calati dall'alto. Sono la conseguenza del 2 che compare in v² = v₀² + 2as, cioè nelle leggi del moto uniformemente accelerato. Se ti sei sempre chiesto perché ci sia quel mezzo, la risposta è: perché sta lì, in quel 2. E se cosa succede quando raddoppi una base elevata al quadrato non ti è chiarissimo, c'è la guida sulle potenze, dalle basi agli esercizi avanzati.

Il teorema dell'energia cinetica

La riga 4 si legge così, ed è l'enunciato da mandare a memoria in una frase sola:

In formula:

Piccola nota sui pedici, così non ti fermi: v_i e v₀ sono lo stesso simbolo, la velocità iniziale. Nella derivazione qui sopra l'abbiamo scritta v₀, perché è la forma che trovi nelle leggi del moto; negli esercizi la scriviamo v_i, per farle coppia con v_f.

Ci sono tre parole in quell'enunciato, e su ognuna si perdono punti:

1) totale. È il lavoro della risultante di tutte le forze, non di una sola. Errore classicissimo: calcolare il lavoro della forza che tira e dimenticare l'attrito. Scrivi sempre L_tot con il pedice.
2) variazione. È una differenza, finale meno iniziale. Se il corpo parte già in moto, v_i non è zero.
3) cinetica. Solo cinetica, non l'energia meccanica totale.

E il corollario che rende il teorema utile: se il lavoro totale è positivo il corpo accelera, se è negativo rallenta, se è nullo la velocità in modulo non cambia. Il segno del lavoro coincide con quello di (v² − v₀²): lo vedi dalla riga 4.

Se il tuo prof lo chiama in un altro modo

Lo stesso teorema ha due nomi nelle scuole italiane. Teorema dell'energia cinetica è il nome dominante nei libri attuali (Amaldi, Walker, Romeni) ed è quello usato qui. Teorema delle forze vive è il nome storico: "forza viva" (vis viva) era il termine con cui Leibniz indicava il prodotto della massa per il quadrato della velocità, e moltissimi insegnanti lo usano ancora. Se ti senti chiedere "enuncia il teorema delle forze vive", è lo stesso teorema: non c'è niente in più da studiare. Trovi anche teorema lavoro-energia, calco dall'inglese.

Un vincolo di onestà, utile all'orale

La derivazione usa v² = v₀² + 2as, che vale solo con accelerazione costante; L = F·s, che vale solo per forza costante e moto rettilineo; e l'ipotesi che F sia la risultante, senza la quale F = m·a non si può scrivere. È un caso particolare, un ponte didattico. Il teorema invece vale sempre: forze variabili, traiettorie curve, e più forze insieme — purché a sinistra ci sia il lavoro totale.

Perché imparare un secondo metodo per fare le stesse cose?

Molti di questi problemi li risolveresti anche con la dinamica: il punto è che con l'energia li risolvi in due righe invece che in dieci, per due motivi. Primo, l'energia non ha direzione: è uno scalare, quindi niente scomposizione di vettori e niente assi da scegliere. Secondo, funziona anche su traiettorie curve come montagne russe, pendoli e scivoli, dove le leggi del moto uniformemente accelerato non si applicano perché l'accelerazione non è costante.

C'è però una cosa che l'energia non sa fare, e ci torniamo nella sezione 8: non ti dice mai quanto tempo ci vuole. Il tempo è sparito fra la riga 2 e la riga 4.

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Raddoppi la velocità, quadruplichi l'energia: il conto dello spazio di frenata

[Biennio e Terzo anno]

C'è una convinzione diffusissima e sbagliata: "se raddoppio la velocità raddoppio l'energia cinetica". Il modo migliore per convincersi che è falsa è fare il conto su un'auto di massa 1.000 kg. Prima conversione, che va fatta sempre: per passare da km/h a m/s si divide per 3,6.

A 50 km/h: v = 50 ÷ 3,6 = 13,89 m/s (arrotondato).

K = ½ · 1.000 kg · (13,89 m/s)² = 500 · 192,93 = 96.465 J, circa 96 kJ.

A 100 km/h: v = 100 ÷ 3,6 = 27,78 m/s (arrotondato).

K = ½ · 1.000 kg · (27,78 m/s)² = 500 · 771,73 = 385.865 J, circa 386 kJ.

Il rapporto fra le due energie è 4, non 2: la velocità è al quadrato, quindi moltiplicarla per 2 moltiplica l'energia per 2² = 4, e moltiplicarla per 3 la moltiplica per 3² = 9. (Col valore esatto 13,888... m/s verrebbero 96.451 J e 385.802 J: la differenza è l'arrotondamento.)

E qui il teorema si legge al contrario

Quando freni fino a fermarti, l'energia cinetica deve essere portata a zero, e a portarcela è il lavoro (negativo) della forza frenante F lungo la distanza di frenata d:

Quindi lo spazio di frenata è proporzionale al quadrato della velocità: non è un'affermazione, è il teorema applicato al contrario.

Se la forza frenante è l'attrito fra gomme e asfalto, allora F = μ · N, dove N è la forza normale (è l'attrito della guida sulle leggi di Newton). Su una strada orizzontale l'asfalto regge tutto il peso dell'auto, quindi N = m · g e la forza frenante diventa F = μ · m · g. (In discesa non sarebbe più vero, ma qui la strada è piana.)

Adesso sostituisci in d = m v² / (2F): sopra c'è una m, e un'altra m è nascosta sotto dentro F. Se ne vanno.

Della massa non è rimasta traccia: a parità di gomme e di asfalto, lo spazio di frenata non dipende da quanto pesa il veicolo, dipende dal quadrato della velocità. (Semplificazione dichiarata: su strada un TIR frena comunque più lungo di una Panda, perché cambiano carico sulle ruote, sospensioni e impianto frenante, cioè cambia il μ effettivo. Il punto fisico resta: se μ è lo stesso, la massa non entra nel conto.)

Con g = 9,81 m/s², μ = 0,8 su asfalto asciutto e μ = 0,4 su asfalto bagnato:

d(50 km/h, asciutto) = 192,9 m²/s² ÷ (2 · 0,8 · 9,81) = 192,9 m²/s² ÷ 15,696 m/s² = 12,3 m

d(100 km/h, asciutto) = 771,6 m²/s² ÷ 15,696 m/s² = 49,2 m

Ecco il quadro completo, con il tempo di reazione preso convenzionalmente pari a 1 secondo (in quel secondo vai ancora alla velocità di prima, quindi lo spazio è v · 1 s):


Nella teoria per la patente B ti insegnano la regola del quadrato delle decine: lo spazio di arresto in metri è circa il quadrato delle decine di km/h, cioè 25 m a 50 km/h e 100 m a 100 km/h. Confronta con la tabella: a 50 km/h la regola dà 25 m contro i 26,2 m su asciutto, praticamente identici; a 100 km/h dà 100 m contro i 77,0 m su asciutto, e lì un margine ce l'ha. Ma guarda la riga del bagnato: servono 38,5 m a 50 km/h e 126,1 m a 100 km/h, cioè la regola sta sotto a entrambe le velocità, e a 100 km/h di 26 m buoni. È una regola pratica, cautelativa solo con buona aderenza, non una legge fisica: sul bagnato non ti mette al riparo.

Attenzione a un errore che gira su alcuni siti di quiz per la patente: che a velocità quadrupla lo spazio diventi "12 volte maggiore" è falso, perché 4² = 16 volte.

In questo esempio ci sono tutte e tre le guide: la decelerazione viene dalle leggi del moto rettilineo, l'attrito F = μ · N dalle leggi di Newton, l'energia da smaltire da questa pagina.

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Energia potenziale: gravitazionale ed elastica

L'energia cinetica è l'energia che un corpo ha perché si muove; l'energia potenziale è quella che ha per la posizione in cui si trova, cioè l'energia che una forza gli restituirà se lo lasci andare. Un masso fermo in cima a un pendio ha energia cinetica zero, ma non è vero che "non ha energia".

Un paletto: qui parliamo solo di energia potenziale meccanica. Se online trovi "energia potenziale elettrica" e il potenziale V, hai sbagliato capitolo: quella arriva in quarta con l'elettrostatica.

Energia potenziale gravitazionale

[Biennio e Terzo anno]

con m in chilogrammi, g = 9,81 m/s² (spesso arrotondato a 9,8) e h in metri.

Leggila come (m · g) · h, cioè peso per altezza. Il prodotto m · g è la forza peso della guida su Newton, e vederlo così ti evita l'errore più frequente: la g è già dentro, quindi m deve essere la massa in kg, non il peso in newton. Se un problema dà "un corpo di peso 500 N" e tu scrivi 500 · 9,81 · h, hai contato la gravità due volte. L'errore nasce dalla lingua: diciamo tutti "peso 60 chili", ma 60 kg è la massa, il peso è 60 · 9,81 = 588,6 N.

Il livello zero lo scegli tu. In m g h l'altezza h si misura da un riferimento che decidi tu: non esiste lo zero "giusto". Quello che conta non è U ma ΔU, la differenza fra due quote, che non dipende da dove hai messo lo zero. Regola pratica: mettilo nel punto più basso del problema e non pensarci più. Se il corpo scende sotto quel livello, U diventa negativo, ed è normale.

Quanto vale un joule. Un gradino di scala ha un'alzata tipica di 17 cm. Per una persona di 60 kg:

L = m · g · h = 60 · 9,81 · 0,17 = 588,6 · 0,17 = 100,06 J, cioè un gradino uguale 100 joule tondi.

Un piano intero da 3,00 m costa 588,6 · 3,00 = 1.765,8 J, cioè circa 1.766 J, meno di due chilojoule. Tienilo da parte: lo riusiamo per la potenza.

Limite dichiarato [Terzo anno]. La formula m g h vale solo vicino alla superficie terrestre, dove g è costante. Per un satellite serve l'espressione con −G·M·m/r, che si vede nel capitolo sulla gravitazione universale, cioè dopo questo. Chi applica m g h a un satellite prende zero.

Energia potenziale elastica

[accennata in Biennio, a pieno titolo in Terzo anno]

Una molla compressa o allungata immagazzina energia. Per la legge di Hooke la forza che esercita è F = −k · x, con il segno meno che dice che è sempre diretta verso la posizione di riposo. L'energia immagazzinata è:

E questo ½ da dove viene? Stessa storia del ½ dell'energia cinetica: viene da una media. La forza della molla non è costante: a riposo vale zero e cresce in proporzione alla deformazione, fino a valere k·x quando la molla è deformata di x. Siccome cresce in modo proporzionale, la forza media lungo tutta la deformazione è la media fra il valore iniziale e quello finale, (0 + k·x) / 2 = ½ k x. Moltiplicala per lo spostamento x e ottieni ½ k x². Il mezzo non è un coefficiente da mandare a memoria: è la media fra "niente" e "tutto".

Controprova sui numeri dell'esercizio 6: con k = 120 N/m e x = 0,10 m la forza passa da 0 a 12 N, quindi la forza media è 6 N e il lavoro è 6 N · 0,10 m = 0,60 J, esattamente quello che dà ½ · 120 · (0,10)².

Ed è lo stesso meccanismo del ½ in ½ m v²: nella sezione 3 quel mezzo esce dal 2 di v² = v₀² + 2as, e quel 2 a sua volta viene dal fatto che in un moto uniformemente accelerato la velocità media è la media fra quella iniziale e quella finale. Ogni volta che una grandezza parte da zero e cresce in modo proporzionale, spunta un ½. Attenzione però: funziona perché la crescita è proporzionale, cioè perché vale la legge di Hooke; con una molla che non la rispetta la media non è più il valore di mezzo.

Due cose da fissare, perché qui si concentrano quasi tutti gli errori sulle molle:

• k è la costante elastica e si misura in N/m. Dice quanti newton servono per allungare la molla di un metro: se k = 120 N/m, per allungarla di 10 cm servono 12 N.
• x è la deformazione, cioè di quanto la molla si è allungata o accorciata rispetto alla lunghezza a riposo. Non è la lunghezza della molla. Se una molla lunga a riposo 25 cm viene compressa fino a 15 cm, x = 0,25 − 0,15 = 0,10 m, non 0,15 m.

Poiché c'è x², l'energia è positiva sia se allunghi sia se comprimi. Controllo di coerenza: N/m per m² dà N·m, cioè J.

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Conservazione dell'energia meccanica: le condizioni vengono prima della formula

L'energia meccanica è la somma di cinetica e potenziale:

Adesso l'enunciato, e nota che la condizione sta prima della formula: le condizioni scritte in nota a piè di pagina non sopravvivono al ripasso della sera prima.

Le condizioni, in chiaro

1) Agiscono solo forze conservative: forza peso e forza elastica (al terzo anno anche la gravitazione universale).
2) Nessuna forza non conservativa compie lavoro: niente attrito, niente resistenza dell'aria, nessuno che spinga o tiri durante il tratto considerato.
3) Le forze perpendicolari allo spostamento non rompono niente. La forza normale e la tensione del filo di un pendolo fanno lavoro nullo (cos 90° = 0, sezione 2), quindi la conservazione vale lo stesso. Va detto, perché molti vedono la normale sul disegno del piano inclinato e pensano che la conservazione non si applichi.

Cosa rende conservativa una forza

[Terzo anno]

Una forza è conservativa se il lavoro che compie dipende solo dal punto di partenza e dal punto di arrivo, non dal percorso. Equivalentemente: il lavoro su un percorso chiuso è zero.

Servono due confronti, perché qui si annidano due fra le idee sbagliate più resistenti del capitolo: che un percorso più lungo comporti sempre un lavoro maggiore, e che la pendenza cambi il lavoro della forza peso.

Confronto 1, senza attrito. Due scivoli dalla stessa altezza h, uno ripidissimo e corto, uno dolce e lungo il doppio. Il lavoro della forza peso è lo stesso, m g h, perché il dislivello è lo stesso, e un corpo che parte da fermo arriva in fondo con la stessa velocità su entrambi. Come un libro portato al terzo piano: per le scale o in ascensore, il lavoro della forza peso è identico.

Confronto 2, con l'attrito. Adesso trascina una cassa da A a B, prima in linea retta per 10 m, poi a zigzag per 20 m: il lavoro dell'attrito nel secondo caso è il doppio, perché l'attrito lavora su tutto il percorso. Ecco perché l'attrito non è una forza conservativa.

Conseguenza: solo le forze conservative hanno un'energia potenziale associata. Non esiste "l'energia potenziale d'attrito".

Il caso con l'attrito, e la scelta che ti semplifica la vita

[cenno in Biennio, quantitativo in Terzo anno]

Qui arriva la decisione più utile della guida. Invece di due formule fra cui scegliere sotto pressione, ne usiamo una sola, quella generale:

Se nessuna forza non conservativa lavora, L_nc = 0 e ritrovi la conservazione E_i = E_f come caso particolare. Se l'attrito c'è, L_nc è il suo lavoro, negativo.

Come si passa da una formula all'altra, in due righe. Parti dalla generale: E_f − E_i = L_nc. Se l'unica forza non conservativa è l'attrito, il suo lavoro è negativo, perché la forza è opposta allo spostamento (α = 180°, cos 180° = −1): L_nc = −F_a · s. Sostituisci: E_f − E_i = −F_a · s. Adesso cambia il segno a tutti i termini: E_i − E_f = F_a · s, cioè E_i = E_f + F_a · s. È la stessa identica equazione, riscritta in modo che sul foglio non ti resti nemmeno un meno da perdere. Il meno non è sparito: se l'è preso il cambio di segno, e quella che chiamiamo E_dissipata è esattamente −L_nc, cioè un numero positivo.

Negli esercizi si usa quasi sempre in questa forma, che ha tutti i numeri positivi:

dove F_a = μ · N è la forza d'attrito della guida sulle leggi di Newton: μ è il coefficiente di attrito, un numero puro che dipende dai due materiali a contatto, e N è la forza normale, cioè la spinta perpendicolare con cui il piano regge il corpo.

Sì, è la stessa lettera dei newton, e ce ne scusiamo. Vale la stessa regola della nota all'inizio su L e W: N in corsivo dentro una formula è una forza, N tondo dopo un numero è l'unità di misura. In "μ · N · s" la N è una forza; nel risultato, J = N · m, è un'unità.

E N non è sempre m · g: dipende da come è messo il piano.

• Su un piano orizzontale, se nessun'altra forza tira in verticale, la normale regge tutto il peso: N = m · g. È il caso della frenata dell'auto della sezione 4, ed è per questo che lì abbiamo scritto direttamente F = μ · m · g.
• Su un piano inclinato la normale è più piccola, perché regge solo la componente del peso perpendicolare al piano: N = m · g · cos(inclinazione del piano). Attenzione: quella non è la α della formula del lavoro, che è l'angolo fra forza e spostamento.
• Su un piano orizzontale con una fune che tira in obliquo verso l'alto, la normale è ancora minore, perché una parte del peso la sostiene la fune.

Regola pratica: non scrivere mai μ · m · g in automatico. Prima guarda il disegno e chiediti quanto peso sta reggendo davvero il piano.

Attenzione: questa s non è la s del lavoro. In L = F · s · cos α la s è lo spostamento: da dove parti a dove arrivi, in linea retta. In E_dissipata = F_a · s la s è la lunghezza del percorso che hai fatto davvero, curve, giri e zigzag compresi. È esattamente la differenza fra il confronto 1 e il confronto 2 qui sopra: alla forza peso il giro non interessa, conta solo il dislivello; all'attrito sì, perché agisce su ogni centimetro di strada. Nell'esercizio 8 lo vedi in chiaro: il vagoncino scende di 20 m di dislivello, e sono quelli che contano dentro m g h, ma percorre 60 m di rotaia, e sono quelli che contano per l'attrito. Stessa avvertenza per la riga L_attrito = −μ · N · s del formulario: anche lì s è la lunghezza del percorso.

Il test dei tre secondi, da fare prima di scrivere qualsiasi cosa:

1) C'è attrito?
2) C'è resistenza dell'aria che non si può trascurare?
3) Qualcuno spinge, tira o frena durante il tratto considerato?

Un solo sì e non puoi usare la formula semplice. È l'errore più costoso del capitolo, perché in tanti continuano a trattare l'attrito come se non toccasse il bilancio fra energia cinetica e potenziale. E aver visto prima il caso liscio non immunizza affatto dal caso con attrito, semmai il contrario: per questo negli esercizi 7 e 8 lo stesso problema è risolto due volte, prima senza attrito e poi con l'attrito.

Come si dice, e come non si dice

Non si dice che l'energia "si perde", "si consuma", "sparisce". Si dice che si trasforma e si trasferisce. Quando freni, l'energia meccanica non svanisce: l'attrito la trasferisce in energia interna del disco freno, della gomma, dell'asfalto e dell'aria, cioè le molecole si agitano di più e tutto si scalda un pochino.

È l'aggettivo che salva la frase: l'energia meccanica diminuisce, l'energia totale no. Il principio di conservazione dell'energia totale vale sempre; è solo la conservazione dell'energia meccanica che richiede condizioni.

"E perché non posso riprendermela?" Perché è degradata, non distrutta: è sparpagliata fra miliardi di miliardi di molecole in moto disordinato.

Quasi nessuno ci crede perché quel calore è impercettibile: freni una volta, non senti niente, e concludi che l'energia sia sparita. L'antidoto è guardare i casi in cui il calore si vede: sfregati le mani per venti secondi, o tocca il cerchione della ruota di una bici dopo una lunga discesa fatta frenando. Stessa fisica, scala diversa. Il resto lo studierai in termodinamica.

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Potenza: watt, cavallo vapore e il kWh della bolletta

[Biennio e Terzo anno]

Due persone della stessa massa salgono lo stesso piano di scale, una in 10 secondi e l'altra in 5. Il lavoro è identico, 1.766 J per entrambe, come calcolato nella sezione 5. Quello che cambia è la rapidità, e quella rapidità si chiama potenza.

L'unità è il watt (W), e la definizione sta dentro l'unità: 1 W = 1 J/s, un joule al secondo. Almeno una volta scrivilo così: è la forma che ti impedisce di confondere energia e potenza.

Riprendiamo i due che salgono le scale:

P(in 10 s) = 1.766 J ÷ 10 s = 176,6 W

P(in 5 s) = 1.766 J ÷ 5 s = 353,2 W

Stesso lavoro, potenza doppia. Che il lavoro sia identico è essenziale: se cambiasse anche quello, l'esempio non isolerebbe niente.

L'analogia con la guida sul moto è esatta, non è una metafora: l'energia sta alla potenza come lo spazio sta alla velocità. La velocità è quanto spazio percorri al secondo, la potenza è quanta energia trasferisci al secondo. Se ti torna la velocità della guida sul moto rettilineo, ti torna anche la potenza.

La formula P = F · v, che serve più di quanto sembri

Non è da memorizzare, si ricava in una riga. Se una forza costante F agisce nella direzione dello spostamento e il corpo va a velocità costante v:

P = L / Δt = (F · s) / Δt = F · (s / Δt) = F · v

perché s/Δt è proprio la velocità.

Esempio: una gru solleva 500 kg a velocità costante di 0,40 m/s. La forza del cavo uguaglia il peso, F = 500 · 9,81 = 4.905 N, quindi P = 4.905 · 0,40 = 1.962 W, circa 2,0 kW. Gli esercizi su gru e skilift si risolvono così.

Il chilowattora non è una potenza

È la trappola più elegante del capitolo, ed è quasi sempre in verifica. Il chilowattora (kWh) contiene la parola "chilowatt", ma non è una potenza: è un'energia. Nasce da E = P · Δt: potenza per tempo dà energia.

È l'unità della bolletta della luce. Due esempi con dati veri.

Il frigorifero. Secondo le schede ENEA sull'etichetta energetica europea (in vigore dal 1° marzo 2021), un frigocongelatore statico da 300 litri — 200 di frigo e 100 di congelatore, sono le condizioni della tabella — in classe A consuma al massimo 100 kWh all'anno, cioè 3,6 · 10⁸ J. Il numero controintuitivo è la potenza media assorbita: 100.000 Wh ÷ 8.760 h = 11,4 W. Sta acceso 24 ore su 24 tutto l'anno e in media tira come una lampadina LED: salire un piano di scale costa 1.766 J, e a 11,4 W il frigo consuma la stessa energia in 1.766 ÷ 11,4 = 155 secondi.

La casa. ARERA, l'autorità nazionale per l'energia, pubblica i consumi di riferimento del cliente domestico tipo, ed è il numero da cui partire: nei comunicati più recenti sono 2.000 kWh all'anno con una potenza impegnata di 3 kW. Sono 7,2 · 10⁹ J, e la potenza media di casa tua è 2.000.000 Wh ÷ 8.760 h = 228 W. Il riferimento non è sempre stato questo: fino al 2023 la "famiglia tipo" ARERA era da 2.700 kWh all'anno, che darebbero 308 W. Se trovi in giro l'uno o l'altro numero, ora sai perché.

Box storico: il cavallo vapore

[non è materia da verifica, ma la conversione ogni tanto la chiedono]

Alla fine del Settecento James Watt vendeva macchine a vapore a industriali e birrai che ragionavano in cavalli, e doveva rispondere alla domanda "quanti cavalli sostituisce?". Osservò cavalli da mulino su un cerchio di 24 piedi di diametro, 2,4 giri al minuto, con una forza stimata di 180 libbre: π · 24 = 75,398 piedi di circonferenza, per 2,4 fa 180,96 piedi al minuto, che per 180 libbre dà circa 32.573 piedi-libbra al minuto. Watt arrotondò a 33.000, cioè 550 piedi-libbra al secondo = 745,7 W. Secondo Britannica quel valore è circa il 50% superiore a quello che un cavallo medio sostiene per un'intera giornata.

Il CV italiano non è l'horsepower inglese. Il cavallo vapore metrico è la potenza per sollevare 75 kgf a 1 m/s, cioè 75 · 9,80665 = 735,49875 W (NIST Special Publication 811, 2008), mentre l'horsepower meccanico vale 745,6999 W: il CV è 1,37% più piccolo. Verifica che puoi rifare tu, e che insegna anche una cosa sugli arrotondamenti: i 70 CV della Fiat Panda 1.0 Hybrid valgono 70 · 735,49875 = 51.485 W, cioè circa 51,5 kW, e la scheda tecnica ufficiale Fiat riporta "Potenza max CE: 51 (70) kW (CV) a 6000 giri/min", cioè quello stesso valore arrotondato all'unità. Non aspettarti però che i due numeri di targa tornino a virgola facendo il conto al contrario: 51.000 ÷ 735,49875 dà 69,3 CV, non 70. Non è un errore della conversione, è che in scheda sia i kW sia i CV sono arrotondati all'intero: dai due dati si ricava solo che la potenza vera sta fra 51,1 e 51,5 kW. La regola generale vale per qualsiasi conto fatto su dati arrotondati: il risultato non può essere più preciso dei dati di partenza.

E il joule? Prende il nome da James Prescott Joule, birraio di Salford, che fra il 1845 e il 1850 misurò l'equivalente meccanico del calore con un mulinello mosso da pesi in caduta: la sua prima serie di misure, nelle Philosophical Transactions of the Royal Society (1850), corrisponde a 4,157 joule per caloria contro il valore moderno di 4,186, uno scarto dello 0,7%.

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Tutte le formule in una tabella, e "quale metodo uso?"

Il formulario unico

Prima la notizia liberatoria: le formule da sapere davvero a memoria sono sei. Le altre si ricavano.


Sui segni: il lavoro può essere positivo, negativo o nullo, e il segno esce dal coseno. Energia cinetica ed energia potenziale elastica sono sempre positive o nulle, perché ci sono v² e x². L'energia potenziale gravitazionale può essere negativa, se il corpo sta sotto lo zero che hai scelto.

Il controllo dimensionale, da fare almeno una volta su ogni formula. In m g h: kg · m/s² · m = N · m = J. In ½ m v²: kg · m²/s² = (kg · m/s²) · m = N · m = J. In ½ k x²: N/m · m² = N · m = J.

Quale metodo uso davanti a questo problema?

È la domanda vera del compito in classe.


Quell'ultima riga vale oro. L'energia non ti dice mai quanto tempo ci vuole: il tempo è sparito nella derivazione della sezione 3, ed è un limite reale del metodo. In una frase: se il testo lega una velocità a una posizione senza nominare il tempo, si va di energia; se nomina il tempo, si va di cinematica.

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Dieci esercizi svolti passo passo

Ogni esercizio ha dati, formula, sostituzione numerica e risultato con l'unità di misura. Dove arrotondiamo, lo diciamo. Ovunque g = 9,81 m/s².

Esercizio 1 — Cassa trainata con una fune inclinata [Biennio]

Una cassa viene trascinata per 15 m su un pavimento orizzontale con una fune inclinata di 30°. La forza applicata alla fune è di 200 N. Quanto vale il lavoro della forza applicata sulla cassa?

Dati: F = 200 N, s = 15 m, α = 30°, cos 30° = 0,866.

Formula: L = F · s · cos α

Conto: L = 200 N · 15 m · 0,866 = 3.000 · 0,866 = 2.598 J

Da notare. Senza il coseno avresti scritto 3.000 J, 402 J di troppo. Forza peso e forza normale fanno lavoro nullo sulla cassa, ma non perché siano verticali in sé: perché qui lo spostamento è orizzontale, quindi sono perpendicolari a esso e cos 90° = 0. Su un piano inclinato la stessa forza peso, ancora verticale, farebbe eccome lavoro: a decidere è sempre l'angolo fra forza e spostamento (è l'errore 5 della sezione 10). Il testo non nomina l'attrito: pavimento liscio, semplificazione dichiarata. Una nota che qui non serve ma servirà altrove: con la fune inclinata la forza normale non vale più m · g, perché la fune solleva in parte la cassa.

Esercizio 1-bis — Piano inclinato: l'angolo non è quello del testo [Biennio]

Una cassa di 20 kg scivola per 5,0 m lungo un piano inclinato di 30° sull'orizzontale. Quanto vale il lavoro della forza peso?

Dati: m = 20 kg, s = 5,0 m lungo il piano, inclinazione del piano 30°.

Passo 1 — la forza. Forza peso = m · g = 20 · 9,81 = 196,2 N, diretta verticalmente verso il basso.

Passo 2 — l'angolo, ed è tutto l'esercizio. Lo spostamento è lungo il piano, non orizzontale. Fra una freccia verticale (il peso) e una freccia inclinata di 30° sull'orizzontale ci sono 90° − 30° = 60°. Nel coseno va 60°, non il 30° del testo.

Conto: L = F · s · cos α = 196,2 N · 5,0 m · cos 60° = 196,2 · 5,0 · 0,50 = 490,5 J

Il lavoro è positivo perché la cassa scende: la forza peso le dà energia.

Controprova con il dislivello: la cassa è scesa di h = 5,0 · sen 30° = 2,5 m, quindi L = m · g · h = 196,2 · 2,5 = 490,5 J. Coincide, ed è la conferma che alla forza peso interessa solo il dislivello, non la strada fatta per scenderlo (sezione 6).

Da notare: il risultato non cambia se il piano è scabro. L'attrito farebbe lavoro suo, negativo, ma il lavoro della forza peso resta 490,5 J. Qui non abbiamo trascurato niente.

L'errore da non fare: infilare 30° nel coseno, cioè 196,2 · 5,0 · 0,866 = 849,6 J. È il numero che esce prendendo l'angolo scritto nel testo invece di quello fra le due frecce, ed è il 73% più grande di quello vero. Se te lo ritrovi, la controprova con m · g · h te lo smaschera in una riga.

Esercizio 2 — Raddoppiare la velocità [Biennio]

Uno scooter con il pilota ha massa complessiva 180 kg. Calcola la sua energia cinetica a 36 km/h e a 72 km/h.

Dati: m = 180 kg. Conversioni (esatte, senza arrotondamenti): 36 ÷ 3,6 = 10 m/s; 72 ÷ 3,6 = 20 m/s.

Formula: K = ½ m v²

Conto a 36 km/h: K = ½ · 180 kg · (10 m/s)² = 90 · 100 = 9.000 J

Conto a 72 km/h: K = ½ · 180 kg · (20 m/s)² = 90 · 400 = 36.000 J

Risposta: raddoppiando la velocità l'energia cinetica passa da 9.000 J a 36.000 J, cioè diventa quattro volte più grande, non due: la velocità è al quadrato, e 2² fa 4.

Esercizio 3 — Quando il dato è un peso, non una massa [Biennio]

Un corpo di peso 500 N viene sollevato di 4,0 m a velocità costante. Calcola la sua energia potenziale gravitazionale rispetto al punto di partenza.

Dati: F_p = 500 N (attenzione, è un peso, non una massa: qui lo chiamiamo F_p e non P, perché P nella sezione 7 è la potenza), h = 4,0 m.

Ragionamento: U = m · g · h si legge come (m · g) · h = peso per altezza, e il peso è già dato.

Conto: U = 500 N · 4,0 m = 2.000 J

Controprova dalla massa: m = F_p / g = 500 ÷ 9,81 = 50,97 kg, quindi U = 50,97 · 9,81 · 4,0 = 2.000 J. Coincide.

L'errore da non fare: scrivere U = 500 · 9,81 · 4,0 = 19.620 J, sbagliato di quasi dieci volte, perché conta la gravità due volte.

Esercizio 4 — Caduta libera, con e senza velocità iniziale [Biennio, la variante è Terzo anno]

(a) Un sasso di 2,0 kg cade da fermo da un'altezza di 5,0 m. Con che velocità arriva a terra? (b) E se invece di essere lasciato cadere viene lanciato verso il basso a 4,0 m/s?

(a) Da fermo. Zero dell'energia potenziale a terra, resistenza dell'aria trascurata (semplificazione dichiarata).

E_i = U_i = m g h = 2,0 · 9,81 · 5,0 = 98,1 J, con K_i = 0

E_f = K_f = ½ m v², con U_f = 0

Conservazione: ½ m v² = m g h. La massa si semplifica, quindi v = radice di (2 g h):

v = radice di (2 · 9,81 · 5,0) = radice di 98,1 m²/s² = 9,90 m/s

La massa non compare nel risultato: senza aria, un sasso e una piuma arrivano alla stessa velocità.

(b) Con velocità iniziale. Qui K_i non è zero, ed è la variante in cui si sbaglia.

K_i = ½ · 2,0 · (4,0)² = 1,0 · 16,0 = 16,0 J

E_i = K_i + U_i = 16,0 + 98,1 = 114,1 J

E_f = ½ m v² = 114,1 J → v² = 2 · 114,1 ÷ 2,0 = 114,1 m²/s² → v = 10,7 m/s

In generale: v = radice di (v₀² + 2 g h).

L'errore da non fare: sommare le velocità e scrivere 9,90 + 4,0 = 13,9 m/s. Non si sommano le velocità, si sommano le energie.

Esercizio 5 — Forza media con il teorema dell'energia cinetica [Terzo anno]

Un dardo di 50 g arriva a 60 m/s su un melone spesso 18 cm, lo attraversa e ne esce a 30 m/s. Qual è la forza media esercitata sul dardo?

Dati: m = 0,050 kg, v_i = 60 m/s, v_f = 30 m/s, s = 0,18 m.

Passo 1 — variazione di energia cinetica:

ΔK = ½ m (v_f² − v_i²) = ½ · 0,050 · (900 − 3.600) = 0,025 · (−2.700) = −67,5 J

Passo 2 — teorema dell'energia cinetica. Dentro il melone l'unica forza che lavora è la resistenza, opposta al moto, quindi α = 180° e cos 180° = −1:

L_tot = −F · s = ΔK → −F · 0,18 m = −67,5 J

Passo 3 — ricava F: F = 67,5 ÷ 0,18 = 375 N

Perché è l'esercizio più utile del capitolo. Con la dinamica servirebbe il tempo di attraversamento, che nessuno ti ha dato. Con il teorema esce in tre righe, e il segno negativo dice la cosa giusta: il melone toglie energia al dardo.

Esercizio 6 — Molla compressa [Terzo anno]

Una molla con k = 120 N/m, lunga a riposo 25 cm, viene compressa fino a 15 cm. Contro l'estremo libero è appoggiato un blocchetto di 0,30 kg. Si lascia andare la molla: con che velocità parte il blocchetto? Piano orizzontale e liscio.

Passo 1 — trova la deformazione. È qui che si perde il punto: x non è 15 cm, è di quanto la molla è stata accorciata rispetto al riposo.

x = 0,25 m − 0,15 m = 0,10 m

Passo 2 — energia immagazzinata:

U_e = ½ · k · x² = ½ · 120 · (0,10)² = 60 · 0,01 = 0,60 J

Passo 3 — conservazione. Piano orizzontale (U_g non cambia) e liscio (nessuna forza non conservativa lavora): tutta l'energia elastica diventa cinetica.

½ m v² = 0,60 J → v² = 2 · 0,60 ÷ 0,30 = 1,2 ÷ 0,30 = 4,0 m²/s² → v = 2,0 m/s

Controprova con x sbagliato: con x = 0,15 m avresti U = 60 · 0,0225 = 1,35 J e v = 3,0 m/s. Pulito e completamente sbagliato: ecco perché l'errore passa inosservato.

Esercizio 7 — Montagne russe, prima versione: senza attrito [Biennio e Terzo anno]

Un vagoncino di 500 kg parte da fermo dalla cima delle montagne russe, a 20 m di altezza. Trascurando l'attrito, con che velocità arriva in fondo alla discesa?

Dati: m = 500 kg, h = 20 m, v_i = 0. Zero dell'energia potenziale in fondo.

Passo 1 — energia iniziale:

E_i = U_i = m g h = 500 · 9,81 · 20 = 4.905 · 20 = 98.100 J

Passo 2 — controlla le condizioni. Attrito e aria trascurati, nessuno spinge. La forza normale della rotaia è perpendicolare allo spostamento in ogni punto, quindi fa lavoro nullo e non rompe la conservazione. Si può usare E_i = E_f.

Passo 3 — energia finale e velocità:

E_f = K_f = ½ · 500 · v² = 250 · v² = 98.100 J

v² = 98.100 ÷ 250 = 392,4 m²/s² → v = radice di 392,4 m²/s² = 19,8 m/s (circa 71 km/h)

Da notare: la forma della discesa non conta, conta solo il dislivello, perché la forza peso è conservativa. Ed è per questo che qui le leggi del moto uniformemente accelerato non servirebbero: su una pista curva l'accelerazione non è costante.

Esercizio 8 — Montagne russe, seconda versione: con l'attrito [Terzo anno]

Stessi dati dell'esercizio 7, ma la pista è lunga 60 m e su di essa agisce una forza d'attrito media di 200 N. Con che velocità arriva in fondo il vagoncino?

Passo 1 — il test dei tre secondi. C'è attrito, quindi non si può usare E_i = E_f: serve la formula generale.

Passo 2 — energia dissipata dall'attrito. Qui s è la lunghezza della pista percorsa, 60 m, non il dislivello di 20 m: l'attrito lavora su ogni metro di rotaia (sezione 6).

E_dissipata = F_a · s = 200 N · 60 m = 12.000 J

(Semplificazione dichiarata: su una pista curva la normale cambia punto per punto, quindi anche l'attrito. Il testo dà la forza d'attrito media, ed è l'unico modo onesto di fare il conto a questo livello.)

Passo 3 — bilancio energetico:

E_i = E_f + E_dissipata

98.100 J = E_f + 12.000 J → E_f = 86.100 J

Passo 4 — velocità finale:

½ · 500 · v² = 86.100 J → v² = 86.100 ÷ 250 = 344,4 m²/s² → v = radice di 344,4 m²/s² = 18,6 m/s

Il confronto è la spiegazione. Senza attrito 19,8 m/s, con attrito 18,6 m/s. L'attrito si è preso 12.000 J su 98.100, il 12,2% dell'energia, eppure la velocità è calata solo del 6%. Il conto che lo spiega è questo: in fondo restano 86.100 J invece di 98.100, cioè l'87,8%; e siccome da K = ½ m v² si ricava v = radice di (2K/m), la velocità va con la radice dell'energia, non con l'energia. Quindi la velocità finale è radice di 0,878 = 0,937 volte l'altra, cioè il 6% scarso in meno (6,3% se rifai il conto senza arrotondare 18,6 e 19,8). Tradotto: togliere un ottavo dell'energia toglie appena un sedicesimo della velocità, ed è lo stesso motivo della sezione 4 letto al contrario — lì a velocità doppia l'energia quadruplicava, qui l'energia scende di poco e la velocità di ancora meno.

E i 12.000 J? Non sono spariti: hanno scaldato rotaie, ruote e aria. L'energia meccanica è diminuita, l'energia totale no.

Esercizio 9 — Potenza, kWh e la bolletta [Biennio e Terzo anno]

Un fon da 2.000 W resta acceso per 10 minuti. Quanta energia consuma, in joule e in kWh? E quanto costa, se l'energia elettrica si paga 0,25 euro al kWh?

Dati: P = 2.000 W = 2,0 kW, Δt = 10 min = 600 s.

In joule. Da P = L / Δt si ricava l'energia trasferita, E = P · Δt (L o E è indifferente: è la stessa grandezza, e si misura in joule).

E = 2.000 W · 600 s = 1.200.000 J = 1,2 · 10⁶ J

In kWh. Qui il tempo va messo in ore: 10 min = 10 ÷ 60 = 0,167 h.

E = 2,0 kW · 0,167 h = 0,33 kWh

Controprova: 0,33 kWh · 3,6 · 10⁶ J/kWh ≈ 1,2 · 10⁶ J, coincide con il conto in joule.

Costo: 0,33 kWh · 0,25 euro/kWh = 0,08 euro, circa 8 centesimi.

Da notare: il fon ha una potenza circa 175 volte più grande di quella media del frigorifero (2.000 W contro 11,4 W), ma consuma pochissimo perché resta acceso pochi minuti. La potenza da sola non dice quanto consumi: va moltiplicata per il tempo. È il motivo per cui la bolletta è in kWh.

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Gli errori che fanno perdere punti in verifica

Questa sezione è costruita sugli errori misurati, non su quelli immaginati. Per darti un'idea di quanto sia normale sbagliare qui: l'Energy and Momentum Conceptual Survey (Singh e Rosengrant, American Journal of Physics, 2003), somministrato a studenti universitari americani di corsi introduttivi di fisica, dà punteggi medi intorno al 50% dopo che l'argomento è stato studiato. Un livello sopra il tuo, e la difficoltà è ancora lì: se sbagli in questo capitolo non sei tu che vai piano, è il capitolo che è fatto così.

Ogni errore è smontato in quattro mosse: come lo pensano quasi tutti → perché sembra giusto → cosa succede davvero → come te ne accorgi in verifica.

Errore 1 — Trattare il lavoro come se fosse un vettore

Come lo pensano quasi tutti: il segno del lavoro indica una direzione, quindi è negativo se il corpo va verso sinistra o verso il basso. Perché sembra giusto: in tutto il resto della fisica i segni indicano versi, quindi generalizzi. È una delle confusioni che sopravvivono meglio allo studio del capitolo. Cosa succede davvero: il lavoro è uno scalare e il segno dipende solo dall'angolo fra forza e spostamento, non da dove punta il tuo asse x. Come te ne accorgi: se cambiando l'orientamento degli assi ti cambia il segno del lavoro, hai sbagliato.

Errore 2 — Confondere lavoro negativo e lavoro nullo

Come lo pensano quasi tutti: negativo e nullo finiscono nella stessa casella mentale "non conta". Perché sembra giusto: in tanti contesti "meno" significa "niente". Cosa succede davvero: nullo vuol dire che quella forza non trasferisce energia, negativo che ne toglie. Come te ne accorgi: se in un bilancio hai scartato un termine perché negativo, i conti non torneranno.

Errore 3 — Usare la conservazione dell'energia quando c'è attrito

Come lo pensano quasi tutti: ½ m v² + m g h = costante viene memorizzata come la legge, e la condizione "solo forze conservative" resta una nota a margine. Perché sembra giusto: è la formula che compare più spesso negli esempi, e lì l'attrito è quasi sempre trascurato. Ed è un'idea che resiste: molti scrivono K_i + U_i = K_f + U_f anche quando il testo nomina l'attrito a chiare lettere. Cosa succede davvero: con l'attrito l'energia meccanica non si conserva, e vale E_i = E_f + E_dissipata. Come te ne accorgi: fai il test dei tre secondi della sezione 6.

Errore 4 — Nel teorema, usare il lavoro di una sola forza

Come lo pensano quasi tutti: si calcola il lavoro della forza che tira e si applica il teorema. Perché sembra giusto: nel testo "la forza" è quella, le altre non sono in evidenza. Cosa succede davvero: il teorema dice lavoro totale, cioè della risultante, attrito compreso. Come te ne accorgi: scrivi sempre L_tot col pedice ed elenca le forze prima di calcolare.

Errore 5 — Prendere l'angolo con l'orizzontale invece che con lo spostamento

Come lo pensano quasi tutti: l'angolo del testo si infila nel coseno così com'è. Perché sembra giusto: negli esercizi facili lo spostamento è orizzontale, quindi i due angoli coincidono per caso. Cosa succede davvero: su un piano inclinato lo spostamento è lungo il piano e i due angoli sono diversi. Come te ne accorgi: disegna la freccia dello spostamento prima di cercare l'angolo.

Errore 6 — Nella molla, usare la lunghezza invece della deformazione

Come lo pensano quasi tutti: nel testo c'è un numero in centimetri, e finisce dentro x. Perché sembra giusto: la formula si chiama "energia della molla", e la molla è lunga così. Cosa succede davvero: x è di quanto la molla si è deformata rispetto al riposo. Come te ne accorgi: se il problema dà due lunghezze, quasi certamente vanno sottratte.

Errore 7 — Mettere il peso in newton dentro m g h

Come lo pensano quasi tutti: il problema dice "un corpo di 500 N", e 500 finisce al posto della massa. Perché sembra giusto: diciamo "peso 60 chili", quindi nel linguaggio comune peso e massa sono la stessa cosa. Cosa succede davvero: in m g h la g è già dentro, quindi usare il peso conta la gravità due volte. Come te ne accorgi: leggi sempre m g h come "peso per altezza"; se il dato è già in newton, moltiplicalo direttamente per l'altezza.

Errore 8 — Confondere energia e forza (o energia e potenza)

Come lo pensano quasi tutti: "l'energia spinge il corpo", "questo motore ha più energia". Perché sembra giusto: nel linguaggio comune energia, forza e potenza sono quasi sinonimi. Cosa succede davvero: sono tre grandezze diverse. Come te ne accorgi: se scrivi un'energia in newton o una potenza in joule, l'errore è lì.


Frase da tenere: la forza è ciò che agisce adesso, l'energia è un conto che tieni fra un prima e un dopo, il lavoro è il ponte fra i due.

Disciplina lessicale, che vale mezzo voto all'orale

L'energia si possiede, si trasferisce, si trasforma, si immagazzina. Non "agisce", non "spinge", non "si perde", non "si consuma". Chi scrive "l'energia si perde" poi non sa rispondere alla domanda successiva, "e dove è andata?".

Ultima regola: controllo dimensionale e unità di misura in ogni risultato, intermedi compresi. In molte griglie di valutazione l'unità mancante è un punto in meno anche se il numero è giusto.

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Domande frequenti

Il teorema delle forze vive e il teorema dell'energia cinetica sono la stessa cosa?
Sì, sono esattamente lo stesso teorema. "Forza viva" era il nome antico dell'energia cinetica, usato da Leibniz per il prodotto della massa per il quadrato della velocità. I libri di oggi scrivono teorema dell'energia cinetica, molti insegnanti dicono ancora forze vive, e in inglese si chiama teorema lavoro-energia. Tre nomi, un solo enunciato: il lavoro totale di tutte le forze è uguale alla variazione dell'energia cinetica.

Perché tenere ferma una valigia non è lavoro, se mi stanco?
Perché il lavoro in fisica non misura la fatica, misura il trasferimento di energia a un corpo, e senza spostamento non c'è trasferimento: con s = 0 il lavoro è zero. La fatica che senti è reale ma riguarda il tuo corpo, non la valigia: i muscoli in contrazione isometrica consumano ATP anche stando fermi. Il lavoro sulla valigia è nullo, il consumo del tuo organismo no.

Il lavoro si scrive L o W?
Tutti e due, ed è la stessa grandezza. W viene dall'inglese work e lo usa l'Amaldi di Zanichelli, il libro più diffuso nelle superiori italiane. L viene da lavoro e lo usano molti testi e insegnanti italiani. Conviene scrivere L per non confonderlo con il simbolo del watt: nella stessa pagina puoi trovare W = 300 J e P = 300 W, dove la prima W è una grandezza e la seconda un'unità di misura.

Dove metto lo zero dell'energia potenziale?
Dove vuoi tu: il livello di riferimento è arbitrario e non esiste quello "giusto". Quello che conta fisicamente non è U ma la sua variazione, e la differenza fra due quote non cambia se sposti lo zero. Regola pratica: mettilo nel punto più basso del problema e non pensarci più. Se il corpo scende sotto quel livello, l'energia potenziale diventa negativa, ed è normale.

Quando posso usare la conservazione dell'energia meccanica?
Solo se agiscono unicamente forze conservative, cioè forza peso e forza elastica. Fai il test dei tre secondi: c'è attrito? c'è aria che frena in modo non trascurabile? qualcuno spinge o tira durante il tratto? Un solo sì e devi usare la formula generale E_i = E_f + E_dissipata. Le forze perpendicolari allo spostamento, come la normale e la tensione del filo, non danno problemi: fanno lavoro nullo.

Il kWh è una potenza o un'energia?
È un'energia, nonostante il nome contenga "chilowatt". Nasce da energia uguale potenza per tempo: 1 kWh vuol dire 1.000 watt per 3.600 secondi, cioè 3.600.000 J, vale a dire 3,6 · 10⁶ J. Il watt è la potenza, cioè quanta energia trasferisci ogni secondo, e 1 W = 1 J/s. Per questo la bolletta della luce si paga in kWh e non in kW: paghi l'energia consumata, non la rapidità con cui la consumi.

Se raddoppio la velocità, l'energia cinetica raddoppia?
No, diventa quattro volte più grande, perché nella formula K = ½ m v² la velocità è al quadrato. Un'auto di 1.000 kg ha circa 96.000 J a 50 km/h e circa 386.000 J a 100 km/h. La conseguenza pratica è lo spazio di frenata, che va anch'esso con il quadrato della velocità: a velocità doppia lo spazio quadruplica, a velocità quadrupla diventa sedici volte più lungo.

Meglio usare l'energia o F = m·a per risolvere un problema?
Dipende da cosa chiede il testo. Se chiede una velocità in un punto, l'altezza massima, la compressione di una molla o una forza media su una distanza nota, si usa l'energia: è più veloce, non ha direzioni da scomporre e funziona anche su traiettorie curve. Se chiede un tempo, o cosa succede in un istante preciso, servono la dinamica e le leggi del moto: l'energia non dice mai quanto tempo ci vuole.

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Conclusioni

Cosa portarti in verifica, in sei punti: sono quelli che fanno la differenza fra un 6 e un 8.

1) Le formule da sapere a memoria sono sei: lavoro, energia cinetica, le due energie potenziali, energia meccanica, potenza. Le altre si ricavano.
2) La condizione viene prima della formula. Prima di scrivere K_i + U_i = K_f + U_f, fai il test dei tre secondi: attrito, aria, qualcuno che spinge. Un solo sì e si usa E_i = E_f + E_dissipata.
3) Il segno del lavoro esce dal coseno, non dalla direzione. E cos 90° = 0 spiega perché la forza normale e la forza centripeta non compaiono mai come lavoro nei bilanci energetici. Questo però non vuol dire che la normale non serva: ci rientra da un'altra porta, perché la forza d'attrito vale F_a = μ · N (sezione 6). Il lavoro della normale è zero, il suo modulo no.
4) L'energia non ti dice mai quanto tempo ci vuole. Se il problema chiede un tempo, torni alle leggi del moto.
5) Controllo dimensionale su ogni formula, e unità di misura in ogni risultato.
6) Massa in kg, non peso in newton, dentro m g h. E nella molla, x è la deformazione.

La frase da tenere per l'orale: il teorema dell'energia cinetica non è una legge nuova. È F = m·a, la seconda legge della guida su le leggi di Newton, riscritta con v² = v₀² + 2as, la legge senza tempo della guida sul moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato. Se stasera devi ripassare tutto da capo, riparti da lì.

La prossima guida della sezione Fisica sarà su quantità di moto, impulso e urti, che nel programma di terza arriva subito dopo questa: un'altra grandezza che si conserva.

Fonti citate nel testo: Indicazioni Nazionali per i licei, MIUR, 2010; Singh e Rosengrant, Multiple-choice test of energy and momentum concepts, American Journal of Physics 71(6), 2003, pp. 607-617 (il test è oggi noto come Energy and Momentum Conceptual Survey); ENEA, Etichetta energetica per frigoriferi, frigocongelatori, congelatori e cantinette, aggiornata al 15 marzo 2024, basata sul Regolamento delegato (UE) 2019/2016; ARERA, comunicato stampa del 28 giugno 2023 (famiglia tipo con 2.700 kWh all'anno e 3 kW impegnati) e comunicato del 30 dicembre 2025, che assume come cliente tipo 2.000 kWh all'anno con 3 kW impegnati; NIST, Special Publication 811, 2008; Stellantis, FIAT PANDA – Schede tecniche motorizzazioni, media.stellantis.com; J. P. Joule, Philosophical Transactions of the Royal Society, 1850; Encyclopaedia Britannica, voce horsepower.